平面及其方程学习教案

1、会计学1平面及其方程平面及其方程第一页，编辑于星期一：二十一点 三十分。xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平一平面，这向量就叫做该平面的面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn第1页/共25页第二页，编辑于星期一：二十一点 三十分。,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的

2、点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上面的方程称为平面的方点都不满足上方程，上面的方程称为平面的方程，平面称为方程的图形程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx第2页/共25页第三页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例 1 1 求求过过三三点点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx第3页/共25页第

3、四页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解第4页/共25页第五页，编辑于星期一：二十一点 三十分。由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,

4、CBAn 第5页/共25页第六页，编辑于星期一：二十一点 三十分。平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情情形形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.第6页/共25页第七页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2, 3, 6( ，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求

5、此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解第7页/共25页第八页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0D

6、cCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解第8页/共25页第九页，编辑于星期一：二十一点 三十分。,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上截距轴上截距第9页/共25页第十页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与

7、已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解第10页/共25页第十一页，编辑于星期一：二十一点 三十分。,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为第11页/共25页第十二页，编辑于星期一：二十一点 三十分。定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:2

8、2222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 第12页/共25页第十三页，编辑于星期一：二十一点 三十分。按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 第13页/共25页第十四页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyx

9、zyx02224, 012) 3 (zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 第14页/共25页第十五页，编辑于星期一：二十一点 三十分。)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.第15页/共25页第十六页，编辑于星期一：二十一点 三十分。例例7

10、7 设设),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一点点，求求0P到到平平面面的的距距离离. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解第16页/共25页第十七页，编辑于星期一：二十一点 三十分。 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 第17页/共25页第十八页，编辑于星期一：二十一点 三十分。0111 DCzByA

11、x)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式第18页/共25页第十九页，编辑于星期一：二十一点 三十分。平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程和三点式方程截距式方程和三点式方程 （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）第19页/共25页第二十页，编辑于星期一：二十一点 三十分。思考题思考题 若若平平面面02 zkyx与与平平面面032

12、zyx的的夹夹角角为为4 ，求求? k第20页/共25页第二十一页，编辑于星期一：二十一点 三十分。思考题解答思考题解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k第21页/共25页第二十二页，编辑于星期一：二十一点 三十分。一、一、 填空题：填空题：1 1、 平面平面0 CzByAx必通过必通过_， （其中（其中 CBA,不全为零） ；不全为零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x轴；轴；3 3、平面、平面0 CzBy_x轴；轴；4 4、通过点、通过点)1,0,3( 且与平面且与平面012573 zyx平平 行的平面方程为行的平面方程为

13、_ _；5 5、通过、通过),0,0()0,0()0,0,(cba、三点的平面方三点的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx与与xoy面的夹角余弦为面的夹角余弦为_ _ _，与，与yoz面的夹角余弦为面的夹角余弦为_， 与与zox面的夹角的余弦为面的夹角的余弦为_；练练 习习 题题第22页/共25页第二十三页，编辑于星期一：二十一点 三十分。二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求过点求过点)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三点的三点的 平面方程平面方程 . .四、四、 点点)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通过过Z轴轴和和点点)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求与与已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且与与 三三坐坐标标面面所所构构成成的的四四面面体体体体积积为为 1 1 的的平平面面方方程程 . .第23页/共25页第二十四页，编辑于星期一：二十一点 三十分。一、一、1 1、(0,0,0)(0,0,0)； 2 2、平行于；、平行于； 3 3、通过；、通