[高考]2012年高中理科数学所有选修知识点总结精华

1、. 2012年高考数学总复习系列高中数学选修21知识点第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题

2、为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若，则是的充分条件，是的必要条件若，则是的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作当、都是真命题时

3、，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”10、全称命题：，它的否定：，

4、全称命题的否定是特称命题 第二章 圆锥曲线与方程11、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长短轴的长 长轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率准线方程13、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则14、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，

5、顶点、轴长虚轴的长 实轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率准线方程渐近线方程16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则18、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即20、焦半径公式：若点在抛物线上，焦点为，则；若点在抛物线上，焦点为，则；若点在抛物线上，焦点为，则；若点在抛物线上，焦点为，则21、抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心

6、率范围 第三章 空间向量与立体几何22、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则求两个向量差的运算称为向量的

7、减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作，则24、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍25、设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：；结合律：26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则

8、30、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：31、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作32、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积34、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；35、向量数乘积的运算律：；36、若，是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，为向量在，上的分量37、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得38、若三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为

9、空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底39、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标40、设，则 若、为非零向量，则若，则，则41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点

10、是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置44、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量45、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，46、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，48、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有49、设直线的方向向量为，平面的法向

11、量为，与所成的角为，与的夹角为，则有50、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算52、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为53、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为 2012年高考数学总复习系列高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！基础知识【理解去记】 1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当n>m

12、且nN时，恒有|un-A|<成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b, f(x)g(x)=ab, 3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。4最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5导数：若函数f(x)在x0附近有

13、定义，当自变量x在x0处取得一个增量x时（x充分小），因变量y也随之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作(x0)或或，即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。6【必背】八大常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7导数的运算法则：若u(x)

14、,v(x)在x处可导，且u(x)0,则（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。8*【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x)处可导，则复合函数y=f(x)在点x处可导，且（f(x)=.9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。10极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻

15、域(x0-,x0+)内可导，（1）若当x(x-,x0)时，当x(x0,x0+)时，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x(x0-，x0)时，当x(x0,x0+)时，则f(x)在x0处取得极大值。12极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-,x0+)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。13【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在(a,b)，使证明 若当x(a,b)，f(x)f(a)，则对任意x(a,b)，.若当x(a,b)时，f(x)f(a

16、)，因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。二、基础例题【必会】1极限的求法。例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）当a>1时，当0<a<1时， 当a=1时，（3）因为而所以（4）例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|<1)；（2）；（3）。解 （1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)=（2）=（3）=2连续性的讨论。例3 设f(x)在(-,+)内有定义，且恒满

17、足f(x+1)=2f(x)，又当x0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。解 当x0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-10,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t1,2)时,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，当x1,2)时，令x+1=t，则当t2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，

18、所以f(x)在x=2处连续。3利用导数的几何意义求曲线的切线方程。解 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.4导数的计算。例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。例6 设a>0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因

19、为x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0<a<1时，令，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(

20、2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-<x<2-a+时，x2+(2a-4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。6利用导数证明不等式。例7 设，求证：sinx+tanx>2x.证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0<cosx<1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上连续，所以f(x)在上单调递增，所以当x时，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.7.利用导数讨论极值。例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取

21、得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(

22、1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0<(1-y)x<x<，所以g(1-y)x>g(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)>0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，

23、当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、趋近高考【必懂】这些高考题取自2009-2010年各个热门省市，同学一定重视，在此基础上，我会对这些高考题作以删减，以便同学在最短时间内理解明白！1.（2009全国卷理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解:设切点，则,又.故答案 选B 2.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何，即，切线方程，即选A3.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) A或 B或 C或 D或

24、答案 A解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.4.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +( )A. B.3 C. D.4答案 C解析 由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)与式比较得tx2 于是2x172x25.（2009天津卷理）设函数则( )A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数

25、，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。6.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 7.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案 -28（2010.全国1文）设，当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】：，由得，即或；由得即，所以函数单调增区间是，；函数的单调减区间是。由恒成立，大于的最大值。当时，(1)当时，为增函数，所以；(2)当时，为减函数，所以；(3)当时，为增函

26、数，所以；因为，从而 第二章 推理与证明本章只需重视综合法、分析法、反证法的特点。及数学归纳法的掌握！一、基础知识【理解去记】综合法：“执因导果” 分析法“执果导因” 反证法:倒着推【不常考】归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊一般.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法

27、数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：证明：当取第一个值结论正确；假设当(，)时结论正确，证明当时结论也正确由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的

28、命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.用数学归纳法证题时，两步缺一不可；证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标. 二、基础例题【必会】用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：时，点评：用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范，从n=k到n=k+1时一定要用归纳假设，否则不合理。用数学归纳法证明不等式例2.证明点评：用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系。同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从n=k到n=k+1过程中项数的变化

29、量，容易出错。用数学归纳法证明整除问题例3.用数学归纳法证明：能被9整除。点评：用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。 第三章 数系的扩充与复数一、基础知识【理解去记】1复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,bR）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,bR），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b

