竞赛辅导_刚体的平面运动2014

1、刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动* *( (补充补充) )定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一平面均与一固定平面固定平面平行，称作平行，称作刚体的平面刚体的平面（平行）运动。（平行）运动。车轮滚动车轮滚动木梯下滑木梯下滑处理方法：处理方法：可看作可看作随基点的平动随基点的平动和和绕过基点绕过基点轴轴（固定平面）固定平面）的转动的转动的合成。的合成。AB1A B1 A2刚体由刚体由12可分为可分为（转动）（转动）（平动）（平动）2111 刚体刚体固定平面的截面固定平面的截面B基点（任取）基点（任取）对刚体上对刚体上A点：点：rrrB dtrd

2、dtrddtrdB vvvB xyoBrrr x y AB rv 的的位位矢矢点点相相对对基基点点BAr 速速度度矢矢量量刚刚体体绕绕过过基基点点轴轴的的角角 rvvB 平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度车轮（圆柱体）的无滑滚动车轮（圆柱体）的无滑滚动若滚动车轮边缘上各点与支若滚动车轮边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，则称车轮作无相对滑动，则称车轮作无无滑滚动（纯滚动）滑滚动（纯滚动）。车轮（中心）前进的距离与车轮（中心）前进的距离与转过的角度的关系：转过的角度的关系： rx 则则 rvC 无滑滚动的条件无滑滚动的条件 raC 或或dt

3、drdtdx dtdrdtdvC CvxCr2022-6-245 纯滚动纯滚动纯滚动的条件：纯滚动的条件：s=R，质心移动的距离也是质心移动的距离也是s，vc=R，ac=R。 非纯滚动非纯滚动 非纯滚动非纯滚动对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为时，相对于支撑面的瞬时速度为0.车轮上任一点的速度：车轮上任一点的速度：rvvC G点：点：0 GCCGrvv B点：点：CBvv2 A点：点：CCAvrvv2)(22 BCCBrvv ACCArvv CvBCrABGxCACrGCrr r r 的的位位矢矢）该该点点相相对对质质心心（Cr例例

4、1、求图示纯滚动中、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。相对支撑面的速度。例例1、半径为、半径为R的圆环静止在水平地面上，的圆环静止在水平地面上，t=0时刻时刻开始以恒定的角加速度开始以恒定的角加速度 沿直线纯滚动。任意沿直线纯滚动。任意t0时刻，环上最低点的加速度大小为，最时刻，环上最低点的加速度大小为，最高点的加速度大小为。高点的加速度大小为。CaCR质心参考系：圆环上任一点质心参考系：圆环上任一点 Rat 2222)(tRtRRan 地面参考系：地面参考系：（纯纯滚滚动动条条件件） RaC 最低点：最低点：22221)(tRaaaantc 最高点：最高点：4222222224)()

5、2()(tRtRRaaaantc 二二 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学刚体的平面运动刚体的平面运动可视作随基点的可视作随基点的平动平动和绕基和绕基点轴的点轴的转动转动。通常选质心为基点。通常选质心为基点。xyx y Co刚体刚体固定平面的截面固定平面的截面系系，质质心心运运动动定定理理）（外外oamFC 系系，转转动动定定律律）（外外CJM 1、刚体平面运动的基本动力学方程、刚体平面运动的基本动力学方程若刚体受力均在若刚体受力均在oxy面内，则有面内，则有yyxxCiCimaFmaF 惯性系惯性系质心系，可以质心系，可以是非惯性系是非惯性系2、作用于刚体上的力、作用于刚体上的力（1）

