第三章 静态场及其边值问题的解

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版1分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件DBtBEtDJH0tJ出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEHBJE12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )nSet 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子

2、音像出版社 出版出版2分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场静态电磁场0t0t电磁波电磁波按时间变化情况按时间变化情况第第3章章第第4、5、6、7、8章章第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版3第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版400 HJEBD 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条

3、件DEHBJE 12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )0ne 静态电磁场问题静态电磁场问题0t特点：电场和磁场独立特点：电场和磁场独立第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版5分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场静态电场按场的类型按场的类型静态磁场静态磁场第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音

4、像出版社 出版出版60 ED 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEJE1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题静态电场问题按电荷静止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版70HJB 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件H

5、B 1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题静态（恒定）磁场问题第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版8 本章内容安排本章内容安排 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育

6、出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版9静态电场问题静态电场问题按电荷静止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版10面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出

7、版社高等教育电子音像出版社 出版出版113.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版12面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何突变边界？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场与

8、电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版132. 2. 边界条件边界条件（一般性问题）（一般性问题）0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程（基本方程（一般性问题一般性问题）0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：积分形式：02t1tn2n1EEDDS或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件3. 3. 按媒质分类的两类问题按媒质分类的两类问题（特殊性问题）（特殊性问题）0理想介质理想介质：0存在导体存在导

9、体：静电场是有源无旋场静电场是有源无旋场第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版14介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE导体内部的电场为零导体内部的电场为零0nnEDeeS0tnEDS或或 理想介质情况理想介质情况 导体情况导体情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00DDEE 介质表面的自然边界条件介质表面的自然边界条件 静电平衡静电平衡 导体表面的边界条件导体表面

10、的边界条件导体导体介质介质2, 011, 020E1EEne第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版15面对的问题！面对的问题！分析求解方法：分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？l 利用静电场的特性，研利用静电场的特性，研究新方法及其优越性究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出

11、版出版160E由由()r称为静电场的标量称为静电场的标量电位函数电位函数或简称或简称电位电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版17求求2. 电场强度与电位函数的关系电场强度与电位函数的关系EdEl 已知已知EddElldldl 已知已知求求E如何求出电位函数？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子

12、科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版183. 利用电位求利用电位求无限大均匀媒质空间无限大均匀媒质空间中的问题中的问题311( )444qRqqE rRRR 介质介质 E20 ( )q r r 点电荷源情况：点电荷源情况：( )4qrCRoxzyRrr r3)1(RRRrrR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版193. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(

13、 (续续) )( )( )4r dvrCR l 体分布电荷源体分布电荷源( )4sdsrCRl 面分布电荷源面分布电荷源( )4ldlrCRl 线分布电荷源线分布电荷源11( )4NiiqrCRl 点电荷系点电荷系等位面等位面第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版204. 由电位函数引出的经典物理量由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）电压（电位差）d(d()d)PPQPQQElElPQ P、Q 两点间的电位差两点间的电位差dEl 电场力做电场力做的功的功问题：问题：

14、选择不同的选择不同的积分路径会改变积分路径会改变电压的计算结果吗？电压的计算结果吗？ddElldldl 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版21关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只

15、与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版22 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通

16、常取应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无无 限远限远作电位参考点。作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。5. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育

17、电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版23 几种常见电荷分布的电位参考点几种常见电荷分布的电位参考点 点电荷：设点电荷点电荷：设点电荷q在原点，参考点在原点，参考点Q，场点，场点 (电位考察电位考察点点)P，选择路径，选择路径P Q(路径可以任意选择路径可以任意选择)进行积分，有进行积分，有0114QPQPPQqdrr ElOQrPPrQ04QPPqrr 选参考点位于无穷远处，即令，得选参考点位于无穷远处，即令，得04qr 由此得到点电荷电位的一般表达式由此得到点电荷电位的一般表达式0044qqR rrr对于位于 的点电荷，电位表达式为对于位于 的点电荷，电位表达式为第3章 电磁场与电

18、磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版24 无限长线电荷：设线电荷无限长线电荷：设线电荷 l位于位于z轴，参考点轴，参考点Q，场点，场点 (电位电位考察点考察点)P，沿如前路径进行积分，有，沿如前路径进行积分，有00011ln222QPQQQlllPPMPddd El如果选择参考点在如果选择参考点在Q=，得，得 P P= =，显然不合理。，显然不合理。如果选择如果选择Q=1=1，得，得 ，显然这种形式最简单。，显然这种形式最简单。01ln2lPP 01ln2l 由由此此得得到到线线电电荷

19、荷电电位位的的一一般般表表达达式式第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版25 面电荷面电荷(例例3.1.2)：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。设均匀电场设均匀电场E0，场中任意两点，场中任意两点P1和和P2的电位差为的电位差为 122121000021PPPPdd ElElE RErr 12021P Err 设参考点在 点，则设参考点在 点，则202110 2cos0E r rrEr若设参考点在无穷远处，即， 无意义。若设参

