复变函数课件：第三讲 矢量场的通量和散度

1、第三讲矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1. 前言前言2第二章 场论如图（2 11），流体穿过dS 的流量dQ ，就近似地等于以dS为底面积，vn为高的柱体体积（ vn 为 v 在n 上的投影），即.(3.1)ndQv dS若以n表示点M 处的单位法矢，则有00()()nv dSdSdSv nvn据此，又可以dQ = v dS ( 3.2 )其中dS = ndS 为在点M 处的这样一个矢量，其方向与N 一致，其模等于面积dS ，如图（2 12）。0dSdS n2第二章 场论据此，在单位时间内向正侧穿过S 的流量，可用曲面积分表示为(3.3)nssv dSdQ =vS3第二章 场论设有矢量场A

2、 (M) ，沿其中某一方向曲面S 的曲面积分叫做矢量场A (M) 向正侧穿过曲面S 的通量通量。(3.6)nssA dSd =A S一、一、通量的定义通量的定义：( , , )( , , )( , , )P x y zP x y zP x y zA=ij+kcos( , )cos( , )cos( , )odSdsdSxdSydSzdydzdxdzdxdynninjnkijk(3.8)ssdPdydzQdxdzRdxdy =A S4第二章 场论解：解：以S1 表示曲面S 的平面部分，以S2 表其锥面部分，则左端第一个积分112311ssdxdydzydxdzzdxdyHdxdyHdxdyHHH

3、rS例例1.1.设由矢径r = xi + yj + zk 构成的矢量场中，有一由圆锥面x2 + y2 = z2 及平面 z =H(H0 )所围成的封闭曲面S，如图（2 13）。试求场r 从S 内穿出S 的通量 。 rxyzijk222 xyz12sssddd =rSrS +rS5第二章 场论所以22200nsssdr dsdsrS其中 1 为S1 在 xOy 上的投影，是一个圆域：x2 + y2 H2，对于右端第二个积分，只要注意到在S2 上有 r n，就有222 xyH3SdH =rS6第二章 场论（2）通量为正，为负，为零时的物理意义。）通量为正，为负，为零时的物理意义。设在单位时间内流体

4、向正侧穿过S 的流量为Q，则在单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS 的流量，前面说过为当v 是从dS 的负侧穿到dS 的正侧时，v 与n 相交成锐角，此时dQ = v dS 0 为正流量；反之，如v 是从dS 的正侧穿到dS 的负侧时，v 与n 相交成钝角，此时dQ = v dS 0 为负流量。dQdvS7第二章 场论一般应理解为：它是在单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。sQdvS因此，对于总流如果S 为一封闭曲面，此时积分 S在无特别申明时，即指沿S 的外侧。因此流量ssQdvS通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a) a) 若若 ，闭合面内

5、有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；0Q b) b) 若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；0Q c) c) 若若 ，闭合面，闭合面正源和负源相互抵消或无源。0Q 8第二章 场论解：解：如图（2 15），在球面S 上恒有r = R，且法矢n 与r的方向一致。所以例例2.2.在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为22224444SSSqddRqqdRqRR0e =DSrS=S24qr0D =r其中r 是点电荷q 到点M 的距离，r是从点电荷q 指向点M 的单位矢量。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S的电通量 e。2.

6、 散度散度9第二章 场论SdVVAS之极限存在，则称此极限为矢量场A (M) 在点M 处的散度散度，记作div A，即（1）散度的定义）散度的定义：设有矢量场A (M) ，于场中一点M 的某个邻域作一包含M 点在内的任一闭曲面S，设其所包围的空间区域为 ，以 V 表其体积，以 表从其内穿出S 的通量。若当 以任意方向式缩向M 点时，比式divAlimlim(3.9)SMMdVV AS = 1) 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 2) 矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量； 3) 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场

7、的散度是空间坐标的函数；4、散度的物理意义( ( 无源无源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 负负源源) )( )0divF r 4) 4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中， 1 1）若）若 ，则该矢量场称为有源场，则该矢量场称为有源场， 为源密度为源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无源场。11第二章 场论div A 0 的矢量场为无源场无源场散度div A 为一数量，表示场中一点处通量对体积的

8、变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度源的强度。（2）散度在直角坐标系中的表示式：）散度在直角坐标系中的表示式：定理定理. 在直角坐标系中，矢量场A = P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k 在任一点M(x , y , z ) 处的散度为div(3.10)PQRlxyA =散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源；当表示该点有散发通量的正源；当div ，表示该点有吸收通量，表示该点有吸收通量的负源；当的

9、负源；当div ，表示该点为无源场。，表示该点为无源场。0A0A0A12第二章 场论推论推论1. 通量和散度之间的一种关系，即：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所包围的区域 上的散度在 上的三重积分。(3.11)Sddiv dVASA推论推论2. 由推论1 可知：若在封闭曲面S 内处处有div A = 0，则0SdAS13第二章 场论推论推论3. 若在矢量场A 内某些点（或区域）上有div A 0 或div A 不存在，而在其他的点上都有div A = 0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。例例3.3.在点电荷q 所产生的静电场中，求电位移矢量D 在任何一点M

10、处的散度div D 。14第二章 场论解：解：取点电荷所在之点为坐标原点。此时34qrDr.其中r = xi + yj + zk，r = |r| 因此于是有333,444xyzqxqyqzDDDrrr222222555333,.444yxzDDDq rxq ryq rzxryrzr所以2222533()0(0).4yxzDDDqrxyzdivrxyzrD15第二章 场论电场穿过包含点电荷q 在内的任何封闭曲面S 的电通量都等于q，即.Sdqe =DS通量是可以叠加的，m 个点电荷q1 , q2 , , qm 穿出包围这m 个点电荷在内的任一封闭曲面S 的电通量 e ，可以看成是由S 内每个点电

11、荷qi ( i = 1, 2 , m) 所产生并穿出S 的电通量 i = qi 的代数和e11q(3.12)nniiQii =此结果说明：穿出任一封闭曲面S 的电通量，等于其内各点电荷的代数和。这就是电学上的高斯（K.F.Gauss）定理。16第二章 场论根据高斯定理，在电荷连续分布的电场中，电位移矢量D 的散度为limlimlim(3.13)SeMMMdQdivVVV DSD =其中 为电荷分布的体密度。（3）散度运算的基本公式。）散度运算的基本公式。1 ) div ( cA ) =c div A （c 为常数）2) div ( A B ) = div A div B3 ) div ( uA ) =u div A + A