数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法

1、拉普拉斯方程的格林函数法拉普拉斯方程的格林函数法分离变量法积分变换法行波法格林函数法格林函数法热传导方程扩散方程波动方程拉普拉斯方程势方程格林函数法是经典的数学物理方法，不仅在数学领域、在很多工程技术领域应用广泛，如：量子力学、流体力学、材料科学、地震工程、海洋工程、大气科学等等Green(1793-1841)：英国数学家、物理学家一格林出生在一个磨坊主家庭，童年辍学在父亲的磨坊干活，他一边干活一边自修数学和物理。二格林在1833当时他已经40岁，才以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，4年后毕业获学士学位，1839年被聘为剑桥大学教授。三格林发展了电磁理论，他引入的位势等概念，其意义远远

2、超出了解位势方程。他首次研究了与求解数学物理边值问题密切相关的特殊函数格林函数。四在分析引入英国后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国数学家。他的工作培育了数学物理学方面的剑桥学派，其中包括了近代很多伟大的数学物理学家，如威廉.汤姆逊、斯托克斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麦克斯韦等。五1828年，格林自费出版了一本小册子数学分析在电磁学理论中的应用，当时并未引起人们注意，后来被英国数学物理学家汤姆逊发现，并认识到它的巨大价值。1854年，他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊数学杂志上，此时格林已逝世十三年了。格林的这篇论文，在数学和物理研究中，都有着重要的意义。六格林留

3、下的著作虽然不多，但在现代数学物理方面具有举足轻重的地位，都是数学物理中经典的内容。 七七格林那种自强不息的精神、自学成才的气节，深受赞扬。格林那种自强不息的精神、自学成才的气节，深受赞扬。格林函数法格林函数法：从奥高公式到格林公式奥.高公式：RdxdyQdzdxPdydzdVzRyQxP)(其中，是闭曲面围成的空间。取特定的P, Q, R，给定u(x, y, z), v(x, y, z)有二阶连续偏导数，在边界上有连续的一阶偏导数zvuRyvuQxvuP,dVvudSnvuvdVu第一格林公式第一格林公式，其中n为曲面微元dS的外法向矢量。格林函数法格林函数法：从奥高公式到格林公式dVvud

4、SnvuvdVu第一格林公式第一格林公式上述公式中，u和v交换位置，两式相减，得dSnuvnvudVuvvu称为第二格林公式第二格林公式重要启示：两个格林公式中，都存在u和v等项，正是Laplace算子。这或许是格林函数法的思想源头。若求解若求解未知函数未知函数u，我们有很大的自由选择函数，我们有很大的自由选择函数v可交换位置格林函数法格林函数法：格林公式静电场场强静电场场强（置于原点处的点电荷q在其周围空间形成的电势场）rzyxqu4141222求解任意点M(x, y, z)的梯度，计算时，令=q=1,411grad41grad333rzryrxruu0)333(41)(4114152352

5、3523333rzrryrrxrzrzyryxrxruu满足齐次Laplace方程进一步计算进一步计算u格林函数法格林函数法：格林公式静电场场强静电场场强（置于非原点处(M0(x0, y0, z0)的点电荷q在其周围空间形成的电势场）rqxzyyxxqu4)()()(41202020同样满足齐次Laplace方程。0, 041rrdSnuvnvudVuvvu这个函数作为v，代入格林公式，格林函数法格林函数法：格林公式0, 041rrdSnuvnvudVuvvurv41但是，v有奇性 ，而格林公式成立的前提条件是： u(x, y, z), v(x, y, z)在内有二阶连续偏导数，在边界上有连续

6、的一阶偏导数。vr0lim这种情况在数学上如何处理？这种情况在数学上如何处理？挖去点挖去点M0(x0, y0, z0)以该点为中心的球，令半径趋于以该点为中心的球，令半径趋于0nnSM0V那么，V组成复连通域，其表面是+S格林函数法格林函数法：格林公式0, 041rrdSnuvnvudVuvvurv41VSdSnuvnvudVuvvuVSdSnuvnvudSnuvnvudVur1041上式中， 表示外法线上的方向导数。nSdSnurnrudSnurnru41411111格林函数法格林函数法：格林公式SVdSnurnrudSnurnrudVur414110411111上式中， 表示外法线上的方向

7、导数，对于外界面，其表达式如下ncoscoscoszyxn其中cos, cos, cos是外界面外法线n方向的单位矢量。rxcosrycosrzcos对于内界面S，方向导数如下rzyxn)coscoscos(rnSVdSnurnrudSnurnrudVur414110411111格林函数法格林函数法：格林公式rnrnSrrSdSrurrrudSnurnru|41411111其中，P1和P2分别表示小球面S上的两个点，当0时， P1和P2 M0，那么上式的极限是)(|)(lim0102MuruPuPSrdSruru| )(4112积分中值定理积分中值定理SSSdSruudSdSruu414122

8、22|)(|)(41112PSPSruPudSrudSPu格林函数法格林函数法：格林公式SVdSnurnrudSnurnrudVur414110411111)(|)(lim0102MuruPuP)(41141lim0110MudSnurnruudVrV)(|)(lim0102MuruPuPudVrdSnurnruMu14141)(110第三格林公式第三格林公式，M0是中任意一点，r是点M到M0的距离。如果在边界上u和u/ n已知，且u在上已知，则第三格林公式暗示了一个解。第三格林公式暗示了一个解。),(|0zyxuu),(|),(zyxuzyxfu狄利克雷问题狄利克雷问题格林函数法：格林函数法

