第二讲线性方程组

1、 基本概念与结论基本概念与结论河南科技学院河南科技学院主讲：刘主讲：刘 娟娟 基本题型与方法基本题型与方法基本概念基本概念设设12,nsP 12,sk kkP 1、线性组合、线性组合1122sskkk 为向量组为向量组 的一个的一个线性组合线性组合.12,s ，称，称组等价组等价. . 若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量向量2、向量组等价、向量组等价如果向量组如果向量组 中有一向量可经其余中有一向量可经其余12,(2)ss 称为称为线性相关线性相关的的.向量线性表出，则向量组向量线性表出，则向量组12,s 3、线性相关、线性相关基本概念基本概念

2、若不存在若不存在 P 中不中不全为零的数全为零的数 ，使使12,sk kkP 11220sskkk 则称向量组则称向量组 为为线性无关线性无关的的.12,s 4、线性无关、线性无关5 5、极大线性无关组、极大线性无关组 i) 12,iiir 线性无线性无 一个一个极大线性无关组极大线性无关组，简称，简称极大无关组极大无关组. 若部分组若部分组12,iiir 满足：满足： 线性表出线性表出；12,iiir (1)jjs 关；关；ii) 对任意的对任意的 , 可经可经j 则称则称 12,iiir 为向量组为向量组 12,s 的的 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的极大无关组所含向量个数

3、称为这个向量向量组的组的秩秩. 6 6、向量组的秩、向量组的秩 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 的一组解的一组解满足：满足： ii）方程组的任一解向量可由）方程组的任一解向量可由 i）线性无关；）线性无关； 的一个的一个基础解系基础解系 7 7、基础解析、基础解析 AxO 12,r , ,12, ,r 线性表示线性表示.则称则称12,r 为为AxO 基本概念基本概念1 1、线性相关性的判法、线性相关性的判法1）向量组）向量组 线性相关线性相关 成比例成比例. 12, 12, 2）任意一个含零向量的向量组必线性相关任意一个含零向量的向量组必线性相关. . 3 3）存在）存在 P 上上不全为零的

4、数不全为零的数 12,sk kk11220.sskkk ，使，使4 4）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个个向量可由其余向量线性表出向量可由其余向量线性表出. 5）部分相关则整体相关，整体无关则部分无关）部分相关则整体相关，整体无关则部分无关. 6 6）若）若线性无关线性无关，而而12,s 相关，则相关，则 可由可由 线性表出线性表出. .12,s 12,s 线性线性基本结论基本结论7）缩短组无关延伸组也无关，延伸组相关则缩短组）缩短组无关延伸组也无关，延伸组相关则缩短组相关相关. 8）设）设 与与 为两个为两个12,s 12,r 向量组，若向

5、量组，若则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.12,r ii).rs 9 9）任意）任意 n1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关. . i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；12,s 12,r 线性相关线性相关1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式1010）n 个个 n 维向量维向量12(,),1,2,iiiinaaain 基本结论基本结论3 3）一个向量组的任意两个极大无关组都等价）一个向量组的任意两个极大无关组都等价. . 3 3、极大无关组与秩、极大无关组与秩1 1）若向量组）若向量组 可经向量组可经向量组 12,r 12,s 表出

6、，且表出，且 线性无关线性无关，则则 12,r .rs 线性线性2 2、向量组的等价、向量组的等价1）两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量）两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量.2 2）向量组和它的任一极大无关组等价）向量组和它的任一极大无关组等价. .线性无关线性无关1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式基本结论基本结论6 6）一个向量组线性相关的充要条件是）一个向量组线性相关的充要条件是它的秩它它的秩它所含向量个数所含向量个数.7 7）等价向量组必有相同的秩）等价向量组必有相同的秩. .2 2）一个向量组的极大无关组不是唯一的）一个向量组的极大

7、无关组不是唯一的.3 3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身. .4 4）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量个数的向量. . 所含向量个数相同；所含向量个数相同；5）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它 的所有的所有 级子式等于级子式等于0. R ArA 1r 8 8）基本结论基本结论 R ArA r有一个有一个 级子式不为级子式不为0.9 9）若若 则则 的不为的不为0的级子式所在行的级子式所在行(列列) R ArA r就是就是A行行(列列)

8、向量组的一个极大无关组向量组的一个极大无关组.基本结论基本结论4 4、线性方程组的解、线性方程组的解 R An AxO 1 1）只有零解只有零解 R An AxO 有非零解有非零解 R AR AnAxb 2 2）有唯一解有唯一解Axb 有无穷多解有无穷多解 R AR AnAxb 无解无解 R AR A 基本题型与方法基本题型与方法1 1、求解线性方程组、求解线性方程组方法方法1：消元法结合自由未知量表示解的结论；：消元法结合自由未知量表示解的结论；方法方法2：利用增广矩阵结合秩与方程组解的结论：利用增广矩阵结合秩与方程组解的结论.2 2、求矩阵的秩、求矩阵的秩方法方法1：初等变换法；：初等变换法；方法方法2：k阶子式法阶子式法.3 3、判定向量组的线性相关性、判定向量组的线性相关性方法：利用相关结论方法：利用相关结论.4 4、求向量组的秩与极大无关组、求向量组的秩与极大无关组方法：将向量组写成矩阵，再做行的初等变换，找方法：将向量组写成矩阵，再做行的初等变换，找出化简后列向量的极大无关组出化简后列向量的极大无关组. .5 5、求齐次线性方程组的基础解系、求齐次线性方程组的基础解系 方法：利用消元法，求出自由未知量，转化成基方法：利用消元法，求出自由未知量，转化成基础解系础解系.6 6、结式与一元多项式的公因式、结式与