30、)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，则称为z的辐角。若0<2，则称为z的辐角主值，记作=A

31、rg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用ei表示cos+isin，则z=rei，称为复数的指数形式。3共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1±z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。4复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；

32、（3）按三角形式，若z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(1+2),5.【部分省市考】棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.开方：若r(cos+isin)，则，k=0,1,2,n-1。7单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq

33、+r=Zr；（2）对任意整数m，当n2时，有=特别1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)(x-).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等9复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。12若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+

34、c=0，当=b2-4ac<0时方程的根为二、基础例题【必会】1模的应用。例1 求证：当nN+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。证明 若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2 设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。解 因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-

35、f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.复数相等。例3 设R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有两个虚根，求满足的充要条件。解 若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(+1)x+1=0.若=-1，则方程x2-x+1=0中<0无实根，所以-1。所以x=-1, =2.所以当2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为2。3三角形式的应用。例4 设n2000,nN，且存在满足(

36、sin+icos)n=sinn+icosn，那么这样的n有多少个？解 由题设得，所以n=4k+1.又因为0n2000，所以1k500，所以这样的n有500个。4*【常考】二项式定理的应用。例5 计算：（1）；（2）解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100= =)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。5复数乘法的几何意义。例6 以定长线段BC为一边任作ABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求证：MN的中点为定点。证明 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平

37、面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。例7 设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCADACBD。证明 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|, “=”成立当且仅当，即=，即A，B，C，

38、D共圆时成立。不等式得证。6复数与轨迹。例8 ABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC的外心轨迹。解设外心M对应的复数为z=x+yi(x,yR)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心轨迹是轨物线。7复数与三角。例9 已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明 令z1=cos+

39、isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则z1+z2+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得 又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10 求和：S=cos200+2cos400+18cos18×200.解 令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+18sin18×200,则S+iP=w+2w2+18w18. 由×w得w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由

40、-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8复数与多项式。例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c00).求证：一定存在一个复数z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.证明 记c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0ei=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,zn，从而g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必

41、有一个zi使得|zi|1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.9.单位根的应用。例12 证明：自O上任意一点p到正多边形A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。证明 取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3An对应复数分别为2，3，n.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n- =2n-命题得证。10复数与几何。例13 如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得PAB，PCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得QBC，QDA也

42、都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。证明 以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取，则C-Q=i(B-Q)，则BCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。例14 平面上给定A1A2A3及点p0，定义As=As-3,s4，构造点列p0,p1,p2,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.证明：A1A2A3为等边三角形。证明 令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复

43、数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,×u2+×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明A1A2A3为正三角形。三、趋近高考【必懂】1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 （ ）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5【解析】因为,故选C. 答

44、案 C2. （2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【解析】，则最小正整数为4，选C.答案 C3.（2009浙江卷理）设（是虚数单位），则 ( ) A B C D 【解析】对于答案 D4.（2009浙江卷文）设（是虚数单位），则 （ ）A B C D 【解析】对于 答案 D5.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 ，复数所对应的点为，故选B.答案 B6.(2009山东卷理)复数等于（ ） A B. C. D. 【解析】: ,故选C. 答案 C7.(

45、2009山东卷文)复数等于 （ ） A B. C. D. 【解析】: ,故选C.答案 C8.（2009全国卷理）已知=2+i,则复数z= （ ） （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【解析】 故选B。 答案 B 9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是( ) （A）15 （B）3 （C）3 （D）15 【解析】 ，选B。答案 B10.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i(1+i)等于（ ）A1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i【解析】依据虚数运算公式可知可得，选D.答案 D11.（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A B C

46、 D或 【解析】由 故选A答案 A12.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（ ）A、 B、 C、 D、 【解析】因为为实数所以故则可以取1、26，共6种可能，所以答案 C13.（2009全国卷理）（ ）A. B. C. D. 【解析】：原式.故选A.答案 A14.（2009辽宁卷理）已知复数，那么=（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】答案 D15.（2009宁夏海南卷理）复数（ ）（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2 【解析】,选D答案 D 2012年高考数学总复习系列高中数学选修23知识点 第一章 计数原

47、理知识点：1、 分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+MN种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2.MN 种不同的方法。3、排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列4、排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素

48、中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示。5、公式：， 6、 组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。7、公式： 8、二项式定理：9、二项式通项公式考点：1、排列组合的运用 2、二项式定理的应用1我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同 学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若 每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同 学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ）A72B108

49、C180D216 2在的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有（ ）A3项B4项C5项D6项 3现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 A420 B560 C840 D20160 4把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为 5的展开式中的系数为（ ）A-56B56C-336D336 第二章 随机变量及其分布知识点：1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这

50、样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 、等表示。2、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,. ,xi ,.,xn X取每一个值 xi(i=1,2,.）的概率P(=xi）Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质 pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 15、二项分布：如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(nN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为，其中,且7、 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件