2010辽宁名校数学模拟卷分类汇编一：立体几何(几何证明选讲).

1、2021年优秀模拟试卷分类汇编第一局部：立体几何几何证明选讲1.2021沈阳一模如下图，多面体PABCD的直观图图1和它的三视图图2，I在棱PA上是否存在点E，使得PC/平面EBD？假设存在，求PE：PA的值，并证明你的结论；假设不存在，说明理由；II求二面角B-PC-D的大小.假设不是特殊角请用反三角函数表示 E PA DB C 图1 图22.2021沈阳一模：在直角三角形ABC中，以BC为直径的交AB于点D，连接并延长交AC的延长线于点E,的切线DF交AC于F点. I试证明:AF=CF;II假设ED=4,，求CE的长.3.2021丹东一模直三棱柱中，为等腰直角三角形，90°，且，

2、、分别为、的中点I求证：平面；II求证：平面；III求二面角的余弦值4.2021丹东一模如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE/AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2I求AC的长；II求证：BEEF5.2021大连一模如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，P为A1C1的中点，AB=BC=kPA。 I当k=1时，求证 II当k为何值时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为并求此时二面角APCB的余弦值。6.2021大连一模如图，AB是O的弦，C、F是O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点。 I

3、求证：DE2=DB·DA。 II假设BE=1，DE=2AE，求DF的长。7.2021大连双基如图1所示，在边长为12的正方形中，且AB=3，BC=4，分别交BB1，CC1于点P、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABCA1B1C1，请在图2中解决以下问题： I求证：； II在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM/平面APQ。 III求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。8.2021大连双基 如图，O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为BD中点，连结AG分别交O、BD于点E、F连结CE。 I求证：；

4、 II求证： 9.2021东北三校一模如图，在三棱柱中，侧面， I求直线C1B与底面ABC所成角正切值； II在棱不包含端点上确定一点的位置,使得(要求说明理由). III在2的条件下,假设，求二面角的大小.10.2021东北三校一模如图,的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为上一点,AEAC ,交于点,且, 1求的长度. 2假设圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度ACPDOEF B11.2021丹东二模在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点I求证：EF平面PAD；II求平面E

5、FG与平面ABCD所成锐二面角的大小；III假设M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？12.2021丹东二模如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，DE交AB于点FI求证：PFDOCP；ABPFOEDC·II求证：13.2021沈阳二模如下图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，平面，D为的中点求证：平面A1ABB1平面BCC1B1；II求证：平面；AA1DBB1CC1III设是上一点，试确定点的位置，使平面平面，并说明理由14.2021沈阳

6、二模如下图，与相交于A、B两点，过点A作的切线交于点C，过点B作两圆的割线，分别交、于点D、E，DE与AC相交于点PI求证：AD/EC；II假设AD是的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长15.2021锦州二模如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1.求证：BD平面ADG；求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.16.2021锦州二模如图，AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.求证：FB=FC；求证：FB2=FA·FD；假设AB是ABC外接圆的直径，EAC=120°

7、;，BC=6cm，求AD的长.17.2021大连二模如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，AB=AD=2CD，侧面底面ABCD，且为等腰直角三角形，M为AP的中点。 I求证： II求证：DM/平面PCB； III求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小。18.2021大连二模如图，O1和O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与O1与E、G两点，直线DO2交O2与F、H两点。 I求证：； II假设O1和O2的半径之比为9：16，求的值。19.2021东北育才、大连育明三模如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱底面ABC，为边长为2的正三角形，点P

8、在A1B上，且ABCP。 I证明：P为A1B中点； II假设A1BAC1，求二面角B1-PC-B的余弦值。20.2021东北育才、大连育明一模如图，O内切于ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交O于点H，直线HF交BC的延长线于点G。 I求证：圆心O在直线AD上； II求证：点C是线段GD的中点。 21.2021锦州三模如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如下图，M，N分别为AF，BC的中点 I求证：MN/平面CDEF； II求多面体ACDEF的体积； III求证：CEAF22. 2021锦州三模如下图，PA与O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD/AP，AD、BC相交于E点，F为