9、：基本思想基本思想调和函数调和函数，即满足Laplace方程0uudVrdSnurnruMu14141)(110第三格林公式第三格林公式dSnurnruMu41)(110上式表明，调和函数在区域中的值，可以用它及它的导数在区域边界上的值表示。),(zyxfu 对于非齐次的情况，即泊松方程fdVrdSnurnruMu14141)(110给定f和，体积分可以求解。此项根据不同边界条件求解，求解方法待续格林函数法：格林函数法：调和函数的性质调和函数的性质dSnuvnvudVuvvu第二格林公式第二格林公式性质（1）：令u为调和函数，v=1，则0dSnu性质（2）平均值定理：设u在M0为中心、R为半径

10、的球内调和，球面上有一阶连续偏导数，则0)(41)(20MRSdSPuRMu性质（3）极值定理：设u在内调和、在边界上连续且不为常数，则：它的最大最小值在边界上达到。dSnurnruMu41)(110格林函数法：格林函数法：格林函数格林函数狄利克雷问题|0uu在上是的边界udVrdSnurnruMu14141)(110Laplace方程的特解形式（第三格林公式）结合上述两式，得dSnurnrMu41)(110至此，问题是不是就解决了呢？未解决，因为方程的右端含有未知量dSnurnrMu41)(110nu思考：为什么不能将u=代入方向导数项。dSnrnrMu41)(110dSnurnrMu41)

11、(110格林函数法：格林函数法：格林函数格林函数努力方向：努力方向：既然方向导数值无法获得，是否能消去该部分呢？nur1上式源于何处？第二格林公式dSnuvnvudVuvvu取特殊的函数， 而来的。如果换成更一般的调和函数 满足g=0，那么4/1rv4/gv04141dSngunugudVg格林函数法：格林函数法：格林函数格林函数udVgrdSnurnruMu)1(4141)(110第三格林公式第三格林公式相加相加udVgrdSnugrgrnuMu)1(41)()(41)(110再来看u的外法线方向导数，要消去方向导数，则只要求，在界面上r-1+g0。通过这个重要的项，定义格林函数)(41),

12、(10grMMG若满足：格林函数在界面上等于0，即0| ),(0MMG|1| ),(0rMMg04141dSngunugudVgudVgrdSnugrgrnuMu)1(41)()(41)(110格林函数法：格林函数法：格林函数格林函数dSnuGnGuMu)(0)(41),(10grMMG0| ),(0MMGdSnGMu)(0狄氏问题的积分解|1|0rgg但是，还需确定辅助函数g，该函数是调和函数，且在边界上满足 ，因此构造新的狄氏问题：|1|rg以上过程，从一个狄氏问题转换到另一个狄氏问题。为例0u格林函数法：格林函数法：格林函数格林函数|0uu狄利克雷问题第三格林公式给出的解dSnGMu)(

13、0)(41),(10grMMG格林函数的辅助要确定格林函数，须求解|1|0rgg此解的重要意义此解的重要意义1.上述问题和无关，即与原问题的边界条件无关。2.也就是说，给定一个区域，只要求得格林函数G，则对任意的边界条件，可获得相应的狄氏问题的解。一劳永逸一劳永逸3.而且，对于有些特殊形状的区域，格林函数可解析表达；4.在科学计算上，对任意形状的区域任意形状的区域，可通过数值方法求解上述方程。似乎，问题并没有得到简化似乎，问题并没有得到简化求格林函数的方法：电象法)(41),(10grMMG格林函数格林函数区域内点M0处单位电荷在边界产生的电场在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放

14、置适当的电荷，使得这两个电荷产生的电位在边界上相互抵消.那么，这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()0 ,(0, 0222222101141),(0MMMMrrMMG2020202020204141zzyyxxzzyyxx00(,)()()dG M Mu Mf MSn 00(,)|( , )dzG M Mf x ySz例1 求解下列定解问题解：20202020202004141),(zzyyxxzzyyxxMMG00(,)()|( , )dzG M Mu Mf x ySz0000|),(zzMMG2/320202021zzyyxxz02/

15、320202002/320202000|44zzzyyxxzzzzyyxxzz yxMfzzyyxxzMudd)(21)(2/32020200yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3 ,(3, 0222222),(0000zyxM)6 ,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG0(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|( , )dzG M Mf x ySz3 z例2 求解下列定解问题解：例3、四分之一空间的格林函数 3210111141),(0MMMMMMMMrrrrMMG例4、球内的格林函数 210RrrOMOM010PMPMOMrrrR0114OMPMRrr014PMr001011(,)44MMOMMMRG M MrrrR0M1MoP0M0点处点电荷电量 ，00OMrRM1点处点电荷电量 R0M1MoMdSrnruMu41)(110格林函数法（柯西问题）格林函数法（柯西问题）努力方向：努力方向：既然方向导数值无法获得，是否能消去该部分呢？nru 1上式源于何处？第二格林公式dSnuvnvudVuvvu取特殊的函数， 而来的。如果换成更一般的调和函数 满足g=0，那么4/1rv4/gv0