三角形中的边角关系复习课

1、三角形边角关系、命题与证明三角形边角关系、命题与证明的复习指导的复习指导独秀初中：宋生友独秀初中：宋生友1三角形的概念三角形的概念三角形有三条边，三个内角，三个顶点三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形三角形ABC用符号表示为用符号表示为ABC，三角形三角形ABC的边的边AB可用边可用边AB所对的角所对的角C的小写字的小写字母母c 表示，表示，AC可用可用b表示，表示，BC

2、可用可用a表示表示.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形的图形叫做三角形1三角形的概念三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形的图形叫做三角形注意：注意：1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；2:三角形是一个封闭的图形；三角形是一个封闭的图形；3:ABC是三角形是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义的符号标记，单独的没有意义2三角形的三边关系三角形的三边关系注意：注意：1：三边关系的依据是：两点之间线段是短：三边关系

3、的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是三角形第三边的取值范围是: 两边之差两边之差第三边第三边3) B. 3cm、8cm、10 cm C. 三条线段之比为三条线段之比为1:2:3 D. 3a、5a、2a+1 (a1)CC考点二、三角形三边关系考点二、三角形三边关系例例3ABC的三边长分别为的三边长分别为4、9、x, 求求x的取值范围；的取值范

4、围； 求求ABC周长的取值范围；周长的取值范围； 当当x为偶数时，求为偶数时，求x； 当当ABC的周长为偶数时，求的周长为偶数时，求x； 若若ABC为等腰三角形，求为等腰三角形，求x考点三、三角形的三线考点三、三角形的三线例例4：下列说法错误的是（：下列说法错误的是（ ）A:三角形的三条中线都在三角形内。三角形的三条中线都在三角形内。B:直角三角形的高线只有一条。直角三角形的高线只有一条。C:三角形的三条角平分线都在三角形内。三角形的三条角平分线都在三角形内。D:钝角三角形内只有一条高线。钝角三角形内只有一条高线。例例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中：在三条边都不相等的三角形中，

5、同一条边上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ）A:中线。中线。B:高线。高线。C:角平分线。角平分线。D:不能确定。不能确定。BB6有关有关“命题命题”的概念的概念注意：注意： 命题有命题有真命题真命题和和假命题假命题两种，两种， 用来判断它是真（正确）、假（错误）的语句或用来判断它是真（正确）、假（错误）的语句或式子叫做命题。式子叫做命题。 命题由命题由题设题设和和结论结论两部分组成的两部分组成的. 前一部分，也前一部分，也称之为条件，后一部分称之为结论。称之为条件，后一部分称之为结论。 命题通常是用命题通常是用“如果如果, 那么那么.”

6、的形式给出的形式给出. “如果如果p, 那么那么q.”中的题设与结论互换，得一个中的题设与结论互换，得一个新命题：新命题： “如果如果q, 那么那么p.” 这两个命题称为这两个命题称为互逆命互逆命题题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题. 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题. 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可反例即可.w证明命题的一般步骤证明

7、命题的一般步骤: :(2)(2)根据题意根据题意, ,画出图形画出图形; ;(3)(3)结合图形结合图形, ,用用符号语言符号语言写出写出“已知已知”和和“求证求证”; ;(5)(5)依据思路依据思路, ,运用数学符号和数学语言条理清晰运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程地写出证明过程; ;(1)(1)理解题意理解题意: :分清命题的条件分清命题的条件( (已知已知),),结论结论( (求证求证););(4)(4)分析题意分析题意, ,探索证明思路；探索证明思路；一、下列语句哪些是命题一、下列语句哪些是命题, ,哪些不是命题哪些不是命题? ?1.1.正数大于零，零大于一切负数正数大于零