20、考点在无穷远处，即， 无意义。如设参考点在原点，即，则有如设参考点在原点，即，则有000cosE r EErr由此得到面电荷电位的一般表达式由此得到面电荷电位的一般表达式其中 为电场其中 为电场与与的夹角的夹角RP2P1dlE0r1r2O 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版26在均匀介质区域中，有在均匀介质区域中，有6. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程介质介质2 2介质介质1 121

21、22 E11 E21022021 电荷区电荷区第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版277. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P1212Snn 21第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教

22、育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版28 导体表面边界面导体表面边界面 两理想介质分界面两理想介质分界面 （无自由电荷）（无自由电荷）0Snn1122常数，常数，Sn 实际问题中典型的静电场情况实际问题中典型的静电场情况第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版29 例例 3.1.1 求电偶极子的电位和电场强度求电偶极子的电位和电场强度. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrq

23、rcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrr2cos2drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得dr 1cos ,2drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rP化简化简第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版30ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得

24、E线方程为线方程为ErE)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电力线的微分方程电力线的微分方程：等位线方程等位线方程：求电场强度求电场强度第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版31解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标为坐标原点，而任意点原点，而任意点P 的位置矢量为的位置矢量为r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElEr

25、Er rrrrrr若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr rr0ExzOPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版32000( )coszPErer EE r rrr r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即的方向一致，即 ，则，则有有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE rrrrrzree z 在圆柱坐标系中

26、，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版33xyzL-L( , , ) z zddlzR 解解 建立一个最好的建立一个最好的坐标系，如图，则坐标系，如图，则02201()d4()LlLrzCzz2200ln() 4LlLzzzzC220220()()ln4()()lzLzLCzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的

27、均匀带电线的电位。0l选一个最利的电位参考点确定选一个最利的电位参考点确定C，例如，例如 则则C=0 ()0 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版3422022000()()( )limln4()()2 ln2lLlzLzLrCzLzLLC任选有限远处的某点为电位参考点，例如，任选有限远处的某点为电位参考点，例如，= a 点，则有点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar求无限长直均匀线电荷产生的电位求无限长直均匀线电荷产生的电位最有利的零电位点选择？最有利

28、的零电位点选择？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版35 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC

29、xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S121122( ),( )xx 分析分析用直接积分方法求解？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版360110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 最后得最后得xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，0 x 处，处，1(0)0 x

30、 a2( )0a 处，处，0220( )( )SxbE xxea确定待定常数确定待定常数利用边界条件利用边界条件方法第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版37 两区的介质不同？两区的介质不同？ 用高斯定理求解？用高斯定理求解？ 用用MaxwellMaxwell微分方程求解？微分方程求解？ 其它坐标系下的同类问题？其它坐标系下的同类问题？延伸应用思考：延伸应用思考：obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S12121E2E第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大

31、学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版38面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：l 静电感应l 静电屏蔽关联的一般性物理问题？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版39电容器在实际问题中的作用：电容器在实际问题中的作用： 3.1.3 导体系统的导体系统的电容电容与部分电容与部分电容典型的不利作用典型的不利作用：电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题电容耦合系统和部件产生

32、的电磁兼容问题典型的有利作用典型的有利作用： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，组合成各种功能的电路。通过电容、电感、电阻的排布，组合成各种功能的电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教

33、育电子音像出版社 出版出版40qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两导体两导体所所组成电容器的电容组成电容器的电容12qqCU Cq 12Cqq 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。力的物理量。定义为所带电量定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版41 12311C33C22C12C23C13C1111121213132

34、22221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC *多导体系统中导体两两间形成部分电容多导体系统中导体两两间形成部分电容第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版42导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质与导体的与导体的带电量和电位无关带电量和电位无关决定电容量大小的因素决定电容量大小的因素第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版

35、社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版43假定假定导体导体/两导体两导体带电荷带电荷q /q求导体求导体/两导体间两导体间的电位的电位/电压电压 方法一：方法一：UqC 求解电容量的方法求解电容量的方法（利用与导体的（利用与导体的带电量带电量和和电位电位无关）无关） 方法二：方法二：按定义求得电容按定义求得电容假定假定导体导体/两导体两导体的电位的电位/电压电压求导体表面所带电量求导体表面所带电量q 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版

36、44 解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,Eerr11d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压同心导体间的电压4qabCUba球形电容器的电容球形电容器的电容4Ca当当 时，时，b 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科

37、技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版45 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l解解 设两导线上的带电量分别为设两导线上的带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似，故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为处的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间

38、的电位差2100d11 ()dln2DallaUElDaxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版46 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体间，内外导体间填充的介电常数为填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位

39、差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版47面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用典型应用! !

