第二章§2.4随机变量函数的分布(续)

1、12内容复习内容复习一、离散型一、离散型1. 一元一元2.二元二元二、连续型二、连续型1. 一元一元2.二元二元问题提出问题提出：如何利用：如何利用“自变量自变量”的分布（已知）的分布（已知）来推来推出出“因变量因变量”的分布的分布。 顺序是：顺序是： g( ) g( ,)3一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布1. 一元函数一元函数 g( )利用利用“关系表关系表”求出求出“因变量因变量”取每个可能值的概取每个可能值的概率。率。 列出列出“因变量因变量”与与“自变量自变量”可能值的关系表；可能值的关系表；., 2 , 1),(,)( ixgyxPpgiiii ，设设互不相同

2、，则互不相同，则若若,21yy )(iiixPpyP ，则，则个相同个相同有有若若)(21ryyyrjjj ) (111 rijrijjiixPpyP 42. 二元函数二元函数对于对于 g ( , )，已知，已知,jiijyxPp 求求 的分布律。的分布律。(,)kiiPzg xy ,ijPxyijp (,),.ijijg xyp若若中中有有值值相相同同的的 应应将将相相应应的的相相加加合合并并5)( )(gR ：确确定定的的值值域域 第第一一步步；( ),( )yRFy ：对对任任意意 求求 的的分分布布函函数数第第二二步步( )F yPy ()Pyg ( )PG y ( )( )G yfx

3、 dx ( )( )( ),( )( )G yFyfyyRfx dx ：对对 求求导导，得得 第第三三步步( )( )yRfy ，取取 第第四四步步：当当0 0分分布布函函数数法法二、连续型随机变量函数的分布（难点、重点）二、连续型随机变量函数的分布（难点、重点）1. 一元函数一元函数( )( ),( )(,fxFxg 已已知知?)( yf 求求( ),( )( ),( )F yyRfyyR 0 0 6重要结果重要结果),(2 N)| ,()0(22 bbaNbba 特别：特别：)1, 0(N ab,1()1| , 022 bba标准化标准化72. 二元函数二元函数一般方法及步骤：一般方法及步

4、骤：?)(),(),(),( zfgyxf 求求设设所用公式：所用公式： GdxdyyxfGP),(),( 利用分布函数及公式计算利用分布函数及公式计算)(zF )(zPzF ),(zgP zyxgdxdyyxf),(),( 求导求导)()(zFzf 8（1）和的分布）和的分布 （P.67）?)(,),(),( zfyxf 求求设设 解解)(zPzF zP zyxdxdyyxf),(G xzdyyxfdx),(计算计算)()(zFzf 下面导出直接用下面导出直接用 f (x,y)计算计算 的公式。的公式。)(zf 这是一般方法！这是一般方法！9 dxxzxfzFzf),()()( 当当 与与

5、独立时，有卷积公式：独立时，有卷积公式： dxxzfxfzf)()()( dyyfyzfzf)()()( 或或)( 10例例5 (P.68) 其它。其它。, 0; 0, 0,2),()2(yxeyxfyx),( 设设 ).(zf ，求，求 解法解法1（一般方法）（一般方法）)(zPzF zP zyxdxdyyxf),(; 0)(, 0),(0 zFyxfz 因此因此时，时，当当当当z0时，在时，在R(G与与f(x,y) 的非零值区域之交集的非零值区域之交集)上积分：上积分：R0zyx 0G011 zxzyxdyedxzF00)2(2)( zzee221 所以所以 . 0, 0; 0),(2)(

6、2zzeezfzz 212,0;( )0,0.zzeezFzz 12 . 0, 0; 0,2)(2yyeyfy 解法解法2（卷积公式）（卷积公式）由由2.3例例6，例，例11知知 与与 相互独立相互独立, . 0, 0; 0,)(xxexfx dxxzfxfzf)()()( 由由卷积公式卷积公式有有. 0)()(00, 0 xzfxfzxxzx 时，时，即即时（如图），时（如图），仅当仅当xz xz0 xz0, 0)(0 zfz 时，时，当当 zxzxdxeezfz0)(22)(0 时，时，当当)(22zzee 积分方向积分方向 . 0, 0; 0),( 2)(2zzeezfzz 其其它它。,