9、CE上一点，且DE2=EF·EC I求证：P=EDF； II求证：CE·EB=EF·EP23.2021抚顺模拟如图，在正四棱柱中，点在棱上假设，求证：平面；BCADC1B1D1A1E设，问是否存在实数，使得平面平面，假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由24.2021抚顺模拟EDCOABF如图，在中，以为直径的O交于，过点作O的切线交于，交O于点证明：是的中点；证明：25.2021丹东一模斜三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上I求证：平面；II假设点D恰为BC中点，且，求的大小；III假设，且当时，求二面角的大小26.202

10、1丹东一模如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点I求的度数；II假设AB=AC，求AC:BC27.2021丹东二模如图，在三棱柱中，侧棱底面，为线段上的动点I求证：；II假设四面体的体积为，求二面角的余弦值28.2021丹东二模如图，与相交于A、B两点，圆心P在上，的弦BC切于点B，CP及其延长线交于D，E两点，过点E作EFCE，交CB的延长线于点FI求证：四点B、P、E、F共圆；II假设，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径29.2021北京预测如图，在三棱锥中， 点，分别在棱上，且， 求证：平面； 当为的中点时，求与平面所成的角的

11、大小； 是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由30.2021海南五校联考如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F I求证：DE是O的切线； II假设的值.2021年优秀模拟试卷分类汇编第一局部：立体几何几何证明选讲详解答案1. 由三视图可知，多面体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧棱PA平面ABCD. 且PA=2,AB=BC=1,AD=2. 1分在棱PA上存在点E，使得PC/平面EBD，且 PE：PA1：3. 2分E PA D OB C(方法一)当PE：PA=1:3时 连接，交于点，且，即：，在中,，EO/

12、PC,由OE平面EBD,PC平面EBD，PC/平面EBD . 即在棱PA上存在点E，使得PC/平面EBD，且 PE：PA1：3.6分(方法二)假设PC/平面EBD.连接AC,交BD于,连接E,平面EBD平面ACP= E,又PC/平面EBD，所以PC/ E，所以AE：EP=A:C. 又在直角梯形ABCD中，所以A:CAD:BC=2:1,所以AE：EP=A:C2：1，所以PE：PA1：3.即在棱PA上存在点E，使得PC/平面EBD，且 PE：PA1：3. 6分方法三如图以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz.由三视图可知，B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,

13、2,0),P(0,0,2). 3分xyz设E(0,0,),为平面EBD的法向量,那么,由,得.令y=1,那么 . 4分又,且,，=. .5分在棱PA上存在点E，使得PC/平面EBD，此时PE：PA=1:3. .6分()方法一设分别为平面BPC和平面DPC的法向量,又，那么由,得,令z1=1,那么. 9分同理. 11分由图可知二面角B-PC-D为钝二面角,二面角B-PC-D的大小为. 12分方法二，. 8分在平面PBC内作于N，设，那么，又与共线， 10分11分由图可知二面角B-PC-D为钝二面角,二面角B-PC-D的大小为. 12分方法三二面角B-PC-D等于二面角B-PC-A与二面角D-PC

14、-A的和,E PMNA D B C由三视图可知PA平面ABCD，又DC平面ABCD,DCPA, 7分在直角梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，得AC=CD=，DCA=，DCAC，又ACPA=A，DC平面PAC，即二面角D-PC-A为直二面角，8分取AC中点M，作BNPC于N，连接MN，因为AB=BC，BMAC，因为PA平面ABCD，平面PAC平面ABCD，BM平面PAC，BMPC，又BNPC，PC平面BMNMNPC，BNM为二面角B-PC-A的平面角， 10分设BNM=，由，得BM=，BN=，二面角B-PC-D的大小为. 12分2. 方法一证明：设线段FD延长线上一点G, 那么，且, 2

15、分又中，, 在中，又在直角三角形ABC中，直角边BC为O的直径,AC为O的切线, 又FD为O的切线，FD=CF,. 5分方法二在直角三角形ABC中，直角边BC为O的直径,AC为O的切线, 又FD为O的切线，FD=CF,且FDC=FCD, 2分又由BC为O的直径可知，ADF+FDC =,A +FCD=,ADF=A, ,FD=AF, AF=CF. 5分()解：直角三角形FED中，ED=4， ，FE=5,8分 又 FD=3=FC, CE=2. 10分3. 解：方法1：如图建立空间直角坐标系Oxyz，令ABAA14，那么A0，0，0，E0，4，2，F2，2，0，B4，0，0，B14，0，4，D2，0，

