排列组合资料

1、 直观定义直观定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小. . 统计定义统计定义 事件事件A 在大量重复试验下在大量重复试验下 出现的频率的出现的频率的稳定值稳定值称为该事件的概率称为该事件的概率. . 古典古典定义定义；几何定义几何定义. .概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！ 了解事件发生的可能性即概率的大小，对了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？人们的生活有什么意义呢？先给大家举几个例子先给大家举几个例子 了解来商场购物的顾客人数的各种可能了解来商场购物的

2、顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置服务人员. . 了解每年最大洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度. . 非负性公理非负性公理： P(A) 0; 正则性公理正则性公理： P()=1; 可列可加性公理可列可加性公理：若：若A1, A2, , An 互不相容，则互不相容，则11()iiiiPAP A定义定义1.2.1 1.2.1 设设为一个样本空间，为一个样本空间，F F为为的某些子集的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件组成的一个事件域，如果对任一事件,AF定义在定义在F上的一个实值函数上的一个实值函数P（A）满

3、足）满足( , )F P 从从 n 个元素中任取个元素中任取 r 个，求取法数个，求取法数. . 排列讲次序，组合不讲次序排列讲次序，组合不讲次序. .求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.加法原理 完成某件事情有完成某件事情有 n 类途径，类途径， 在第一类途径中在第一类途径中有有m1种方法，在第二类途径中有种方法，在第二类途径中有m2种方法，依种方法，依次类推，在第次类推，在第 n 类途径中有类途径中有mn种方法，则完成种方法，则完成这件事共有这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.乘法原理 完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一个步骤，

4、做第一步有步有m1种方法，第二步有种方法，第二步有 m2 种方法，依次类种方法，依次类推，第推，第 n 步有步有mn种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法种不同的方法.o（1 1）排列：从）排列：从n n个不同元素中任取个不同元素中任取r r（rnrn）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列总数记为称此为一个排列，此种排列总数记为rnP!(1)(1)()!rnnnnnrnrP o（2）重复排列：从）重复排列：从n个不同元素中每次取出个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取一个，放

5、回后再取下一个，如此连续取r次所得次所得的排列称为重复排列，此种排列总数共有的排列称为重复排列，此种排列总数共有rn注意这里 允许大于rno（3 3）组合：从）组合：从n n个不同元素中任取个不同元素中任取r r（rnrn）个并成一组（不考虑元素先后出现次序），个并成一组（不考虑元素先后出现次序），称此为一个组合，此种组合的总数记为称此为一个组合，此种组合的总数记为rnnrC 或(1)(1)!()!rnnnnnrnrrrr nrP o（4）重复组合：从）重复组合：从n个不同元素中每次取出一个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的次所得的组

6、合称为重复组合，此种重复组合总数为组合称为重复组合，此种重复组合总数为rn注意这里 允许大于1nrr 组合：!()!rrnnnPnCrr nrr 11rn rnrCr 重复组合：一、一、频率的定义频率的定义: 频率 , nA设在次重复试验中 事件出现了 出现的频数, 试验中出现的频率, ,nfA 即 ( ) . nn AfAn(A) , n次(A) nAn则称为事件在次试验中 Ann An为事件在次 比值 记为试验者试验者抛币次数抛币次数n “正面向上正面向上”次数次数 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190

7、.5016Pearson24000120120.5005( )nfA抛掷钱币试验记录抛掷钱币试验记录 n , fA从上表中可以看出 出现正面向上 的频率 , n虽然随的不同而变动 但总的趋势是随着试验次 0.5 . 数的增加而逐渐稳定在这个数值上 可见可见, 在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定性有稳定性.即通常所说的统计规律性即通常所说的统计规律性.,( ),AnAnppAP Ap在一组不变的条件下进行大量的重复试验随机事件 出现的频率会稳定在某个固定的数 附近摆动 我们称这个稳定值 为随机事件的概率 即这个定义也称为概率的统计定义.随机试验

8、可大量重复进行随机试验可大量重复进行. .( )( )nn AfAn进行进行n次重复试验，记次重复试验，记 n(A) 为事件为事件A的的频数，称频数，称 为事件为事件A的的频率频率.频率频率fn(A)会稳定于某一常数会稳定于某一常数(稳定值稳定值).).用频率的稳定值作为该事件的概率用频率的稳定值作为该事件的概率. .o频率稳定于概率与通常的极限不同，随着频率稳定于概率与通常的极限不同，随着试验次数试验次数n的增大，频率与概率之间出现较的增大，频率与概率之间出现较大偏差只是越来越罕见，但绝对不是不可大偏差只是越来越罕见，但绝对不是不可能出现。能出现。o频率方法提供了概率的一个可供想像的具频率方

