电动力学课件镜像法和分离变量法

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*电动力学第2章 静电场边值问题的分类与解的唯一性定理 数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。稳恒场的场量与时间无关，因此其位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是稳恒场的边值问题。第三类边值问题：给定一局部边界上每一点的电位， 同时给定另一局部边界上每一点的电位法向导数。第二类边值问题： 给定边界上每一点位函数的法

2、向导数，即已知给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。 第一类边值问题： 给定整个边界上的位函数值，即；已知其中 表示边界。1、边值问题的分类 对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 电磁场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。四、镜像法镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体外表上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，那么根据惟一性定理

3、，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。应注意的问题：镜像电荷位于待求场域边界之外。将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。 待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件：点电荷对无限大接地导体平面的镜像 导体平面导体平面在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷 -q 所产生的电位叠加，即电位满足边界条件导体平面边界上：上半空间的电场强度：电位：导体外表感应电荷 导体外表

4、上感应电荷总量 导体外表上感应电荷对点电荷的作用力线电荷对无限大接地导体平面的镜像将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体外表的线电荷，其电荷密度为待求场域 中的电位上半空间的电场点电荷对无限大介质平面的镜像设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为： 当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中

5、任一点的电位和电位移矢量分别为：在分界面(R = R= R)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：电介质中的电场分布：点电荷对半无限大接地导体角域的镜像由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有有限个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解当n=2时：该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如下图。其中 当n=3时：角域夹角为/n，n为整数时，有(2n1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如下图。所有镜像电荷都正

6、、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。 6. 点电荷对导体球面的镜像设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如下图。待求场域为r a区域，边界条件为导体球面上电位为零。设想在待求场域之外有一镜像电荷q，位置如下图。根据镜像法原理， q 和 q在球面上的电位为零。点电荷与接地导体球周围的电场aa在球面上任取一点c，那么空间任意点 的电位：导体球不接地：a a导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q=q 球外任一点电位： 球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的

7、条件，镜像电荷q应位于球心处 。例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如下图。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为 解：球壳内：边界为r = a1的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为 球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。线电荷对导体圆柱面的镜像待求区

8、域：边界条件：柱面为等势面设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，那么导体柱面上任一点的电位表示为其中：两平行线电荷的电位分布在柱面上取两个特殊点M和N，那么空间电位为：其中：带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和 ，其位置如下图。其等位面是许多圆柱面，假设让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。两电轴在空间产生的电位为等位面方程为通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法五、别离变量法理论根底惟一性定理别离变量

9、法的主要步骤根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量别离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。直角坐标系中二维拉普拉斯方程别离变量法本征方程的求解(1)当 时本征函数本征方程本征值(2)当 时，设或由本征方程为：那么：(3)当 时，设由本征方程为：或那么：应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中， X(x)为三角函数，有多个零点，

10、Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中， X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。解: 选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程 边界条件： 例5：一接地金属槽如下图，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。设 ，代入式(1) 中得:根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0) =0，所以X(x)应选取正弦函数，即由边界条件(3)得：对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为此时，电位可表示为由边界条件(5)知 其中：对上式两边同乘以

11、，再对x从0到a进行积分，即满足边界条件的特解为：例6: 一矩形区域边界条件如下图，求区域内的电位分布。解: 从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如下图两种边界条件情况。令(1)求 ：类似于“例5”求解过程， 形式为：由非零边界条件确定那么：可见，当m3时，当m3时：(2)求 ：其解为：由非零边界条件得那么：直角坐标系中三维拉普拉斯方程别离变量法根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表4-5中给出了一些 的典型组合。表中 和 是由边界条件确定的实数。解: 选直角坐标系，电位函数满足三维拉普

12、拉斯方程及边界条件例7: 求图示长方形体积内的电位函数。由边界条件可以判断，特征函数可表示为：由边界条件可得：电位函数可表示为：由本征值关系可得：那么：最后，由最后一个边界条件得：上式两端同乘以 ，并对x, y积分，利用三角函数正交性可得：于是所求的电位函数为：3. 圆柱坐标系中的别离变量法 该方程的解常用的有四种情况该方程的解有两种情况该方程的解有三种情况 的解：(1) 当时，(2) 当时，由于，限定了n必须为正整数。 ，(2) 当时，设 为任意非零实数。(3) 当 时，设，为任意非零实数。时，(1) 当 的解: 的解(1)当时，方程化简为零阶贝塞尔方程，其解的形式为(2)当时，方程化简为欧拉方程，其解的形式为(3)当时，方程的解为(4) 当时，方程的解为n阶贝塞尔方程例8：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如下图，求放入圆柱导体后的电场分布。解：按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而根据题意可确定，的形式为当时，对应的函数的形式为于是，电位的形式为：放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态。由 得相应的电位函数为：未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场比较上两式可知，当时，