16、2， 2分I，4，0，面ABC的法向量为0，0，4，平面ABC，DE平面ABC 4分 II 6分 8分III 平面AEF的法向量为，设平面 B1AE的法向量为 即 10分令x2，那么二面角B1AEF的余弦值为 12分方法2：I方法i：设G是AB的中点，连结DG，那么DG平行且等于EC， 2分所以四边形DECG是平行四边形，所以DE/GC，从而DE平面ABC 4分方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP由E为C1C的中点，A1C1CP，可证A1EEP， 2分D、E是A1B、A1P的中点，DEBP，又BP平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC 4分IIABC为等

17、腰直角三角形，F为BC的中点，BCAF，又B1B平面ABC，可证B1FAF， 6分设，那么B1FEF，平面； 8分III过F做FMAE于点M，连接B1M， B1F平面AEF， 由三垂线定理可证B1MAE，B1MF为二面角B1AEF的平面角， C1C平面ABC，AFFC，可证EFAF，在RtAEF中，可求， 10分在RtB1FM中，B1FM90°，二面角B1AEF的余弦值为 12分4. 解：I， 2分又， ， 4分， 5分 II，而， 8分， 10分5. 解：方法一以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz。 I设AB=2，那么AB=BC=PA

18、=2根据题意得：所以4分 II设AB=2，那么根据题意：又因为所以平面B1C，所以由题意得即即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为8分平面APC的法向量设平面BPC的一个法向量为由，得，所以此时二面角APCB的余弦值是12分 方法二 I连接B1P，因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，P为A1C1、的中点，AB=BC，所以面A1C，所以 又因为当k=1时，AB=BC=PA=PC，平面B1PC，4分 II取线段AC中点M，线段BC中点N，连接MN、MC1、NC1，那么MN/AB，平面B1C，平面B1C，是直线PA与平面BB1C1C所成的角，设AB=a，即时，直线PA与平面BB1C1C所

19、成的角的正弦值为8分此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，平面A1C，由三垂线定理得BHPC，所以BHM是二面角APCB的平面角。设AB=2，那么BC=2，PA=4，AC=在直角三角形AA1P中，连接MP，在直角三角形中由又由BM=，在直角三角形中BMH中，解得在直角三角形BMH中，所以二面角APCB的余弦值是12分6. 解：I连结OF，OC=OF，OCF=FOC，DF是O的切线，垂直于弦AB，DE=DF，DF是O的切线，8分 II设AE=x，那么DE=2x，DF=2x，解得2x=3，的长为3。10分7. 证明： 1证明：因为，所以，从而，即2分又因为，而，所以平面,又平面所以； 4分 2解

20、：过作交于,连接,因为 6分，四边形为平行四边形,所以平面 8分 3解：由图1知，,分别以为轴，那么 10分设平面的法向量为，所以得，令，那么，所以直线与平面所成角的正弦值为 12分8. 证明：1连结，为的直径，为的直径, ,，,为弧中点，,，。 5分 2由1知，,由1知，10分9. 解：1在直三棱柱中， 在平面上的射影为.为直线与底面所成角. ，即直线与底面所成角正切值为2. 2当E为中点时，. ，即 又， ， 3取的中点，的中点，那么，且，连结，设，连结，那么，且为二面角的平面角. ， 二面角的大小为45° 另解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，那么， 1直三棱柱中，平面的法

21、向量，又，设，那么 即直线与底面所成角正切值为2. 2设，那么， ，即 3，那么，设平面的法向量， 那么，取 ，又平面的法向量，,二面角的大小为45° 10. 解：1连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系ACPDOEF B结合题中条件弧长等于弧长可得,又,从而,故, 由割线定理知,故. 2假设圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为即所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT那么，即 11. 方法1：I证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD， 2分E、F为PA、PB的中点，EF/AB，EF平面PAD； 4分II解：过P作AD的垂线，垂足为O，那么PO平面ABCD 连OG，以OG，O