6、作用于刚体上的力是）作用于刚体上的力是滑移矢量滑移矢量沿作用线沿作用线滑移而不改变效果。滑移而不改变效果。FFC对刚体，力的三要素：对刚体，力的三要素：大小大小、方向方向、作用线作用线。作作用用，一一般般F使质心有加速度使质心有加速度使刚体有角加速度（若力过质使刚体有角加速度（若力过质心，则无此项）心，则无此项）（2）力偶和力偶矩）力偶和力偶矩力偶力偶大小相等方向相反的一对力。大小相等方向相反的一对力。力偶矩力偶矩力偶对某轴的力矩之和。力偶对某轴的力矩之和。力偶对质心运动无影响。力偶对质心运动无影响。FF 1dC2d ，方向：，方向：轴力矩大小：轴力矩大小：对对11FdMCF ，方向：，方向：

7、轴力矩大小：轴力矩大小：对对22FdMCF力偶矩：力偶矩：FdddFMMM )(2121d力偶臂力偶臂（3）刚体受力的等效处理）刚体受力的等效处理CFFzM F等效为等效为转动转动轴的力矩）轴的力矩）对对原原附加一力偶（力偶矩附加一力偶（力偶矩平动平动平移至过质心平移至过质心将将 CFF 三三 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能222121 CCkJmvE 刚体平面运动的动能等于随质心的平动动能刚体平面运动的动能等于随质心的平动动能与对质心的转动动能之和。与对质心的转动动能之和。科尼希定理科尼希定理（证明略）（证明略）四四 刚体在平面力系作用下的平衡条件刚体在平面力系作用下的平衡条件设各力均

8、在设各力均在oxy面内，则刚体面内，则刚体静止平衡静止平衡（或（或作匀速作匀速直线平动直线平动）的充要条件为：）的充要条件为：0 iF轴轴）（对对任任意意zMzi0 其中，其中，0 iF通常写成分量形式：通常写成分量形式：0, 0 yxiiFF例例2、 一均质圆柱，质量一均质圆柱，质量m、半径、半径R ，在水平外，在水平外力力F作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作用线与中心轴线的垂直距离为用线与中心轴线的垂直距离为l，如图。求质心的，如图。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：不妨设静摩擦力解：不妨设静摩擦力f的方向向左，的

9、方向向左，CmafF 由转动定律：由转动定律： CJRflF 纯滚动条件：纯滚动条件： RaC 圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC221mRJC 则由质心运动定理：则由质心运动定理：mR)lR(FaC32 FRlRf32 讨论：讨论：l0,方向向左；方向向左；lR/2, f0, 方向向右；方向向右；l=R/2, f=0.联立以上四式，解得联立以上四式，解得 FaCCmafmg sin转动惯量小的滚得快！转动惯量小的滚得快！质心运动定理质心运动定理过质心轴转动定理过质心轴转动定理纯滚动条件纯滚动条件（运动学条件运动学条件）2sinmRJmgRC 【例例3 3】两个质量和半两个质

10、量和半径都相同，但转动惯量径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚作无滑动滚动，哪个滚得快？得快？ mgfRC CJRf RaC xy2022-6-2415求圆柱体从求圆柱体从h高的斜面滚到底部时的速度和角速度。高的斜面滚到底部时的速度和角速度。Nmgf解：222222234)( ;34 2121 ,RghRghRJMEMghEcmcmcmcmcmfivvvv质心系）绕质心的转动质心运动定理（二维）( cccJMamF2022-6-2417习题习题3.55：圆柱体圆柱体M=4.0kg , R= 0.10m, 斜面斜面=37,忽略滑轮的质量忽略滑轮的质量,

11、 重物重物m=1.0kg. 求求(1) 重物的加速度重物的加速度a, (2) 圆柱体的质心加速度和角加圆柱体的质心加速度和角加速度速度, (3)圆柱体和斜面间的摩擦圆柱体和斜面间的摩擦力。力。解：TfNMg221)(sinMRRfTMaMgfTmaTmgcmcmcmaaRa2N4 .11,rad/s0 . 4,m/s0 . 8,m/s0 . 4222faacm2022-6-2418习题习题3.57：如图，以加速度如图，以加速度a0上升的升降机中，滑轮和上升的升降机中，滑轮和圆柱体的半径圆柱体的半径R。求相对升降机的物体加速。求相对升降机的物体加速度和圆柱的质心加速度；绳中的张力。度和圆柱的质心