9、法提供了概率的一个可供想像的具体值，在试验重复次数体值，在试验重复次数n较大时，可用频率较大时，可用频率给出概率的一个近似值，即频率是概率的给出概率的一个近似值，即频率是概率的估计值。估计值。三、小结三、小结频率的定义频率的定义概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. .它介于它介于0与与1之间之间. . 我们首先引入的计算概率的数学模型，

10、我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如 e ei i，比任一其它结果，例如比任一其它结果，例如 e ej j , , 更有更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即同等可能的出现机会，即1/1/N N 的出现机会

11、的出现机会. .e1, e2, ，eN ,常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1, e2, ，eN 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从中任取一球. 因为抽取时这些球是完因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认全平等的，我们没有理由认为为10个球中的某一个会比另个球中的某一个会比另一个更容易取得一个更容易取得

12、 . 也就是说，也就是说，10个球中的任一个被取出的个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为机会是相等的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615称这种试验为等可能随机试验或古典概型称这种试验为等可能随机试验或古典概型. 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=? P(A)=1/10记记 B=摸到红

13、球摸到红球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6这里实际上是从这里实际上是从“比例比例” 转化为转化为“概率概率”记记 B=摸到红球摸到红球 , P(B)=6/10静态动态 当我们要求当我们要求“摸到红球摸到红球”的概的概率时，只要找出它在静态时相应的率时，只要找出它在静态时相应的比例比例.2 3479108615 古典方法古典方法 设设 为样本空间，若为样本空间，若 只含有限个样本点只含有限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等，每个样本点出现的可能性相等， 则事件则事件A的概率为的概率为:P(A) = A中样本点的个数中样本点的个数 / 样本点总数样

14、本点总数 抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次抛三枚硬币一次 1=(正正正正正正), (反正正反正正), (正反正正反正), (正正反正正反), (正反反正反反), (反正反反正反), (反反正反反正), (反反反反反反)此样本此样本空间中的样本点空间中的样本点等可能等可能. 2=(三正三正), (二正一反二正一反), (二反一正二反一正), (三反三反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能. o例例1.2.3(抽样模型）抽样模型） 一批产品共有一批产品共有N 个产品，个产品，其中其中M个是不合格品、个是不合格品、N M个是合格品个是合格品.从中从中随机地取出随机

15、地取出n 个个.试求试求Am=“取出的取出的n个产品中有个产品中有m个不合格品个不合格品”的概率。注意抽取的方式。这的概率。注意抽取的方式。这里是不放回抽样。里是不放回抽样。o解：先计算样本空间的样本点总数，为解：先计算样本空间的样本点总数，为NnA0=“取出的取出的n个产品中有个产品中有0个不合格品个不合格品”，该事件所含样本点的个数为该事件所含样本点的个数为.NMn.NMnNnoN个产品分为两类个产品分为两类:合格品合格品N-M个个,不合格品不合格品M个个.Am=“取出的取出的n个产品中有个产品中有m个不合格品个不合格品”，该事件，该事件所含样本点的个数为所含样本点的个数为MNMmnmMN

16、MNmnmnA1=“取出的取出的n个产品中有个产品中有1个不合格品个不合格品”，该，该事件所含样本点的个数为事件所含样本点的个数为11MNMn11MNMNnn o例例1.2.4(1.2.4(放回抽样）放回抽样） 放回抽样是抽取一个后放回，放回抽样是抽取一个后放回，然后再抽取下一个然后再抽取下一个如此重复直至抽出如此重复直至抽出n n个为止个为止。o现对上例现对上例“一批产品共有一批产品共有N 个产品，其中个产品，其中M个不个不合格品、合格品、N M个合格品个合格品.从中随机地取出从中随机地取出n 个个.”o在有放回抽样情况下，讨论事件在有放回抽样情况下，讨论事件BmBm=“=“取出的取出的n