22、D，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， 6分PA=PD，得，故，设平面EFG的一个法向量为那么， 7分平面ABCD的一个法向量为平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：，锐二面角的大小是； 8分III解：设，Mx，0，那么，设MF与平面EFG所成角为，那么，或，M靠近A， 10分当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于12分方法2：I证明：过P作P OAD于O， 那么PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， 2分PA=PD，得，故，EF平面PAD； 4分II解：，设平面EFG的一个法向量为 那么， ，7分平面ABCD的一个法向量为【以下同方法1】方法3

23、：I证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD， 2分E、F为PA、PB的中点，EF/AB，EF平面PAD； 4分II解： EF/HG，AB/HG，HG是所二面角的棱， 6分HG / EF，平面PAD， DHHG，EHHG ，EHA是锐二面角的平面角，等于； 8分III解：过M作MK平面EFG于K，连结KF，那么KFM即为MF与平面EFG所成角， 10分因为AB/EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，平面PAD，平面EFGH平面PBD于EH， A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，在直角梯形中，或M靠近A， 11分当时， MF与平面E

24、FG所成角正弦值等于12分12.I证明：AE=AC，CDEAOC， 2分又CDEP+PFD，AOCP+OCP， 4分PFDOCP 5分II解：在PDF与POC中，PP，PFDOCP，故PDFPOC， 6分， 8分， 10分13. I方法一平面,， ,又在正方形中，,，AA1DBB1CC1OE,又，, 2分又在正方形中有，B1C1BB1，又,B1C1平面A1ABB1， B1C1平面B1BCC1，所以平面A1ABB1平面BCC1B1 4分方法二由可知三棱柱是直三棱柱，四边形A1ACC1为矩形,又平面, 2分 又D为的中点,由平面几何知识可知,A1ADACC1,AA1:AD=AC:CC1, ,AC=

25、AB,ABBC，又BCBB1且BB1AB=B, BC平面A1ABB1,BC平面BCC1B1,平面A1ABB1平面BCC1B1 4分II(方法一)由I知BC,BB1,BA两两垂直，如图以B为原点建立空间直角坐标系,设正方形边长为1,那么 C(1,0,0),C1(1,1,0),B1(0,1,0),A1(0,1,1),A(0,0,1)D()，由平面,得平面A1DB的法向量为， 6分，又平面，平面 8分 (III)(方法一)设点E(1,b,0),平面BDE的法向量为,那么由,得,令y=1,那么，10分由,得,即当E为CC1中点时, 平面平面 12分() (方法二)连接AB1交A1B于点O,连接OD，A

26、A1DBB1CC1OEO为AB1中点，又D为AC中点，在中，OD/CB1, 6分CB1平面,OD平面,平面 8分(方法二)取 CC1中点E，又D为AC中点，在中，DE/AC1,又平面, 10分DE平面,DE平面,平面平面，即当E为CC1中点时，平面平面 12分14. (I)连接AB，AC是的切线，BAC=D，又BAC=E，D=E，AD/EC 5分II方法一PA是的切线,PD是的割线, 7分 在中由相交弦定理，得PA·PC=BP·PE,， 8分 AD是的切线,DE是的割线，AD=12 ， 10分 方法二设BP=x，PE=yPA=6，PC=2，由相交弦定理得PA·PC

27、=BP·PE, xy=12 ,AD/EC, 由可得，或舍去,DE=9+x+y=16 8分AD是的切线,DE是的割线，AD=1210分15. 证明：在BAD中，AB=2AD=2，BAD=60°，由余弦定理得，BD=ADBD -2分又GD平面ABCDGDBD，GDAD=D，BD平面ADG4分解：以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系Dxyz那么有A1，0，0，B0，0，G0，0，1，E0， -6分A设平面AEFG法向量为那么取 -9分平面ABCD的一个法向量 -10分设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为，那么 -12分16. 解：AD平分

28、8;EAC，ÐEAD=ÐDAC FEDCBA四边形AFBC内接于圆，ÐDAC=ÐFBC ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，ÐFBC=ÐFCB，FB=FC -4分ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC ，ÐAFB=ÐBFD， FBAFDB，FB2=FA·FD-7分AB是圆的直径，ÐACB=90°ÐEAC=120°， ÐDAC=ÐEAC=60°，ÐBAC=60°ÐD