7、 0; 0, 0,2),()2(yxeyxfyx13例例6 ., 0, 10, 1其其它它xxfX ., 0, 10, 1其其它它yyfY ZZXYFz 设设的的分分布布函函数数为为，则则有有设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，都服从区间相互独立，都服从区间(0,1)上的上的均匀分布，令均匀分布，令Z=X+Y，试求随机变量，试求随机变量Z的密度函数。的密度函数。解一：解一：由题意可知由题意可知 1,01,01 ( , )0,.XYxyf x yfx fy 则则其其它它( )()()ZFzP ZzP XYz( , )xy zf x y dxdy 14( )()()ZFzP ZzP XYz( ,

8、 )xy zf x y dxdy 1, 01,01 ( , )0,.XYxyf x yfx fy 其其它它x011yxyz 01z2z 00z 12z001zzxdxdy 111001011zz xzdxdydxdy 2xyz z1z xyz zxyz 11001dxdy 2 2z2 21 2zz 1 15220, 0, 012( )21, 1221, 2ZzzzF zzzzz , 01( )( )2, 120, ZZzzfzF zzz 其其它它16例例6 ., 0, 10, 1其其它它xxfX ., 0, 10, 1其其它它yyfY ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量z

9、fYXZZ dxxzfxfzfYXZ设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，都服从区间相互独立，都服从区间(0,1)上的上的均匀分布，令均匀分布，令Z=X+Y，试求随机变量，试求随机变量Z的密度函数。的密度函数。解二：解二：由题意可知由题意可知01, 01xzx当当时时,fX(x) fY(z-x)不为不为0.17 . 0 zfZ zZdxzf01. z dxxzfxfzfYXZ 111zZdxzf.2 z 01, 01xzx综上综上, 可得可得 Z=X+Y的密度函数为的密度函数为 ,01,2,12,0,.Zzzfzzz 其其它它xzxz 1xz 011218正态分布的可加性（正态分布的可加性（P

10、.83 22题）题）且相互独立，则且相互独立，则设设),(),(222211 NN推广：推广： 且相互独立，则且相互独立，则设设), 2 , 1)(,(2niNiii ),(12211 niiiniiiniiiaaNa 是不全为零的常数。是不全为零的常数。其中其中naaa,21),(22221221 babaNba 另外：另外：泊松分布的可加性，二项分布的可加性，泊松分布的可加性，二项分布的可加性， 见见P.83的的23题和题和24题。题。(1 4)(2 8)2NN 设设 ， ， ，且且相相互互独独立立， 则则 3 3( )N3212 ，22482 23 3( 768 ) N， 19 在前面的

11、课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量 的概率分布，那么的概率分布，那么的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.20 例如，某班的学习情况可概括地用例如，某班的学习情况可概括地用“平均成绩平均成绩”来评价，而不需知道学习成绩服从什么分布

12、；又如来评价，而不需知道学习成绩服从什么分布；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻平均稻谷粒数谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，的偏离程度， 从上面的例子看到，与随机变量有关的某些从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量在某些方面的重要特征。21 因此，在对随机变量的研究中，确定某

13、些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 . .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数2223引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景) A, B 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜, 取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?数学期望的概念数学期

14、望的概念 24A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB B25因此因此, A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 41043200 ),(150 元元 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目, 则为则为43041200 ).(50 元元 故有故有, 在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下

15、,A, B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为, 1:3即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的,43.4126因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为的的 “期望期望”值值,等于等于 的的可能值与其概率之积可能值与其概率之积的累加的累加.).元 即为即为若设若设随机变量随机变量 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下, 继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则 所取可能值为所取可能值为:2000其概率分别为其概率分别为:434127 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条

16、件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例引例2 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk28解解平均射中环数平均射中环数射击次数射击次数射中靶的总环数射中靶的总环数 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk2950kknnk 平

17、均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值? “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的射中环数的可能值与其概率之积可能值与其概率之积的的累加累加30一、一、 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义111,1,2,.,( ).( ).kkkkkkkkkkkPxpkx px pEEx p 设设离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布律律为为若若级级数数绝绝对对收收敛敛 则则称称级级数数为为随随机机变变量量的的数数学学期期望望 记记为为即即随机变量

