初等函数的连续性学习教案

1、会计学1初等初等(chdng)函数的连续性函数的连续性第一页，共25页。2定理(dngl)1如,则由于(yuy)一、四则运算(s z yn sun)的连续性 也在点 x0连续; 在其定义域内连续.连续函数的运算与初等函数的连续性 在点 x0连续; 在点 x0连续.第1页/共24页第二页，共25页。3区间(q jin)套定理 Def 3.10 设一组实数的闭区间序列满足：则称 构成一个区间套. Thm 3.16设 是一个区间套，则必存在唯一(wi y)的实数 使得 包含在所有的区间里，即 ,nnba证明(zhngmng)：P75第2页/共24页第三页，共25页。4的零点(ln din).定理(方

2、程(fngchng)实根的存在定理)使得(sh de) 零点定理几何意义:如图所示.二、介值定理闭区间上连续函数的性质xyOba证明：用区间套定理P75-76第3页/共24页第四页，共25页。5定理(dngl)(介值定理(dngl)使得(sh de)证零点(ln din)定理闭区间上连续函数的性质 辅助函数第4页/共24页第五页，共25页。6几何(j h)意义:至少(zhsho)有一个交点.闭区间上连续函数的性质xyO)(xfy 1 ABCba2 3 1P2P3P第5页/共24页第六页，共25页。7如, 结论: 反三角函数(snjihnsh)在其定义域内皆连续定理(dngl)2故同理,二、反函

3、数与复合(fh)函数的连续性单调增加 且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.连续函数的运算与初等函数的连续性也是单调增加且连续.单调减少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.证明：使用介值定理P76第6页/共24页第七页，共25页。8此定理对计算某些(mu xi)极限是很方便的.定理(dngl)3设函数(hnsh)是由函数与函数复合而成,而函数连续,则证连续函数的运算与初等函数的连续性第7页/共24页第八页，共25页。9将上两步合起来(q li):)()(0ufuf .成立成立 , 0 , 0 对对于于,0时时使当使当 uu, 0 .)()(0成立成立恒有恒有 ufuf, 0 .)(0

4、成立成立恒有恒有 uxg0uu 连续函数的运算与初等函数的连续性第8页/共24页第九页，共25页。10意义(yy)例解可交换(jiohun)次序;由所以(suy)2. 变量代换的理论依据. sin1. 在定理的条件下,定理3,)(lim00uxgxx 若若,)(0连续连续在点在点函数函数uuf)(lim0 xgfxx则有)(0uf .f )(lim0 xgxx连续函数的运算与初等函数的连续性第9页/共24页第十页，共25页。11例解 这里(zhl)不连续(linx),但所以(suy)定理3,)(lim00uxgxx 若若,)(0连续连续在点在点函数函数uuf)(lim0 xgfxx则有)(0u

5、f .f )(lim0 xgxx连续函数的运算与初等函数的连续性第10页/共24页第十一页，共25页。12例解同理可得连续函数的运算与初等函数的连续性第11页/共24页第十二页，共25页。13定理(dngl)4设函数(hnsh)是由函数(hnsh)与函数复合而成,若函数连续,而函数连续, 则复合而成)(xgfy 也连续.是由连续函数因此复合而成 例连续函数的运算与初等函数的连续性第12页/共24页第十三页，共25页。14三角函数(snjihnsh)及反三角函数(snjihnsh)(1)(2)(3)是连续(linx)的;三、初等(chdng)函数的连续性单调且连续; 证明：P74指数函数对数函数

6、单调且连续;(均在其定义域内连续 )(4)幂函数连续;讨论不同值.在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的.连续函数的运算与初等函数的连续性第13页/共24页第十四页，共25页。15定义(dngy)区间是指包含在定义(dngy)域内的区间.基本初等函数在定义(dngy)区间内连续连续函数经四则运算(s z yn sun)仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 如,这些孤立点的邻域内没有定义.注在其定义域内不一定连续;连续函数的运算与初等函数的连续性第14页/共24页第十五页，共25页。16例例解解2. 初等函数(hnsh)求极限的方法

7、注代入法.连续函数的运算与初等函数的连续性第15页/共24页第十六页，共25页。17连续函数的运算与初等函数的连续性解第16页/共24页第十七页，共25页。18四、小结(xioji)连续函数的和差积商的连续性;复合(fh)函数的连续性:初等(chdng)函数的连续性:求极限的又一种方法.两个定理; 两点意义.反函数的连续性;定义区间与定义域的区别;连续函数的运算与初等函数的连续性第17页/共24页第十八页，共25页。19思考题1连续函数的运算与初等函数的连续性如果(rgu)函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不那么(n me), f (x) + g(x)在该点是否连续?连续(linx)

8、,思考题2 (是非题)处有定义,则第18页/共24页第十九页，共25页。20解答(jid)连续函数的运算与初等函数的连续性思考题1如果函数(hnsh) f (x)、g(x)至少有一个在点x0不那么(n me), f (x) + g(x)在该点是否连续?连续,(1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续,则f (x) + g(x)在点x0必不连续. 用反证法证之:不妨设在点x0, 并假设 f (x) + g(x)在点x0连续, 则由连续函数的运算性质有:在点x0连续,与已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在点x0不连续. f (x)连续, g(x)不连续;第19页/共24页第二十页，共25页

9、。21解答(jid)连续函数的运算与初等函数的连续性思考题1如果函数 f (x)、g(x)至少有一个(y )在点x0不连续,(2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续(linx),则 在f (x) + g(x)在点x0可能连续,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?也可能不连续.如:在 x = 0处均不连续,在 x = 0处在 x = 0处连续.在 x = 0处均不连续,在 x = 0处亦不连续.第20页/共24页第二十一页，共25页。22思考题2 (是非题)处有定义(dngy),则连续函数的运算与初等函数的连续性非故但第21页/共24页第二十二页，共25页。23连续函数的运算与

10、初等函数的连续性思考题2 (是非题)处有定义(dngy),则所以(suy),不存在(cnzi).故正确的说法是:)(ufy 在点x0连续,处亦连续,则 )(lim0 xgfxx第22页/共24页第二十三页，共25页。24作业(zuy)习题(xt) (页) 1. 2. 3.(1) (3) (5) (7) 4.(2) (4) (6) 5. 连续函数的运算与初等函数的连续性第23页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结会计学。连续函数的运算与初等函数的连续性。Def 3.10 设一组实数的闭区间(q jin)序列满足：。则称 构成一个区间(q jin)套.。第2页/共24页。定理