第五章梁弯曲时的位移

1、1251 概述概述52 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分53 按叠加原理求梁的挠度与转角按叠加原理求梁的挠度与转角54 梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移55 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能351 51 概述概述研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。41.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，挠度：横截面形心沿

2、垂直于轴线方向的线位移，用用w表示。表示。 与与 y同向为正，反之为负。同向为正，反之为负。2.2.转角：横截面绕其中性轴转转角：横截面绕其中性轴转动的角度动的角度。用。用 表示，顺时表示，顺时针转动为正，针转动为正，反之为负。反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： w =f (x)三、小变形时转角与挠曲线的关系：三、小变形时转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量w = =w（x）上任一点处wxwdxdwtg)(wtgPxwC C1y 552 52

3、 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIMr1EIM)()(1xxr（1）二、曲率与挠曲线的关系：二、曲率与挠曲线的关系：232)(1)(1wwx rwx )(1r（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得wx EIM)()(xwM EI6挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 对变形的影响。2)(w使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。()wxEI M结论：挠曲线近似微分方程结论：挠曲线近似微分方程yxM0( )0w xyxM0( )0w x7)()(

4、xMxwEI 1)()(CdxxMxwEI21)()(CxCdxdxxMxEIw 二、积分法计算梁的变形二、积分法计算梁的变形步骤步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分83.位移边界条件PABCPD支点位移条件：连续条件：光滑条件：0Aw0Bw0Dw0DwCCwwCC右左或写成CCCCww左右或 写 成（1 1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。9（3 3）、）、常见的分段点连续条件：

5、常见的分段点连续条件： 一般情况下一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。第第i个分段点处：个分段点处：挠度连续挠度连续iixxixxiww1xiixwi(x)wi+1(x)Mi(x)Mi+1(x)转角连续转角连续iixxixxi1(4) 中间铰处中间铰处仅挠度连续，转角不连续仅挠度连续，转角不连续B点挠度连续点挠度连续lxlxww21BACw1(x)w2(x)ll10讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面

6、或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。4、确定挠曲线方程和转角方程 。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。11 例题例题指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。(1)解：解： 此梁应分为此梁应分为3段积分，段积分，共共6个常数。个常数。aaaxwFq定解条件：定解条件：dxdwdxdwwwaxdxdwdxdwwwaxwx323221211, 0,2,0, 012 例题例题解：解： 此梁应分为此梁应分为2段积分，共段积分，共

7、4个常数。个常数。定解条件：定解条件：xwlaq(2)弹簧系数为弹簧系数为kq111220,0,0,2xwxawwqlxalwk13例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出写出微分方程并积分微分方程并积分应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数( )()EIwM xP Lx 211()2EIwP LxC 3121()6EIwP LxC xC321(0)06EIwPLC211(0)(0)02EIEIwPLC 322161 ; 21PLCPLC解

8、：解：PLxy14写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线323( )()36Pw xLxL xLEI3max( )3PLww LEIEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xfPL15解二：解二：建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLFxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数( )EIwM xFLFx 2112EIwFLxFxC 231226FLxFxEIwC xCx=0, w=0 ; =0确定挠曲线、转角方程23( )36Fw xLxxEI222FwLxxEI3max()3FLww LEI2max()2FLLEI最大挠度及转角0 ; 021CCFLwx

9、x16解：建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM写出微分方程并积分2111()2P axCEID 312121()6P axC xCEIwD xD() (0)0 ()P axxaEIaxL xyPLa17应用位移边界条件求积分常数321(0)06EIwPaC021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC()()w aw a)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxy18写出弹性曲线方程并画出曲线32323()3 (0)6( )3 ()6Paxa xa xaEIw xPa xa axLEI2max( )36Paww LLaEIEIPaa

10、2)(2max最大挠度及最大转角PLaxf19例例2 2 解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程qABLx231146EIwEIqlxqlxC 22121)(qxqlxxM34111224EIwqlxqlxCxD 211( )22EIwM xqlxqx 应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数写出写出微分方程的积分并积分微分方程的积分并积分430,0,(0)01,0,( )024124ABxwEIwDxl wEIw lqlClDCql 20写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线323433(46)24(2)24zzqwxlxlEIqwxlxl xEI

11、最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角qABLx4m ax23m ax538424LxABqlwE IqlE I 21bABFaCL解：解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分Fb/LFa/L例：例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）x1x2)()()(22211axFxLFbxMxLFbxM左侧段（0 x1a）：右侧段（ax2L）：11211131111126FbEIwxLFbEIwxCLFbEIwxC xDL 22222222233222222()()22()66FbEIwxF xaLF xaFbEIwxCLF xaFbEIwxC xDL 22跨中挠度及转角确定挠曲线和转角方程

12、应用位移边界条件和连续条件求积分常数X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ，w1=w2 ；w1=w2221212();06FbCCLbDDL2221112221116() 36FbxwLbxLEIFbwLbxLEI3322222222222222()()61()()23FbLwxaxLb xLEI bFbLwxaxLbLEI b222222(34);44824LLxxFbFbwLbwLbEILEI()();66ABFab L bFab LaLEILEI两端支座处的转角两端支座处的转角23讨论：讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。、此梁的最大挠度和最大转角。 1max1

13、11max00()6AwxFab LbLEI左左侧侧段：段： 右右 侧侧 段：段：2max222max0()6BwxLFab LaLEI 当当 ab 时时max()6BFab LaLEI 3221max1221max)(393)2(301blLEIFbwwaxbaabLxwwxx当当 ab 时时最大挠度一定在左侧段最大挠度一定在左侧段24 2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。时此梁的最大挠度和最大转角。22max3max;1648LABCxFLEIFLwwEI ABFCLab写出下列各梁变形的写出下列各梁变形的边界条件和连续条件边界条件和连续条件.,; 02121CCCCBEBAwwLww

14、1C截面稍左截面稍左2C截面稍右截面稍右ABFCL/2L/2EABC.; 0; 0, 021CCBAAwwww255353按叠加原理求梁的挠度与转角按叠加原理求梁的挠度与转角1 1、载荷叠加：、载荷叠加：2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：、结构形式叠加（逐段刚化法）：)()()()(221121nnnFFFFFF )()()()(221121nnnFwFwFwFFFw 一、前提条件：弹性、小变形。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每 个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。个荷载（每

15、种）荷载单独作用产生的变形的代数和。三、叠加法计算的两种类型：三、叠加法计算的两种类型：26例例4 4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。36P CP awE IEIPaPA424524qCqLwE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa2736P CP awE IEIPaPA424524qCqLwE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEIa435246CqaP awE IE I28例例5 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的

16、变形。叠加23(d)(34)48dP CP bLbwE IbLbqxxqPd2d)(d0bEIbLqbd24)43(322qCdPCwwEIqLbEILbLqbL240d24)43(45.00322q00.5L0.5LdbxwCb29=+L/2qFL/2ABC例例：确定图示梁C截面的挠度和转角。解解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表43;86CqCqqLqLwEIEIL/2qL/2L/2FL/23322()2;324()228BFBFLFFLwEIEILFFLEIEI 32352248248CFBFBFLFLFLLFLwwEIEIEI 28CFBFFLEI DCxEIwCwEIxMwE

17、I0)(303、叠加43325;84868CCqCFCCqCFqLFLwwwEIEIqLFLEIEIL/2L/2qA AC CA=+例例：求图示梁C截面的挠度。解解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表EIqLEILqwwwwCaCbCaC7685384)2(50443、叠加45()2;0384CaCbqLwwEIL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)31例例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价xfxw12wwwfPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM

18、xw32F2=2kNL=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNB例例6 6 下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的杆的E=210GPa，求，求C点的挠度点的挠度, ,B点的转角点的转角。=+=F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAM33F2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3211116CBFL awaEI21116BFLEI2333BLaFMLEIEI 22333CBF LawaEI 解：解：结构变换，查表求简单结构变换，查表求简单 载荷变形。载荷变形。0B2 3223CF awEI

19、 AL=400mmF2=2kNCa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAM34F2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3F2=2kNAL=400mmCa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxf2321221633CFL aF aF a LwEIEIEI212163BFLF LaEIEI叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI3523261225.19 10 m1633CFL aF aF a LwEIEIEI 24120.4200400()0.423

20、10 ()163210 1880316BF LF LaEIEI 弧度36例例：求图示梁C截面的挠度。解解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/23323()232 4223()()2223 ( 2)2 ( 2)()()2222 ( 2)2234 8C aC bB bB bLFF LwE IE ILwwF LLLFE IE IF LLLFLE IE IF LE I3、叠加33373244848CCaCbFLFLFLwwwEIEIEI37=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL

21、 L C CM=qa/2（b）例例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。已知）。解解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加B B C Cq q（a）423;81()236BaBbCbqawEIqaLqa LwaaEIEI43386(34 )24BBaBbwwwqaqa LEIEIqaaLEI38qaAB例例、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。418AqawEI 解解：结构和载荷分解如图。 2422233AqaaqawaEIEIEIqawE8422422266DqaaqawaEIEIE（1）（2）Pq=P/aaABDC2aaFq=F/aPaABDC2aaqa2/

