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文档简介

1、会计学1函数函数(hnsh)的幂级数展开式的应用一近的幂级数展开式的应用一近似计算似计算第一页,共23页。,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误差误差两类问题两类问题(wnt):(wnt):1.给定给定(i dn)项数项数,求近似值并估计精求近似值并估计精度度;2.给出精度给出精度(jn d),确定项确定项数数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.第1页/共22页第二页,共23页。常用常用(chn yn)方法方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项则可用余和的首项(shu xin)来解决来解决;例例1 1.10,5 使其

2、误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得2.若不是若不是(b shi)交错级数交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.第2页/共22页第三页,共23页。余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828

3、. 2 第3页/共22页第四页,共23页。例例2 2.,9sin! 3sin03并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 .510 第4页/共22页第五页,共23页。原函数不能用初等例如函数,ln1,sin,2xxxex., 难以计算其定积分函数表示解法解法(ji f)逐项积分逐项积分(jfn)展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第

4、5页/共22页第六页,共23页。第四项第四项30001! 771 ,104 取前三项作为取前三项作为(zuwi)积分的近似积分的近似值值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算dxxx 642! 71! 51! 311sinxxxxx解解),( x ! 771! 551! 3311sin10dxxx收敛收敛(shulin)的交错级数的交错级数第6页/共22页第七页,共23页。1.1.利用级数利用级数(j sh)(j sh)和的定义求和的定义求和和: :(1)直接直接(zhji)法法;(2)拆项法拆项法;

5、(3)递推法递推法.例例4 4.21arctan12的和的和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 第7页/共22页第八页,共23页。181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假设假设221arctan1arctankkksk ,1arctan kk第8页/共22页第九页,共23页。2.2.阿贝尔法阿贝尔法( (构造构造(guzo)(guzo)幂级数法幂级数

6、法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐项积分逐项积分(jfn)、逐项求、逐项求导导)例例4 4.2121的和的和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 第9页/共22页第十页,共23页。 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn故故第10页/共22页第十一页,共23页。例例5 5.2 !12的和的和求求 nnnn

7、解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 第11页/共22页第十二页,共23页。复数复数(fsh)项级数项级数: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则称级数则称级数 1)(nnnivu收敛收敛, , 且其和为且其和为 ivu . .第12页/共22页第十三页,

8、共23页。复数复数(fsh)项级数绝对收敛的概念项级数绝对收敛的概念三个基本三个基本(jbn)展开式展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)(xNoImage收敛若nnvuvuvu2222221212数绝对收敛则绝对收敛称复数项级第13页/共22页第十四页,共23页。的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xco

9、sxsin第14页/共22页第十五页,共23页。xjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示揭示(jish)(jish)了三角函数和复变量指数函了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系数之间的一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyjyeexjyx 第15页/共22页第十六页,共23页。、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法(ji f)(第十二第十二节介绍节介绍)求数项级数的和,欧拉公式的证明;求数项级数的和,欧拉公式的证明;第16页/共22页第十七页,共23页。思考思考题题利用利用(lyng)幂级数展开式幂级数

10、展开式, 求极限求极限.sinarcsinlim30 xxxx 第17页/共22页第十八页,共23页。思考题解答思考题解答(jid),54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入将上两式代入第18页/共22页第十九页,共23页。 54231321lim530 xxxxx 5533! 533! 33341xx原式原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 第19页/共22页第二十页,共23页。一、一、 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值利用函数的幂级数展开

11、式求下列各数的近似值: : 1 1、3ln ( (精确到精确到0001. 0) ); 2 2、2cos ( (精确到精确到0001. 0).).二、二、 利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5 . 00arctandxxx ( (精确到精确到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 将函数将函数xexcos展开成展开成的幂级数的幂级数x . .练练 习习 题题第20页/共22页第二十一页,共23页。练习题答案练习题答案(d n)一、一、1 1、1.09861.0986; 2 2、0.9994.0.9994.二、二、0.487.0.487.三、三、),(!4cos2cos02 nnxnxnxe . . ( (提示提示: :xjxjxeexe)4sin4(cos2)1(ReRecos ) )第21页/共22页第二十二

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