18、随机变量可能值与其概率之积可能值与其概率之积的的累加累加随机变量数学期望的含义随机变量数学期望的含义E()是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均加权平均,与与一般的平均值不同一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称均值均值.31为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例实例1 谁的技术比较好谁的技术比较好? ?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中

19、环数概率概率10983 . 01 . 06 . 032解解1()8 0.39 0.110 0.69.3(),E 环环2()8 0.29 0.510 0.39.1(),E 环环12,. 设设甲甲、乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别别为为故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.乙射手乙射手击击中中环环数数概概率率10982 .05 .03 .0甲射手甲射手击击中中环环数数概概率率10983 . 01 . 06 . 033实例实例2 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向? ? 某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得

20、，可得利润利润8万元万元 ， 失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5% ，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则),( 17 . 023 . 08)(万元万元 XE存入银行的利息存入银行的利息:),(5 . 0510万元万元 %故应选择投资故应选择投资.Xp82 3 . 07 . 034三个常见离散型分布的期望三个常见离散型分布的期望例例1 设设pqP10 则则 E = p。)10(ppqE 如如：某产品的次品率：某产品的次品率p=0.05,则则E =0.05.含义含义：任取一件

21、，：任取一件，“平均平均”有有0.05件次品。件次品。35例例2 设设 ，则，则 E = 。 解解, 2 , 1 , 0,! kekkPk 0!kkekkE 11)!1(kkke 0!1mmmekm ee 例例3 设设 B n, p ，则，则 E = np。 由性质导出更易。由性质导出更易。Rxkxekkx 0,!36二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望1()iiP xx iixxf)(小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)()(1iiixxxf离散化：离散化：( )f x 1( )kkkx pE 离离散散型型1( )iixxf x dx x

22、i与与xi+1很接近很接近, 所以区所以区间间xi, xi+1)中的值可以中的值可以用用xi来近似代替来近似代替.ix()iif xx 37二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望( )f x 1( )kkkx pE 离离散散型型ix()iif xx ()iiif xExx 连连续续型型 0( )(l)imiiixEf xx 连连续续型型()f x dxx 382.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义( ),( )d,( )d,( ).( )( )d .f xx f xxx f xxEEx f xx 设设连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为若

23、若积积分分绝绝对对收收敛敛 则则称称积积分分的的值值为为随随机机变变量量的的数数学学期期望望 记记为为即即1()kkkE Xx p 离离 散散型型39解解 xxfxXEd)()(xxxde5150 因此因此, 顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例4 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? ? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间? . 0, 0, 0,e51)(5xxxfx5 50 0e ed()xx 5555

24、0 00 0eeeedxxxx 5 5 40例例5 某动物的寿命（年）某动物的寿命（年）X为随机变量，其分布函数为为随机变量，其分布函数为2 25 50505,( ),.BAxF xxx ,A B求求 (1) (1) 的的值值；(2) (2) 这这种种动动物物的的平平均均寿寿命命。解解由由分分布布函函数数的的性性质质1 1()lim( )xFF x 2 21 1()lim ()xBFAx 1 1A( )F x又又连连续续2 25 55050lim ()( )xBAFx 10102525B2525B412 2252515150505,( ),.xF xxx 分分布布函函数数3 350505 50

25、505,( ),.xf xxx 密密度度函函数数这这种种动动物物的的平平均均寿寿命命: : xxfxXEd)()(3 35 55050dxxx 2 25 55050d xx 5 55050 x 0101001010年年42三个连续型分布的期望三个连续型分布的期望例例 设设 Ua,b，则，则 E 2ba 例例 设设 则则 E .),( e 1例例 设设 则则 E .),(2 N 43三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是的期望，而是的期望，而是的某个函数的某个函数=g()的期望

26、，那么应该的期望，那么应该如何计算呢？如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g()也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦一旦我们知道了我们知道了g()的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg()计算出来计算出来.44 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g()的分布而只根据的分布而只根据的的分布求得分布求得Eg()呢？呢？ 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g()的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 .451. 一元离散型

27、随机变量函数的数学期望一元离散型随机变量函数的数学期望kxX kkpxXP 2101 1p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求求若若 解解的分布律的分布律先求先求2XY 2XY p4102p31pp 4p随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为46则有则有)()()(2XEXgEYE 42124)(10pppp 422212221)1(0pppp .)(41kkkxXPxg 因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X), 且且, 2, 1, kpxXPkk则有则有1 1( )( ()().kkkE