8、，零大于一切负数; ;2.2.两点确定一条直线两点确定一条直线; ;3.3.画画AOBAOB的平分线的平分线; ;4.4.相等的角是全等三角形的对应角相等的角是全等三角形的对应角; ;5.5.若若c ca+b,a+b,则则c ca,ca,cb b正确吗？正确吗？是命题是命题是命题是命题不是命题不是命题是命题是命题不是命题不是命题练一练练一练二、判断下列命题的真假二、判断下列命题的真假. .1.1.有一个角是有一个角是4545的直角三角形是等腰直角三角形的直角三角形是等腰直角三角形. .2.2.素数不可能是偶数素数不可能是偶数. .3.3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人

9、. .4.4.有两个外角有两个外角( (不同顶点不同顶点) )是钝角的三角形是锐角三角形是钝角的三角形是锐角三角形. .5.5.若若y(1-y)=0y(1-y)=0，则，则y=0.y=0.真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题练一练练一练6.6.正数不小于它的倒数正数不小于它的倒数. .7.7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等如果两个角不是对顶角，那么它们不相等. .8.8.若若x x3 3，则，则x2x29.9.9.9.异号两数相加和为负数异号两数相加和为负数. .10.10.若若c ca+b,a+b,则则c ca,ca,cb.b.假命题假命题假命题假命题假命题假命

10、题假命题假命题假命题假命题7有关有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线辅助线”等概念等概念（2）定理：）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题题（1）基本事实（公理）：）基本事实（公理）：从长期实践中总结出来的，从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的真命题。不需要再作证明的真命题。（4）演绎推理：）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公从已知条件出发，依据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。理、定理，并按照

11、逻辑规则，推导出结论的方法。（5）证明）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明证明”。（3）推论：）推论：由公理、定理直接得出的真命题。由公理、定理直接得出的真命题。（6）辅助线：）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段或直线。画的线段或直线。8三角形的内角和定理：三角形的内角和等于三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180(2) 从剪拼可以看出：从剪拼可以看出：A+B+C=180 （1）从折叠可以看出：）从折叠可以看出：A+B+C=180 (3) 由推理证明可知：由推理证明可知：A+B+C=180 证明三角形

12、内角和定理的方法证明三角形内角和定理的方法添加辅助线思路：1、构造平角 21EDCBA图1ABC图2DE12EDFABC图312添加辅助线思路添加辅助线思路:2、构造同旁内角、构造同旁内角EABC图1（EDF（1234（ABC图29三角形的外角三角形的外角三角形的外角的定义三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与内角的关系：三角形的外角与内角的关系：2:2:三角形的一个外角三角形的一个外角等于等于它不相邻的两个内角的和；它不相邻的两个内角的和；1:1:三角形的一个外角与它相邻的内角三角形的一个

13、外角与它相邻的内角互补互补；3:三角形的一个外角三角形的一个外角大于大于任何一个与它不相邻的内角。任何一个与它不相邻的内角。4:三角形的外角和为三角形的外角和为360360。例例3 3、 如图，已知如图，已知ADAD是是ABDABD和和ACDACD的公共边的公共边. .求证：求证：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABDABD中中, 1, 1180180B B3 3 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 在在ADCADC中中, 2, 2180180C C4 4 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 又又BDCBDC3603601 12 2（

14、周角定义周角定义） BDC BDC 360360（ 180180B B3 3 ）（ 180180C C4 4 ） B+C+3+4. B+C+3+4. 又又 BAC BAC 3+4,3+4, BDC BDC B+C+ BAC B+C+ BAC （等量代换等量代换）证法二：证法二：.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接ABCD12例例3 3、 如图，已知如图，已知ADAD是是ABDABD和和ACDACD的公共边的公共边. .求证：求证：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+CABCD1234例例3 3、 如图，已知如图，已知ADAD是是ABDABD和和ACDACD的公共边的公共边. .求证：求证：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+C请大家完成第三种证明方法请大家完成第三种证明方法考点四、三角形内角和定理：考点四、三角形内角和定理：1314解：解：设设B=x ，则，则A=3x，C=4x ， 从而从而:x+3x+4x=180，解得，解得x=22.5 即：即：B