第二讲数理统计基础(1)

1、01分布分布 若随机变量X只能取0，1两个值，且P（X=1）=p，P（X=0）=1p=q（0p1），则称X服从参数为p的01分布; 若 一 随 机 试 验 只 有 两 种 可 能 结 果 ， 则 称 该 试 验 为 伯 努 利（Bernoulli）试验 12212222E(X)01D(X)()(0)(1)()iiiiiix pqppxppqppp qq ppq pqpq二项分布（二项分布（Binominal Distribution） 独立重复进行n次伯努利试验称为n重伯努利试验 ,在n重伯努利试验中，A出现的次数设为X，则随机变量X的分布律为 其中0p1，称X服从参数为n，p的二项分布或伯努

2、利分布，记为XB（n，p） 当n=1时，二项分布即为01分布P(X) (k=0,1,2,n)kkn knkC p q1P(X) (k=0,1)kkkp q00111E(X)!()!(1)!(1)!1 (1)!()nkkn knknkn kknkn kknkC p qnkp qk nknnppqknknp pqnp 2222222222D(X)E(X )E(X)(1)()(1)n npnpnpn pnpnpn pnppnpq(1)当p值较小且n值不大时图形是偏倚的。随着n值的增大，分布逐渐趋于对称(2)当pq时，分布图为偏态; p值趋于0.5,分布趋于对称,p、q相差越小，n越大，图形的对称性越

3、强;当p=q时即,p=0.5,分布图对称.(3)当n适当大，如大于30，p值又不过于小，并且np与nq均不小于5时，二项分布将趋近于正态分布。但当n很大，p很小时，二项分布则趋近于泊松分布二项分布的正态近似二项分布的正态近似 概率论证明:当n时,二项分布B(n,p)趋于正态分布N(np,npq). 一般当n30，p值又不过于小,通常p0.1，并且np与nq均不小于5时，此结论可近似应用. 或:1()(knpP Xknpqnpq()()()bk abnpanpP XkFFnpqnpq泊松分布（泊松分布（Poisson Distribution） 若随机变量X的分布律为其中0为常数，则称X服从参数

4、为的泊松分布，记为X P（ ）即P(X) (k=1,2, )!kekk011!(1)!kkkkekkek22222() ()E XE X2（1）当较小时，泊松分布是偏倚的，随增大，分布逐渐对称。（2）当无限增大时，泊松分布逼近正态分布N(，)；当20时，泊松分布已和正态分布非常接近；当50时，除一种是离散型的和一种是连续型的之外，已无多大区别，一般n6即可近似应用。（3）数理统计证明，泊松分布是二项分布在一定条件下的极限分布。当n较大，p较小时，二项分布的概率可用泊松分布近似计算，实际应用中，一般当n10，p0.1和np5时，有下面的近似计算公式 形状与特征形状与特征 (k=1,2,n)!kk

5、kn kneC p qk222()221( )21( ) 2xuf xeueP(X) kkn knkC p q !kkkn kneC p qk当n10，p0.1和np5时1()(knpP Xknpqnpq当n30，p0.1，并且np、nq5时当n6 ,时,趋于N(,)P(X) !kekk ( (卡方卡方) )分布分布 设随机变量X1，X2，Xn相互独立，且且Xi N（0，1），（i=1,2, n），则称随机变量服从自由度为n的 分布，记为 的概率密度函数为： 2221Xnii22( )n212221(0)( )2( )20(0)nxnxexnf xx2( )n（1）以x轴为渐近线，为单峰右偏斜

6、曲线，其形状依赖于自由度n，随着n的增大，曲线逐渐趋于对称。当df30时， 分布已接近正态分布。 （2） = n 2 =2n（3）为计算方便，对不同自由度、不同值（01），按计算结果列于附表5，供查阅 2222( )P(X ( )( )( )xnnnf x dx t分布分布 设随机变量X N（0，1）， ，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为Tt（n） t（n）的概率密度函数为2( )YnXTYn1221()2( )(1) (- x+ )( )2nnxf xnnn（1）t分布曲线是左右对称的，围绕平均数t0向两侧递降。（2）t分布受自由度dfn-1的制约，每个自由度都有一

7、条t分布曲线。（3）t（n）与N（0，1）的密度曲线形状相似，曲线中部是t（n）低于N（0，1），而两尾是t（n）高于N（0，1）。t（n）曲线的形状由自由度n决定，随着n的增大，t（n）与N（0，1）的差别越来越小。当n时，t（n）分布趋近于正态分布。n30，t（n）与N（0，1）就基本重合。 221( )2xnLim f xeF分布分布 设， ，且X、Y相互独立，则称随机变量服从自由度为（n1，n2）的F分布，记为F F（n1，n2）F（n1，n2）的概率密度函数为 2212X ()Y ()nn，12X/FY/nn1212121112221222()2()(1)0( )() ()2200n

8、nnnnnnnxxnnf xnnx(1)F分布的平均数F1，F的取值区间为0， )；(2)F分布曲线的形状仅决定df1，df2 （ n1，n2 ） 。在df1 l或2时、F分布曲线呈严重倾斜的反向J型，当df2 3时转为左偏曲线样本平均数与方差及其有关统计量的分布样本平均数与方差及其有关统计量的分布 设X N（，2），（X1，X2，Xn）是来自总体X的样本， 为样本平均数，则： 为总体的标准误 ，记为 ， 即 设X N（，2），（X1，X2，Xn） 是来自总体X的样本， 为样本平均数，S2为样本方差，则常称 为样本的标准误，记为 22X N( ,)X N(0,1)/nnnxxnX2X (1)/

9、t nSnSnxSSnX 设X N（1， ），Y N（2， ），X，Y相互独立；（X1，X2， ），（Y1,Y2,， ）是分别来自总体X、Y的样本，其平均数分别为 ，则通常称 为总体的差数标准误，记为 ，即设X N（1， ），Y N（2， ），X，Y相互独立；（X1，X2， ），（Y1,Y2,， ）是分别来自总体X、Y的样本，其平均数分别为 ，方差分别为 ，则 2122n1Xn1YXY、 2212121212221212XY N(,)(XY)() N(0,1)nnnn221212nnX Y221212X Ynn2122n1Xn1YXY、 2212ss、12122211221212(XY)( (2)(1)(1)11()2t nnnsnsnnnn） 为样本的差数标准误，记为 即设X N（，2），（X1，X2，Xn）是来自总体X的样本，则设