17、n个个产品中有产品中有m m个不合格品个不合格品”的概率。的概率。nNo解：先计算样本空间的样本点总数，为解：先计算样本空间的样本点总数，为B0=“取出的取出的n个产品中有个产品中有0个不合格品个不合格品”，该，该事件所含样本点的个数为事件所含样本点的个数为() ,nNM()(1)nnnNMMNNB B1 1=“=“取出的取出的n n个产品中有个产品中有1 1个不合格品个不合格品”，该，该事件所含样本点的个数为事件所含样本点的个数为11(),1nnMNM 11()(1)nnnnM NMMMnNNNB Bm m=“=“取出的取出的n n个产品中有个产品中有m m个不合格品个不合格品”，该，该事件

18、所含样本点的个数为事件所含样本点的个数为(),mn mnMNMm()(1)mmn mn mnnnMNMMMmmNNN购买购买：从从01，35 中选中选7个号码个号码.开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码个特殊号码. 1) 7个基本号码个基本号码 2) 6个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 3) 6个基本号码个基本号码 4) 5个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 5) 5个基本号码个基本号码 6) 4个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 7) 4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码 + + 1个特殊个特殊号码号码 7

19、0071271735,PC C CC 中所含样本点个数：中所含样本点个数：735C将将35个号分成三类个号分成三类: 7个基本号码个基本号码、 1个特殊号码个特殊号码、 27个无用号码个无用号码记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得： 60171273735PC C CC61071272735,PC C CC中奖概率如下：12317189,672452067245206724520ppp456567737112285,672452067245206724520ppp72047506724520,p 64993500.966515.6724520不中奖的概

20、率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7n 个不同球放入个不同球放入 N 个不同的盒子中个不同的盒子中. .每个盒子中所放球数不限每个盒子中所放球数不限. .求求(1)(1)指定的指定的n n盒子中各有一球的概率盒子中各有一球的概率( (n N) （2）恰有恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率( (n N) 2!(2)!.()!nnNnnNPNPnNnNNNn 11!,nPn N求求n 个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率. .看成看成 n 个球放入个球放入 N=365个盒子中个盒子中.P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=1 P(生日全不相同生

21、日全不相同)1-p20=0.4058, 1-p30=0.6963, 1-p50=0.9651, 1-p60=0.9922 !365!,()!365365!nnnnnNNpNNNnnP用盒子模型得：用盒子模型得： n 个人中生日全不相同的概率为个人中生日全不相同的概率为365!11365 (365)!nnpn 至少两人生日相同的概率为：至少两人生日相同的概率为：n 个人围一圆桌坐，个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率. 解：考虑甲先坐好，则乙有考虑甲先坐好，则乙有n-1-1个位置可坐，个位置可坐， 而而“甲乙相邻甲乙相邻”只有两种情况，所以只有两种情况，所以P(A

22、) = 2/(n-1)。n个人坐成个人坐成一排一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率. .( (注意：请与上一题作比较注意：请与上一题作比较) )解：1) 先考虑样本空间的样本点数：先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有甲先坐、乙后坐，则共有n(n 1) 种可能种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能种可能. 3) 甲在中间甲在中间(n 2)个位置上，则乙左右都可坐，个位置上，则乙左右都可坐， 所以共有所以共有2(n 2)种可能。由此得所求概率为：种可能。由此得所求概率为：22(2)2(1)nn nn 若若 样本空间样本空间

23、充满某个区域，充满某个区域， 其度量其度量(长度、面长度、面 积、体积积、体积)为为S ； 落在落在 中的任一子区域中的任一子区域A的概率，的概率， 只与子区域的度量只与子区域的度量SA有关，有关， 而与子区域的位置无关而与子区域的位置无关 (等可能的等可能的). 则事件则事件A的概率为的概率为: P(A)= SA /S o例例1.2.8(1.2.8(会面问题）甲乙两人约定在下午会面问题）甲乙两人约定在下午6 6点到点到7 7点之间点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人在某处会面，并约定先到者应等候另一个人20min20min，过，过时即可离去，求两人能会面的概率时即可离去，求两人能会面的概率两人能会面两人能会面”，该事件相当于该事件相当于20 xy20 xyxy20 xyyxxy与( , )x y260So解：两人到达的时间是解：两人到达的时间是024小时内任何一个时小时内任何一个时间点，因此可设间点，因此可设 ASP AS2226040560920 xyxy20 xyyx例例1.2.3 蒲丰投针问题蒲丰投针问题平面上画有间隔为平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率的针，求针与平行线相交的概率.0sin2lx0sin22(