40、关联的一般性物理问题:l 静电场的能量l 电容的储能第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版48 静电场能量的分布空间静电场能量的分布空间静电场具有能量的实验证据静电场具有能量的实验证据3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版49 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就

41、不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过

42、程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版501. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q 、电位为、电位为 。(01) 当当增加为增加为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1

43、 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为qW21eVWd21de第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版51故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于

44、面分布电荷，电场能量为电场能量为对于对于多导体组成的带电系统多导体组成的带电系统，则有，则有iq 第第i 个导体所带的电荷总量个导体所带的电荷总量i 第第i 个导体的电位，即是所有电荷个导体的电位，即是所有电荷( (包括本身包括本身所带电荷所带电荷) )在第在第i个导体上产生的电位个导体上产生的电位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版52关于静电场能量表达式的补充说明关

45、于静电场能量表达式的补充说明 讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域积分为零，所以积分也可以为整个空间积分为零，所以积分也可以为整个空间 能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电荷分布的区域，所以荷分布的区域，所以被积函数被积函数 不代表能量密度不代表能量密度12第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 &

46、amp; 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版53关于点电荷系统和导体系统能量的补充说明关于点电荷系统和导体系统能量的补充说明 点电荷系统中，点电荷系统中， i i为第为第i个电荷处的电位，由所有其他电荷产个电荷处的电位，由所有其他电荷产生生 在带电导体系统中，在带电导体系统中， i i为第为第i个导体的电位，由其自身所带电个导体的电位，由其自身所带电荷和其他导体所带电荷共同产生荷和其他导体所带电荷共同产生 分别表示点电荷之间的相互作用能和导体系统的总能量（包分别表示点电荷之间的相互作用能和导体系统的总能量（包括自能和相互作用能）括自能和相互作用能）第3章 电磁场与电磁波电磁

47、场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版542. 电场能量密度电场能量密度l 通过电场矢量来表示电场能量通过电场矢量来表示电场能量从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。11dd22SVDSE D V 推证推证：()DDD ()ddVSD VDSE D e11dd22VVWVDV1()d2VDDV第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等

48、教育电子音像出版社 出版出版55由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故R0S第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版56EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VW

49、D E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE l 的区域对积分有贡献：的区域对积分有贡献： 区域才有电场能区域才有电场能量，量， 无电场能量无电场能量0E 0E 0E 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版57 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的

50、球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版58)()3(2d3d3dd2202030211ar

51、rarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 先求出电位分布先求出电位分布-(-(如何求如何求) ) 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版59由边界条件知在边界两边由边界条件知在边界两边 连续。连续。E解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为Q QSD dSQ110(2)r ErEQ 110(2)rQEer 110ln(2)baQ

52、bUE dra ab01例例3.1.9 3.1.9 已知同轴线内外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填充介，导体间部分填充介质，介质介电常数为质，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为，如图所示。已知内外导体间电压为U U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版60110(2)lnlnUQba (lnln )rUEeba r12221011122eVVWE dVE

53、dV2210122221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaaUUrdrrdrbarbar21101(2)2 (lnln )Uba 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版61或或12eiiiWqU12eWQU110(2)lnlnUQba 21101(2)2 (lnln )Uba 知识延展：对电容器知识延展：对电容器12eWQU212eWCU第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育

54、电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版62习习 题题3.1; 3.3; 3.4; 3.5; 3.7; 3.8; 3.9第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版63静态电场问题静态电场问题按电荷静止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音

55、像出版社 出版出版64面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版653.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音

56、像出版社 出版出版66面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何特殊现象？l 边界有何物理量的突变？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版67 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版68 由由J J E E 可知，导体中若存在可知，

57、导体中若存在恒定电流恒定电流，则必有维持该电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的荷分布是一种不随时间变化的恒定分布恒定分布，这种恒定分布电荷产生，这种恒定分布电荷产生的电场称为的电场称为恒定电场恒定电场。 恒定电场和静电场满足相同的麦氏方程，具有相同的性质，恒定电场和静电场满足相同的麦氏方程，具有相同的性质，都是有源无旋场。都是有源无旋场。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编

58、写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版690 ED 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEJE1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题静态电场问题 导电媒质中描述恒定电场的基本变量是导电媒质中描述恒定电场的基本变量是JE、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版70() D微分形式：微分形式：1. 1. 基本方程（基本方程（一般性问

59、题一般性问题）J d0d0SCSEl积分形式：积分形式：00EJ(D d)SqS均匀导电媒质中存在净电荷？()DEJE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ0 E若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版712. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21n

60、EEe 场矢量的边界条件场矢量的边界条件2nn1JJ即即2t1tEE即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD场矢量的折射关系场矢量的折射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版721122tantan1n2n2n1t2t1n000()SJJEEED 导电媒质情况导电媒质情况 存在理想介质情况存在理想介质情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00JJEE 分界上两侧的边界条件分界上两侧的边界条件 界面上两侧场量的特殊性界面上两侧场量的特殊性导体导体介质介质22, 11, 01Ene导电媒质导电媒质2 2导电媒质导电媒质1 122, 11, 212E1Ene2E面电荷？1n2n()SDD导体是等位体？有限有限21? 如如 2 1、且、且 290，则则 10，即电场线近即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；似地看作为等位面；若媒质若媒质1 1为理想介质为理想介质，即即 1 10 0，则则J J1