函数的连续性4学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)的连续性的连续性4第一页，共40页。1 . 定义定义(dngy) :称函数(hnsh)设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点处左左连续 ；若称函数( )f x0 x在点处右右连续 ；称函数( )f x0 x在点处连续连续 ，( )f x0 x为函数的 连续点连续点 ；此时也称若函数在开区间内每一点 x 处都连续，( )f x在开区间内内 连续 ，则称若函数( )f x( , )a b内连续，在闭区间上上 连续 ，( )f x则称函数在开区间且记作：函数记作：第1页/共39页第二页，共40页。( )f x( )f x由上定义可见(kjin) ，函数在点(1)

2、函数(hnsh)在点(2)(3)处连续必须具备下列均收敛 ;处有定义 ,有意义 ;0 x即在点0 x处不不连续，在点0 x处 间断间断 ，为函数( )f x的间断 点点。与0 x则称函数此时也称条件：(4)0()f x均收敛且0()f x与( )f x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共39页第三页，共40页。与0 x(1) 函数(hnsh)(4)(2)均收敛(shulin)，但若函数在点处间断 ,则在连续性的定义中至少一个条件不被满足 ，中至少有一个发散 。在点处无定义 ；机动 目录 上页 下页 返回 结束 与0fx0fx也就是说可从以下四方面考虑：均收敛，且(3) f x0 x第

3、3页/共39页第四页，共40页。0fx f x0fx第一类间断第一类间断(jindun)点点:与均收敛(shulin) 。特别地 ：时，）当时，第二类间断点第二类间断点:及中至少有一个发散。而另一个) 若左右极限都是振荡的； 此时均称 ) 若左、右极限都趋于；为可去可去间断点 ；为 跳跳 跃跃 间断点 ；为无穷无穷间断点 。为振荡型振荡型间断点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若) 当称为处的跳跃度度 。在称称设是函数的间断点，0 x0 x0 x0 x0 x0 x0fx0fx特别地 ：或者其中一个趋于，此时均称一个收敛。收敛；或者其中有一个是振荡的 , 而另第4页/共39页第五页，共40

4、页。为该函数(hnsh)的可去间断点 。xoy1显然(xinrn)1显然为其可去间断点。xoy211（函数在 x =1 处无定义）（函数在x=1处有定义）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共39页第六页，共40页。xyo11为其跳跃(tioyu)间断点, 其跳跃(tioyu)度为 2 ；机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 显然(xinrn)为其无穷间断点；xytan2xyo为其振荡间断点。xyxy1sin00 x 第6页/共39页第七页，共40页。解解: 间断间断(jindun)点为点为：为无穷间断点;故为跳跃间断点，其跳跃度为1 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 即函数

5、连续的区域为 ：1x 第7页/共39页第八页，共40页。1 . 连续函数的运算连续函数的运算(yn sun)法则法则定理定理(dngl)（连续函数四则运算）（连续函数四则运算） ( 利用极限的四则运算法则证明)设例如例如,则均在 R 上连续。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共39页第九页，共40页。而函数(hnsh)则证证:于是(ysh)故复合函数处连续，且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 处也连续，在点处连续。在点在点设且由0 x的任意性得知函数第9页/共39页第十页，共40页。设函数(hnsh)试证函数(hnsh)：都是内的连续函数。证证:根据连续函数运算法则 ,可知机动

6、目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共39页第十一页，共40页。是由连续函数链因此(ync)是集合(jh)里的连续函数 。复合(fh)而成 ,xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 1sinyx第11页/共39页第十二页，共40页。解解:讨论(toln)复合函数的连续性 。而故x = 1 为第一类间断(jindun)点。在点 x = 1 不连续(linx) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 gf x第12页/共39页第十三页，共40页。设函数(hnsh)例如例如(lr),在闭区间上连续且严格单调递增，其反函数( 证明略 )在闭区间连续的，也是相应相应严格单调的连续函数。是严格单

7、调机动 目录 上页 下页 返回 结束 则又如又如,在开区间内连续且严格单调递增，其反函数在开区间指数函数在 R 内连续且严格调递增的，再如再如,数函数 ) 在区间 (0, +) 内也是连续且严格单调递增的。其反函数 ( 对上也连续且严格单调递增。内也是连续且单调递增。第13页/共39页第十四页，共40页。基本初等(chdng)函数在其定义域内连续；连续函数经四则运算(s z yn sun)后仍是连续的；连续函数的复合函数仍是连续的。定理定理：一切初等函数 在自己的定义区间内 必连续。例如例如,的连续区间为( 端点为单侧连续 )；的连续区间为：若定义域取为：则它无一连续点。对于函数机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束 第14页/共39页第十五页，共40页。定理定理(dngl)(dngl)（有界性）（有界性）机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 （简言之：闭区间上的连续函数必有界）使得：设函数则存在实数 证：用反证法，在闭区间上无界，即使得：显然由 “任一有界数列必有收敛的子列” 得 ：使得 ：另一方面，一方面，故矛盾.若第15页/共39页第十六页，共40页。设函数(hnsh)）若存在(cnzi)一点使得(sh de)都有则称为函数在区间 I 内 的最小值， f x记作：）若存在一点使得,xI 都有则称为函数在区间 I 内 的最大值， f x记作：函数的 最大值 与 最小值 统

