2615用待定系数法求二次函数的解析式

1、26.1.526.1.5用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式1.1.求一次函数解析式的方法是什么求一次函数解析式的方法是什么? ? 复习提问：复习提问：待定系数法待定系数法2. 2. 二次函数的一般形式是什么二次函数的一般形式是什么? ?它有几个待定系数它有几个待定系数? ?y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0)a0)，有，有3 3个待定系数个待定系数a a、b b、c c3. 3. 二次函数的顶点式是什么二次函数的顶点式是什么? ?它有几个待定系数它有几个待定系数? ?y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k +k （a0)a0)，有，有3 3个待定系数

2、个待定系数a a、h h、k k 一般地，函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2bxc0的解x1 ，x2 ,所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标为（ x1 ，0）， （ x2 ，0）时，二次函数解析式yax2bxc又可以写为ya(x x1)(x x2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标。4 4 、二次函数的交点式（两根式）：、二次函数的交点式（两根式）：ya(xx1)(xx2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标 ，它有3个待定系数a、 x1 、x2 今天学习用待定系数法求二次函数的解析式例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（）、（1

3、,4）、）、（2,7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：解方程组得：a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5待定系数法待定系数法练习练习:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy72

4、4410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函数是已知抛物线上任意三点时，已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式通常设为一般式 例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式练习： 已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k顶点是（1，2）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知抛物线的顶点与已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，抛物线上另一点时，通常设为顶点式通常设为

5、顶点式已知条件中的当已知条件中的当x=3x=3时有最大值时有最大值4 4也就是抛物线的顶点坐标为（也就是抛物线的顶点坐标为（3,43,4），），所以设为顶点式较方便所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)2+4也就y=-7x2+42x-59例例3 3：已知抛物线与：已知抛物线与x x轴两交点横坐标为轴两交点横坐标为1 1，3 3且图像过（且图像过（0 0，-3-3），求出对应的二次函数解析式。），求出对应的二次函数解析式。解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)已知已知抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点或交点横坐标时，通常或交点横坐标时，通常设为交点式（两根式）设为交点式（两根式

6、）由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，y=a(x-1)(x-3),又过（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3,a=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3练习：已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，那么这个二次函数的解析式是_ _。 分析：因为抛物线与分析：因为抛物线与x x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，又又B(5B(5，0)0)关于直线关于直线x x2 2的对称点坐标为（的对称点坐标为（-1,0-1,0），所以可以设为

7、交），所以可以设为交点式，类似例点式，类似例3 3求解，当然也可以按一般式求解。求解，当然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-5练习：如图，已知二次函数练习：如图，已知二次函数 的图像经过点的图像经过点A A和和点点B B（1 1）求该二次函数的表达式；）求该二次函数的表达式；（2 2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3 3）点）点P P（m m，m m）与点）与点Q Q均在该函数图像上（其中均在该函数图像上（其中m m0 0），且这两），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求点关于抛物

8、线的对称轴对称，求m m的值及点的值及点Q Q 到到x x轴的距离轴的距离24y axx c xyO3911AB图13解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得cxaxy42.3439,) 1(4) 1(122caca解得.6,1ca二次函数的表达式为642xxy（2）对称轴为直线x2 ；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入 ，得 ，642xxy642mmm解得 ，121,6mmm0， 不合题意，舍去11m m=6点P与点Q关于对称轴 x2 对称，点Q到x轴的距离为6练习：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析

9、式 （2）求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c分析：由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，因此可以设一般式求解析式 4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式y=ax2+bx+c;已知图象的顶点坐标对称轴和最值）已知图象的顶点坐标对称轴和最值） 通常选择顶点式通常选择顶点式y=a(x-h)2+k，已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2， 通常选择交点式（两根式）通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。yxo确定二次函数的解析式时，