29、=30° BC= 6， AC= AD=2AC=cm -10分AMPBDCGF17. 解法一：1取的中点，连结， 2分，且，是正三角形，,又,平面 4分 2取的中点，连结分别为的中点，且四边形是直角梯形，且，且 6分四边形是平行四边形平面，平面平面 8分 3延长与交点为，连结过作于一定，连结，那么为平面与平面所成锐二面角的平面角 0分设,那么,又因为,平面与平面所成锐二面角的大小为 12分解法二：1同解法一 2 侧面底面，又， 底面PBDCAMGzxy直线两两互相垂直，故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立如下图的空间直角坐标系设，那么可求得，设是平面的法向量，那么且 取，得 6分是

30、的中点， 平面，平面 8分 3又平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为,那么,10分平面与平面所成锐二面角的大小为12分18. 1证明：AD是两圆的公切线，AD2=DE×DG，AD2=DF×DH,DE×DG= DF×DH, ，又EDF=HDG，DEFDHG。4分 2连结O1 A，O2A，AD是两圆的公切线，O1AAD，O2AAD，O1O2共线，AD和BC是O1和O2公切线，DG平分ADB， DH平分ADC，DGDH，AD2= O1A×O2A，8分设O1和O2的半径分别为9x和16x，那么AD=12x，AD2=DE×DG，AD2=DF

31、×DH，144x2=DEDE+18x，144x2=DFDF+32xDE=6x，DF=4x，。10分19. 解：证明：取AB中点Q，又平面CPOP为A1B的中点 4分 方法一连接AB1，取AC中点R，连接A1R，那么平面A1C1CA， ，由A1BAC1，6分那么，那么AC=2连B1A，B1R，BR，平面B1BR，平面B1AC平面B1BR，平面平面B1BR=B1R，过B做BHB1R，垂足为H，那么BH平面B1PC，过B做BGPC，连接GH，那么为二面角B1PCB的平面角8分在中，在中，10分12分 方法二建立如下图的坐标系设，那么6分不妨设设平面PB1C的一个法向量那么8分设平面PBC的

32、一个法向量那么10分，因为二面角B1PCB为锐二面角二面角B1PCB的余弦值为 12分20. I证明：圆心O在直线AD上。5分 II连接DF，由I知，DH是O的直径，点C是线段GD的中点。 10分21. 解：证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，平面,侧面都是边长为的正方形 连结，那么是的中点，在中， 且平面，平面，平面 -4分 因为平面，平面, ,又，所以，平面，四边形 是矩形,且侧面平面 取的中点,且平面 所以多面体的体积 -8分 平面，平面，面是正方形， ， -12分22. 证明：DE2=EF·EC， DE : CE=EF: ED ÐDEF是公共角

33、，DEFCED ÐEDF=ÐC CDAP， ÐC=Ð P ÐP=ÐEDF -5分 ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，DEFPEA DE : PE=EF : EA即EF·EP=DE·EA弦AD、BC相交于点E，DE·EA=CE·EBCE·EB=EF·EP -10分23. 证明：连接，因为棱柱是正四棱柱，所以，且是在底面内的射影，因此，2分同理，是在平面内的射影，因为，所以，又，所以平面3分解：因为，所以，因为，不妨设，那么，以为坐标原

34、点，分别以为轴建立坐标系，那么，2分 设平面的一个法向量为，由得一个，同理得平面的一个法向量，3分令，即，解得，所以存在实数，使得平面平面2分24. 证明：连接，因为为O的直径，所以，又，所以切O于点，且切于O于点，因此，2分，所以，得，因此，即是的中点 3分证明：连接，显然是斜边上的高，可得，于是有，即， 3分 同理可得，所以 2分25. 解：IB1D平面ABC，AC平面ABC，又，AC平面 3分II四边形为菱形， 5分又D为BC的中点，为侧棱和底面所成的角，即侧棱与底面所成角 8分III以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，那么Aa,0,0，B(0,a,0)，平面ABC的法向量，设平面ABC1的法向量为，由，即，10分，二面角大小是锐二面角，二面角的大小是 12分26. 解：IAC为圆O的切线,又知DC是的平分线, 即 又因为BE为圆O的直径, 4分II,6分又AB=AC, , 8分在RTABE中, 10分27.