9、称为函数的最值最值。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共39页第十七页，共40页。 ,a b f x（简言之：闭区间上连续(linx)的函数必有最值）证：xoyab)(xfy xx则使得(sh de) ：机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 设函数原理，函数上必有上、下确界(、) ，在使得：下证由上确界定义，由确界存在故可从中取一收敛的子列即同理可证最小值。使得：使得第17页/共39页第十八页，共40页。例如例如(lr)，无最大值和最小值 。xoy11xoy1122也无最大值和最小值 。又如又如, 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 （因为(yn wi)函数定义域

10、是开区间）（尽管函数的定义域是闭区间，但函数在该区间上不连续）若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断点， 此时结论不一定成立 。第18页/共39页第十九页，共40页。证证: 不妨不妨(bfng)设设则存在(cnzi)使得：xyoab)(xfy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数若如右图所示：显然 M 非空且上有界，下证：由确界存在原理，使得：若使得：连续，即使得：这与为集 M 的上确界矛盾；若 f x0,使得：连续，即使得：这也与为集 M 的上确界矛盾；第19页/共39页第二十页，共40页。设函数(hnsh) 由最值定理(dngl)知本定理(dngl)成立；则证证: 如右图所示：令故

11、由零点(ln din)定理知, 必有一点使得：在闭区间bxoya)(xfy 下不妨设：使得：机动 目录 上页 下页 返回 结束 且Mm当C = m 或 C = M 时，当然有使得：上连续，且且第20页/共39页第二十一页，共40页。证证: 显然显然(xinrn)函数函数又故据零点(ln din)定理, 必存在一点使得：即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根。二分法二分法4321x01在区间内至少有一个根。机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则在闭区间上连续，第21页/共39页第二十二页，共40页。且必存在(cnzi)一点证证:使得(sh de)令则使得(sh

12、 de)故由零点定理知 , 存在即当时,取或得试证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 在上连续，当时, 12.ff xf x必有第22页/共39页第二十三页，共40页。设即:一般(ybn)情形,就引出(yn ch)了一致连续的概念 .定定 义义 : 设都有在 I 上一致连续一致连续 .显然:机动 目录 上页 下页 返回 结束 当时，则称 f x在区间 I 里一致连续 f x在区间 I 里连续。第23页/共39页第二十四页，共40页。里连续(linx)但不一致连续(linx) .因为(yn wi)取点则 可以任意小，但这说明在 ( 0 , 1 里不一致连续 .定定 理理 ：上必一致连续。(证

13、明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 在设（简言之：闭区间上的连续函数必一致连续）则在第24页/共39页第二十五页，共40页。左连续(linx)右连续(linx)第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都收敛 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个发散在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共39页第二十六页，共40页。基本初等函数在定义(dngy)区间内连续连续函数的四则运算的结果(ji gu)连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续，需讨

14、论其 左、机动 目录 上页 下页 返回 结束 右连续性.第26页/共39页第二十七页，共40页。在上达到(d do)最大值与最小值;上可取(kq)最大与最小值之间的任何值;4）当时,使得：必存在上有界;在,ba在,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 设5）闭区间上的连续函数必一致连续。第27页/共39页第二十八页，共40页。1. 任给一张面积任给一张面积(min j)为为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明(zhngmng)必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.xoy则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共39页第二十九页，共40页

15、。则证明(zhngmng)至少存在使提示提示(tsh): 令令则易证作业作业(zuy)P73 题题 2 ; 3; 4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共39页第三十页，共40页。至少有一个(y )不超过 4 的 证证：证明(zhngmng)令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共39页第三十一页，共40页。continue若)(xf在某区间(q jin)上每一点都连续 , 则称它在该区间(q jin)上连续(linx) , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例如例如,在上连续 .( 有理整函数 )

16、又如又如, 有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共39页第三十二页，共40页。有函数(hnsh)的增量)(xfy xoy0 xxxy左连续(linx)右连续当时, 有函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共39页第三十三页，共40页。续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数处处(chch)间断,处处(chch)连续 .反之是否成立? 作业作业P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5提示提示:“反之” 不成

17、立 .第十节 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共39页第三十四页，共40页。在内连续(linx) .证证: 即这说明(shumng)xysin在),(内连续 .同样可证: 函数在),(内连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共39页第三十五页，共40页。1. 讨论(toln)函数x = 2 是第二类无穷(wqing)间断点 .间断点的类型.2. 设时提示提示:3. P64 题 2 , P65 题 5为连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,第35页/共39页第三十六页，共40页。有理点x无理点x 作业作业(zuy) P64 3 ; 4 xyoxyo第九节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第36页/共39页第三十七页，共40页。解解:原式例例3. 求解解: 令则原式说明说明(shumng): 当当时, 有x机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第37页/共39页第三十八页，共40页。解解:原式ex0lim说明说明(shumng): 若若则有机动 目录(ml) 上