12、加速度；绳中的张力。解：22220111201RaaJRTMaTMaMgRaJRTRTmamamgTccT1T1T2T2mgMgMgTma0Ma0例例4、有一长为、有一长为l、质量为、质量为m的匀质细杆，置于的匀质细杆，置于光光滑水平面上滑水平面上，可绕过中点，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的小球沿动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的小球沿与杆垂直的速度与杆垂直的速度 飞来，与杆端点碰撞，并粘附飞来，与杆端点碰撞，并粘附于杆端点上，如图所示。于杆端点上，如图所示。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态；）定量分析系统碰撞后的运动状态；（2）若去掉

13、固定轴，杆中点不固定，）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求碰后系统的运动状态。再求碰后系统的运动状态。vmvmlO4202lmmlmyC mvmlO解：解：（1）对（杆对（杆+小球）系统，对小球）系统，对O轴合外力轴合外力矩为矩为0，故，故角动量守恒角动量守恒： 121)2(222mllmlmv lv23 碰后系统将以碰后系统将以lv23 转动。转动。（2）碰后，系统质心位置为碰后，系统质心位置为mmlCyO Cv 系统的运动可看作随质心的平动和系统的运动可看作随质心的平动和绕质心轴的转动。绕质心轴的转动。mmlCyO Cv 对（杆对（杆+小球）系统，合外力为小球）系统，合外力为0，故，故动量守

14、恒动量守恒：Cmvmv2 2vvC 同时，对同时，对C轴合外力矩为轴合外力矩为0，故，故角动量守恒角动量守恒： )(4球球杆杆CCJJlmv（平平行行轴轴定定理理）杆杆222487)4(121mllmmlJC 2)4(lmJC 球球lv56 碰后系统质心将以碰后系统质心将以向右运动，向右运动，2vvC 且系统以且系统以lv56 绕质心轴转动。绕质心轴转动。例例5、“打击中心打击中心”问题：匀质细杆长问题：匀质细杆长l，质量，质量m，可绕固定光滑水平轴可绕固定光滑水平轴O转动，开始竖直静止。某转动，开始竖直静止。某时刻有水平时刻有水平F作用在作用在A处（距处（距O为为l0），求此时轴），求此时轴

15、对杆的作用力。对杆的作用力。FO0lACxyxNyN由转动定律：由转动定律： 2031mlFl 203mlFl 由质心运动定理：由质心运动定理：质心加速度：质心加速度：（切切向向） 2laxC （法法向向）0220 layCyxCyCxmamgNmaNF FO0lACxyxNyNmgNFllNyx )123(0力力很很大大。轴轴的的反反作作用用将将很很大大，此此时时杆杆对对支支承承通通常常很很大大，只只要要由由于于冲冲击击力力xNllF,320 点点叫叫打打击击中中心心。此此时时的的当当ANllx, 0,320 （1）在使用工具敲打东西时，在使用工具敲打东西时，要注意用打击中心击打，以免有要注

16、意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。较大的反作用力。 打击中心与刚打击中心与刚体的形状及质量分布有关。体的形状及质量分布有关。（2）若图中冲击力来自小球对杆）若图中冲击力来自小球对杆的碰撞，的碰撞，仅当碰撞在打击中心时，仅当碰撞在打击中心时，Nx=0，（小球，（小球+杆）系统水平方杆）系统水平方向动量才守恒。向动量才守恒。2022-6-2425例：例：例：例：RamRfRFRmafFcc221mamgTrmrTrTrmrTamTgmc22232222112111111121211122raarac刚体的进动刚体的进动*2022-6-2427 不受外力矩的陀螺仪，角动量守恒，转动不受外力矩的陀螺仪，角动量守恒，转动轴线的方向不变。轴线的方向不变。 受到外力矩作用的陀螺会产生回转效应，叫进受到外