风险管理与金融机构(第二版)Ch10 相关系数和Copula函数

1、10.1金融风险管理金融风险管理第十章第十章 相关系数和相关系数和CopulaCopula函数函数10.2本章主要内容本章主要内容l相关系数定义l相关系数估计l多元正态分布lCopula函数lCopula函数应用于贷款组合10.3相关系数和协方差相关系数和协方差p变量V1和V2的相关系数定义为：p协方差Cov(V1,V2)=E(V1V2)E(V1)E(V2)01-1)()()()()(212121；【特殊情形】VSDVSDVEVEVVE10.4独立性独立性l如果两个变量V1、 V2，其中任意一个变量的信息不会影响另一个变量的分布，那么这两个变量就是独立的，即其中， f(.)代表变量的概率密度函

2、数)()(212VfxVVf10.5独立性不等同于不相关独立性不等同于不相关l假设 V1 = 1, 0, 或者 +1 (等可能性的)l如果V1 = -1 或者 V1 = +1 那么 V2 = 1l如果V1 = 0 那么 V2 = 0p显然V2 的值取决于V1 (反之亦然) 但是这两个变量的相关系数却为0p下面的图10-1描述相关关系10.6扫描 10-110.710.810.2.1 10.2.1 采用采用EWMAEWMA模型模型第9章：用EWMA模型预测方差本节：用EWMA模型预测协方差.111)1 (covcovnnnnyx10.910.10正定性不满足，否则差的方法必须保持一致【注】计算协

3、方差和方正定性故：协方差的一致性条件模型：0),(),()Z(VaR,),( 3 . 2 .10cov covGARCH(1,1) 10.2.2212121212211111TnnTnnnnnnnnwwwwwwzzzwwwzwzwzwZyx19 . 09 . 09 . 0109 . 001 ;) 1, 1 , 1 (Tw10.11正定性不满足，否则差的方法必须保持一致【注】计算协方差和方故：定性性质：协方差矩阵的正协方差矩阵：协方差的一致性条件0),(),()Z(VaR,),()var(,),cov(),cov( ),cov(,),var(),cov(),cov(,),cov(),(var 3

4、 . 2 .102121212122112122121211TnnTnnnnnnnnnwwwwwwzzzwwwzwzwzwZzzzzzzzzzzzzzzz19 . 09 . 09 . 0109 . 001 ;) 1, 1 , 1 (Tw10.1210.3 10.3 多元正态分布多元正态分布22211122222121)()(2)()1 (212212121211,|121),(121),(),(),(112222212121212vNVVVCoveyxfNVVvVxxxx，即密度为服从二元正态分布随机变量10.13多元正态分布多元正态分布l处理上相对简便l方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差和

5、相关系数l为了满足内部一致性的条件，方差-协方差矩阵必须是半正定的10.14基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样l在Excel中，=NORMSINV(RAND()能产生一个来自于正态分布的随机样本l间接构造随机数分解法以上被称为其中多元标准正态分布：分布是相互独立的标准正态其中及二元标准正态分布：数：一元标准正态分布随机Cholesky , 1 ;)3(,1(2) 1 , 0 , 6) 1 (1121i21221211121ikijjkikikikkikikiiiaaazazzzzzRR10.15因子模型因子模型l如果有N 个变量 Vi (i = 1, 2,.N), 那

6、么在一个多元正态分布中有N(N1)/2 个相关系数l我们能够通过估计因子模型的方法来减少相关系数参数的数量10.16因子模型因子模型 p单因子模型：单因子模型：若Ui ,i=1,2,N满足标准正态分布，则 共同因子F和特殊因子Zi服从标准正态分布且相互独立l 变量Ui 和Uj 的相关系数是aiajpM个因子模型个因子模型iiiiZaFaU2110.1710.4 Copula10.4 Copula函数函数l已知联合分布可以确定边缘分布。l当已知了两个随机变量的边缘分布，怎样来估计他的联合分布？lCopula函数方法提供了一个估计联合分布的方法l基本思想：等概率投影到已知联合分布函数上，通过随机变

7、量的替换反推出未知联合分布。10.18高斯高斯Copula Copula 函数模型函数模型: : 用于对不服从正态分布的变量生成相关结构用于对不服从正态分布的变量生成相关结构l假设我们想对变量V1、 V2定义一个相关结构，但V1、 V2不服从正态分布l我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分布的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之间的一一映射l变量V2也按变量V1的方法映射到新的变量U2 上l变量U1、 U2服从二元正态分布10.1910.2010.21计算联合累积分布的例子计算联合累积分布的例子l变量V1、 V2同时小于0.2的概率同变量U1 0.84且U2 1.41的概率相同l当 Co

8、pula 相关系数等于0.5 时，也就是M( 0.84, 1.41, 0.5) = 0.043其中，M为二元正态分布的累计分布函数10.2210.2310.2410.25二元学生二元学生t- t-分布比二元正态分布尾部价值更高分布比二元正态分布尾部价值更高(1)5000(1)5000个抽样，相关系数均为个抽样，相关系数均为0.50.5，学生，学生t- t-分布自由度为分布自由度为4 4(2)(2)正态分布价值大于正态分布价值大于2.332.33或小于或小于-2.33-2.33的抽样值定义为尾部价值的抽样值定义为尾部价值(3)(3)学生学生t- t-分布价值大于分布价值大于3.753.75或小于

9、或小于-3.75-3.75的抽样定义为尾部价值的抽样定义为尾部价值10.2610.4.4 10.4.4 多元多元CopulaCopula函数函数l类似的，我们可以定义多个变量V1, V2,Vn之间的相关结构l在分位数与分位数对应映射的条件下，把变量Vi映射到一个新的服从标准正态分布的变量Ui上l变量Ui服从多元正态分布10.2710.4.5 10.4.5 因子因子CopulaCopula函数函数 p多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui, 单因子模型中l共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分布且相互独立l变量Ui 和Uj 的相关系数是aiajlF和Zi也可以假设服从其他分布iii

10、iZaFaU2110.28信贷违约相关系数信贷违约相关系数l两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡量这两个公司同时违约的倾向l在风险管理上，违约相关系数对于分析信贷风险多样化是非常重要的l违约相关系数对于某些信贷衍生品的估值也是大有用处的10.2910.5 10.5 将将CopulaCopula函数应用于贷款组合函数应用于贷款组合l我们把公司i违约的时间Ti映射到一个新的变量Ui ，并且假设其中 F 和Zi 服从正态分布，并且相互独立l定义 Qi 为Ti的累积概率分布lProb(UiU) = Prob(TiT) when N(U) = Qi(T)iiiiZaFaU2110.30贷款组合模型贷款组合模型相关系数为其中对于所有的公司都相同和假设因此 Copula 1)()(Prob s s 1)()(Prob1)(