28、YE g Xg xp 定理定理472. 一元连续型随机变量函数的数学期望一元连续型随机变量函数的数学期望( )( ()( ) ( )d .E YE g Xg x f xx 若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f (x) , 则则3. 二元随机变量函数的数学期望二元随机变量函数的数学期望1 1() (,)( ),( , )(,),.ijijijE ZE g X Yg xX Ygypx y 设设为为离离散散型型随随机机变变量量为为二二元元函函数数 则则.),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为其中其中定理定理48() (,)( , ) ( , )dd .E ZE

29、g X Yg x y f x yxy 则则数数为为二二元元函函为为连连续续型型随随机机变变量量设设,),(,)2(yxgYX).,(),(yxfYX的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中49XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.2(),() .E Y XEXY 求求 例例2 设设 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为501 0121 21031p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0/Y X 的的分分布布律律为为XY1

30、231 0120.10.10.10.10.10.0030.1111 0.2 0 0.1 1 0.10.10.1 0 0.30.1223YEX .151 解解() (,)(,)ijijijE ZE g X Yg xyp10110111120.20.10.10.100.1 00.3221013.1330YEX .151 51p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得

31、. 5 XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.2 2()XY 的的分分布布律律为为52例例3 设某种电子元件的寿命（单位：小时）设某种电子元件的寿命（单位：小时） X的的 密度函数为密度函数为2e,0( )0,.axa xxf x 其其它它2,( )YXE Y 求求(1)(1)该该元元件件的的平平均均寿寿命命,(2),(2)若若求求解解该该元元件件的的平平均均寿寿命命()E X( )xf x dx 20eaxxdxa x 220eaxa xdx 20(e)axax d 200e2eaxaxaxaxdx 02(e)axxd 002 e2eaxaxxdx 02eaxa 2

32、a 532e,0( )0,.axa xxf x 其其它它2,( )YXE Y (2)(2)若若求求2( )()E YE X 2( )x f x dx 220eaxxdxa x 230eaxa xdx 30(e)axax d 3200e3eaxaxaxaxdx 203(e)axx d 2003e6 eaxaxxxdx 06(e)axxda 0066eeaxaxxdxaa 206eaxa 26a 54例例4 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量求量X是一个随机变量，在是一个随机变量，在2000,4000上服从均匀上服从均匀分布。若每售出分布。若每售出

33、1吨，可得外汇吨，可得外汇3万美元，若售不出万美元，若售不出而积压，每吨需保养费而积压，每吨需保养费1万美元，问组织多少货源，万美元，问组织多少货源，才能使得平均收益最大？才能使得平均收益最大？解解, yR设设组组织织的的货货源源量量为为收收益益为为1,20004000( )20000,.Xxfx 其其 它它3 ,3(),yyXRXyXyX 3 ,( )4,yyXRg XXyyX 平均收益平均收益( ( )E R X( )( )Xg x fx dx 400020001( )2000g x dx 553 ,( )4,yyXRg XXyyX ( ( )E R X400020001( )2000g

34、x dx 400020001(4)32000yyxy dxydx 220001(2)3 (4000)2000yxyxyy 2217000(2000)1000yy 21(3500)82500001000y 3500y 所所以以当当 ，平平均均收收益益最最大大( ( )E R X56例例5(,)0,2 0,1X Y 设设在在上上服服从从二二维维均均匀匀分分布布2,()ZX YE Z 求求解解() (,)( , ) ( , )dd .E ZE g X Yg x y f x yxy (,)X Y 的的联联合合密密度度函函数数,( , )0,2 0,1( , )0,.x yf x y 其其它它1 12

35、2()E Z21212 200001 12 2ddxx yy21212 200001 12 2dd .xx yy 1 12 222220 00 01 14 4dx yx 2 22 20 01 14 4dxx 2 23 30 01 11212x 2 23 3 57四、数学期望的性质四、数学期望的性质证明证明: 设设Xf(x)，则，则()( )E cXcxf x dx ( )()cxf x dxcE X 1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有.)(CCE 证明证明.1)()(CCCEXE 2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有).()(XCECXE 例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE