第六章 参数估计(2)

1、1第五节第五节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计v一一. . 总体均值的区间估计总体均值的区间估计v二二. . 总体比例的区间估计总体比例的区间估计v三样本容量的确定三样本容量的确定一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计v 在对总体均值进行区间估计时，需要考虑总体是否为正态分布、总体方差是否已知、用于估计的样本是大样本（n30）还是小样本（n30）等几种情况。v 但不管哪种情况，总体均值的置信区间都是由样本均值加减估计误差得到的。其中，估计误差由两部分组成：一是样本均值抽样分布的标准误差；二是估计时要求置信水平为1-时，统计量分布两侧面积各为2时的分位数值。v 因此总体均值在

2、1-置信水平下的置信区间可一般性的表达为： ()xx分位数值的标准误差1.1.大样本总体均值大样本总体均值 的区间估计的区间估计v 假定条件n30或者n 50 ，总体均值为,方差为 ，分布不限，由中心极限定理知，样本均值的抽样分布为正态分布，并且均值的期望值等于，方差等于 ，那么可以转化成标准正态分布：总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为：2n大样本总体均值的区间估计大样本总体均值的区间估计（实例（实例1 1） 例例 设某工厂妇女从事家务劳动服从正态分布设某工厂妇女从事家务劳动服从正态分布 ，0.660.662 2 ，根据，根据3636人人的随机抽样调查，样本每天平均从事家务劳动的时间为的

3、随机抽样调查，样本每天平均从事家务劳动的时间为2.652.65小时，求小时，求 的置信区间（置信度的置信区间（置信度 1-1- =0.95=0.95）。）。 解解 按题意，此为大样本，且总体方差已知，又按题意，此为大样本，且总体方差已知，又n n3636， 2.65, 2.65, 0.660.66，1-1- 0.950.95。 查表得查表得 1.961.96，代入公式有，代入公式有 2.65 2.65 1.96 1.96 2.65 2.65 0.22 0.22 因此，我们有因此，我们有9595的把握，该厂妇女的平均从事家务劳动的时间的把握，该厂妇女的平均从事家务劳动的时间在在2.87 2.43

4、2.87 2.43小时之间。小时之间。x2z2xzn0.66363666. 03666. 05大样本总体均值的区间估计大样本总体均值的区间估计（实例（实例2 2）解：已知 x26, s=6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96，总体的置信区间为：我们可以95的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24.82427.176 分钟之间【例例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知样本方差s2为36分钟）。62.2.小样本正态总体均值的置信区间小样本正态总体均值的置信区间( ( 2

5、 2 已知已知) )总体均值 在1-置信水平下的置信区间为假定条件总体服从正态分布,且总体方差（）已知，7小样本正态总体均值的区间估计小样本正态总体均值的区间估计( (实例）实例）已知N(，0.152)，x2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96 总体均值的置信区间为我们可以95的概率保证该种零件的平均长度在21.30221.498 mm之间【例例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取件，测得其平均长度为21.4 mm。已知总体标准差 =0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。83.3.小样本正态总体均值的置信区间小样本正态总体均值的置

6、信区间( ( 2 2 未知未知) )n假定条件总体必须服从正态分布正态分布总体方差（）未知样本统计量满足自由度为K=n-1的t分布n使用 t 分布统计量n总体均值 在1-置信水平下的置信区间为t 分布分布t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 t 分布与标准正态分布的比较t 分布标准正态分布不同自由度的t分布标准正态分布10小样本正态总体均值的区间估计小样本正态总体均值的区间估计（实例）（实例）已知N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。

7、我们可以95的概率保证总体均值在46.6953.30 之间从一个正态总体中抽取一个随机样本， n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。 建立总体均值 的95%的置信区间11二、总体成数（比例）的置信区间二、总体成数（比例）的置信区间n假定条件总体变量只有两个取值总体服从二点分布n50，并且np5时可以由正态分布来近似n使用正态分布统计量n总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体成数（比例）的置信区间总体成数（比例）的置信区间（实例（实例1 1）【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职

8、工中女性比例的置信区间解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35% 13总体成数（比例）的置信区间总体成数（比例）的置信区间（实例（实例2 2）已知 n=200 ， 0.7 , n =1405, n(1- )=605，= 0.95，/2=1.96pp p我们可以95的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%76.4%之间某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处

9、。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计( (小结小结) ) 待估参数待估参数均值均值大样本大样本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布小样本小样本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布比例比例大样本大样本Z Z分布分布方差方差 2 2分布分布15n根据均值区间估计公式可得样本容量n为估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 n样本容量n与总体方差2、允许误差E、置信水平之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与置信水平成正比因为：估计总体均值时样本容量的确定

10、估计总体均值时样本容量的确定（例题）（例题） 【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定（例题）（例题） 解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 应抽取的样本容量为即应抽取97人作为样本 1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 2. E的取值一般小于0.13. 未知时，可用样本比例p来代替其中估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确

11、定( (例题例题) ) 【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？ 解:已知= 9 0 %=0.05z/2=1.96，E=5% 应抽取的样本容量为 应抽取139个产品作为样本思考思考v1.1.区间估计的含义。区间估计的含义。v2.2.解释置信区间、置信水平的含义解释置信区间、置信水平的含义v3.3.简述样本容量与置信水平、总体方差、估计误简述样本容量与置信水平、总体方差、估计误差的关系差的关系练习练习1 1、根据某大学、根据某大学100100名学生的抽样调查，每月平均用于购买书籍的名学生的抽样调查，每月平均用于购买书籍的费用为费用为4545元，标准差为元，标准差为5 5元，求大学生每月用于购买书籍费用元，求大学生每月用于购买书籍费用的区间估计（置信度为的区间估计（置信度为95%95%）。）。2 2、接上题，如果置信度改为、接上题，如果置