22、2F3934333DFaqawEIEI44263AFaaqawaEIEIEIqaEIaFawE44424442233DFaaqawaEIEI4411924AAiiqawwEI44138EEiiqawwEI 44176DDiiqawwEI（4）FDCa（3）PaABDC2aaPaFFa40例：例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求 B 截面的垂直位移。分析分析：B点的垂直位移由两部分组成，即：BA弯曲和CA杆扭转由A截面转角而引起。 F FBwB1FBAC CMA=FLABwB23123ABBBBAABFLwwwLEI33AB

23、ACABABPFL LFLLEIGI33360 0.312103 210 5 10 3460 0.3 0.5 320.3100.4 210 208.22mm500300P=60NBAC C20510F414212CB12CCC222121lwwwwwBBCCCC435454梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；w/L称为许用挠跨比。、校核刚度：、设计截面尺寸；（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）二、刚度计算二、刚度计算、确定外载荷。m ax11 ( ()2 5 01 0 0 0wwwL

24、LL max44PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM45P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3211116CBPL awaEIEILPB16211EILaPEIMLB332322333CBP LawaEI 解：结构变换，查表求简单 载荷变形。02B3223CPawEI PL=400mmP2=2kNACa=0.

25、1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf46P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf2321221633CPL aPaPa LwEIEIEIEILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI4723261225.19 10 m1633CPL aPaPa LwEIEIEI )(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 0

26、01.010423.04maxm axwwLL65m ax5 .1 91 0m1 0mww校核刚度48三、提高梁的刚度的措施三、提高梁的刚度的措施由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比成反比；跨长跨长梁的位移与跨长 L 的的 n 次幂成正比次幂成正比。 （转角为（转角为 L 的的 2 次幂，挠度为次幂，挠度为 L的的 3 次幂）次幂）1、增大梁的抗弯刚度（、增大梁的抗弯刚度（EI）2、调整跨长和改变结构、调整跨长和

27、改变结构方法方法同提高梁的强度的措施相同同提高梁的强度的措施相同49注意：注意： 同类的同类的材料材料，“E”E”值相差不多值相差不多，“ j xj x”相差较大相差较大，故换故换用同类材料只能提高强度，用同类材料只能提高强度，不能提高刚度不能提高刚度。 不同类的材料不同类的材料，“E”E”和和“G”G”都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa , E=200GPa , 铜铜E=100GPaE=100GPa），故可选用不同类的材料以达到），故可选用不同类的材料以达到提高刚度提高刚度的目的目的。但是，改换材料，其的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变原料费用也会随之发生很大的改

28、变！505-5 5-5 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。 等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为EIMr151EIlMEIMller(a)52(b) 图b示出了Me与 的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，外力偶所作的功：它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：MMV2121e将 代入上式可得EIlMEIMleEIlMVEIlMV2 ,222ee21MW

29、 53 梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为 xEIxMVd2d254从而全梁内的弯曲应变能为式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的位移等时是有用的。 lxEIxMVd22 llxwEIxEIwEIVd2d222顺便指出，由于直梁横力弯曲时， ，因此上式也可写作 xMwEI 55 例题例题求图示等直梁的弯曲应变能Ve，并利用功能原理求自由端A的挠度wA。56解：解

30、：梁的弯矩表达式为M(x)=Fx，于是得弯曲应变能自由端的集中力由零增加到最终值F的过程中所作的功为根据功能原理，有 W=Ve，即EIlFxEIFxVl6d23202AFwW21EIlFFwA62132从而得EIFlwA33所求得的wA为正值，表示wA的指向与集中力F的指向相同，即向上。57例例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。12CWPw解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(212320236CPaWUwEIPaaxw58确定挠曲线大致形状确定挠曲线大致形状原则：原则：1、由弯矩的正负判断挠曲线弯曲的大致形状（画弯矩图）； 2、由梁的支座处的边界条件及梁变形的连续条件判断。mm分析分析1、画M图，2、据M图、支座和变形的连续条件画挠曲线的大致形状。mxM3FFaaaMxFaFa拐点拐点59xMM/32M/3 A AB BMa2aM/3aM/3aaaaF2F1R2R1xMF2aF1a设：设： F1产生变形的效果大于产生变形的效果大于F2。60弯曲变形小结弯曲变形小结一、挠曲线：梁变形后的轴线。一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