大数定律及中心极限定ppt课件

1、 概率论与数理统计是研讨随机景象统计规律性的学科. 随机景象的规律性只需在一样的条件下进展大量反复实验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机景象中去寻求必然的法那么，应该研讨大量随机景象.研讨大量的随机景象，经常采用极限方式，由此导致对极限定理进展研讨. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理 大量的随机景象中平均结果的稳定性大量的随机景象中平均结果的稳定性 一、大数定律的客观背景一、大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母运用频率字母运用频率消费过程中的消费过程中的废品率废品率 二、几个常见的大数定律二、几个常见的大数定律切比雪夫切比雪夫

2、Th1: 切比雪夫切比雪夫Chebyshev定理的特殊情况定理的特殊情况阐明阐明 2 在所给的条件下，当在所给的条件下，当n充沛大时，充沛大时，n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏向的能够性比较大。可以思索用算术平较小的偏向的能够性比较大。可以思索用算术平均值作为所研讨目的值的近似值。均值作为所研讨目的值的近似值。1此定理也称为切比雪夫大数定理此定理也称为切比雪夫大数定理 证明切比雪夫大数定律主要的数学工证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式具是切比雪夫不等式.留意留意切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证 |22)(|xdxxfX

3、dxxfx)()(122 |)(|XdxxfXP当当X为延续型随机变量时为延续型随机变量时, 设设X的概率密度为的概率密度为fx,那么那么22 阐明阐明例例 =3 ,P |X- | = P |X- | 3 0.8889 =4 P |X- | =P |X- |105的近似值的近似值解解EVk=5, DVk=100/12 k=1,2,20.近似服从正态分布近似服从正态分布N0,1,387.020)1210(1001 VP387.020)1210(100 VP2012/1005201052012/100520 VP105 VP 387.02211dtet 348. 0)387. 0(1 348. 0

4、105 VP所所以以 1001kkXX例例3. 对敌人的防御地段进展对敌人的防御地段进展100次炮击次炮击, 在每次在每次炮击中炮击中, 炮弹命中颗数的数学期望为炮弹命中颗数的数学期望为2, 均方差为均方差为1.5, 求在求在100次炮击中次炮击中,有有180颗到颗到220颗炮弹命中目的的颗炮弹命中目的的概率概率.解解:设设Xk为第为第k次炮击炮弹命中的颗数次炮击炮弹命中的颗数k=1,2,100,在在100次炮击中炮弹命中的总颗数次炮击中炮弹命中的总颗数相互独立地服从同一分布，相互独立地服从同一分布，EXk=2, DXk=1.52 k=1,2,10033. 15 . 120033. 12201

5、80 XPXP)200(151)2(5 . 110011001 XXkk随机变量随机变量近似服从规范正态分布近似服从规范正态分布8164. 019082. 021)33. 1(2)33. 1()33. 1(33. 133. 12122 dtet例例4 对于一个学生而言，来参与家长会的家长人对于一个学生而言，来参与家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参与会议的概率分别为名家长来参与会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.假设学校共有假设学校共有400名学生名学生,设各学生参与会议的家长数设各学生参与会议的家长数相互

6、独立相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.求参与会议的家长数求参与会议的家长数X超越超越450的概率的概率.2 求有求有1名家长来参与会议的学生数不多于名家长来参与会议的学生数不多于340的的概率概率.解解1 以以Xk k=1,2,400记第记第k个学生来参与会议个学生来参与会议的家长数的家长数,其分布律为其分布律为pk0.050120.80.15Xk1 .1)( kXE.400,.,2 , 119.0)( kXDk 4001kkXXXk 相互独立地服从同一分布相互独立地服从同一分布 450XP19. 04001 . 14004001 kkX随机变量随机变量近似服从规范正态分布近似服从规范正

7、态分布1257. 0)147. 1(1 19. 04001 . 1400 X 19.04001 .140045019.04001 .14001XP 19.04001 .140045019.04001 .1400XP 147. 119. 04001 . 14001XP2 以以Y表示有一名家长来参与会议的学生表示有一名家长来参与会议的学生, 那么那么Yb400, 0.8 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400YP)5 . 2( 9938. 0 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400YP340 YP三三 小结小结1、独立同分布的中心极

8、限定理、独立同分布的中心极限定理2.李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理3.棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ 11111)()( 近似服从规范正态分布近似服从规范正态分布N0,1。一船舶在某海区航行，每蒙受一次波浪的冲击，一船舶在某海区航行，每蒙受一次波浪的冲击，纵摇角大于纵摇角大于3的概率为的概率为p=1/3,假设船舶蒙受了假设船舶蒙受了90000次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇次纵摇角度大于角度大于3的概率是多少？的概率是多少？解解将船舶每蒙受一次冲击看作是一次实验，将船舶每蒙受一次冲击看作是一次实验，假定各次实验是独立的假定各次实验是独立的90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于3 的次数记为的次数记为X，Xb90000,1/3,思索题思索题3050029500 XP所求概率为所求概率为90000,.,1 ,0,323130500295019000090000 kCkkkk计算太费事！计算太费事！90000,.,1 , 0,32319000090000 kCkXPkkk分布律为分布律为采用棣莫佛拉普拉斯定理采用棣莫佛拉普拉斯定理 )1(305