红绿灯下的交通流

1、红绿灯下的交通流红绿灯下的交通流背景与对象背景与对象 公路上行驶的一辆接一辆的汽车队伍公路上行驶的一辆接一辆的汽车队伍.将车队类比作连续的流体将车队类比作连续的流体, 称为称为交通流交通流(车流车流).描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流的的流量、速度、密度流量、速度、密度之间的关系之间的关系.研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生和排除）时交通流的变化过程和排除）时交通流的变化过程.交通流的基本函数交通流的基本函数 对象对象 无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车无穷长公路上单向行驶的一条车流，不

2、许超车, 公路上没有岔路公路上没有岔路(汽车不会从其他道路进入或驶出汽车不会从其他道路进入或驶出).xo0车流方向车流方向流量流量q(x,t) 时刻时刻 t 单位时间内通过点单位时间内通过点 x 的车辆数的车辆数.密度密度 (x,t) 时刻时刻 t 点点 x 处单位长度内的车辆数处单位长度内的车辆数.速度速度u(x,t) 时刻时刻 t 通过点通过点 x 的车流速度的车流速度.基本关系：基本关系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 单位时间内通过的车辆数等于车流速度单位时间内通过的车辆数等于车流速度(单位时间行驶单位时间行驶的距离的距离)乘以单位长度内的车辆数乘以单位长度内的车辆数.交通流

3、的基本函数交通流的基本函数 基本关系：基本关系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 流量流量q(x,t)密度密度 (x,t)速度速度u(x,t)qmq0 * m 速度速度u随着密度随着密度 的增加而减少的增加而减少, 设设u是是 的线性函数的线性函数, )/1 (mmuu)/1 (mmuq平衡状态平衡状态(所有车辆速度相同所有车辆速度相同, 公路各处密度相同公路各处密度相同)下下u, 和和 q 的关系的关系. = *= m/2 , q=qm (最大值最大值) =0, u= um(最大值最大值); = m(最大值最大值), u= 0.连续交通流方程连续交通流方程流量流量q(x,t)密度密度

4、 (x,t)速度速度u(x,t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(abq(a,t)q(b,t)x (x,t)badxtxqxtbqtaq),(),(),(dxtxtdxtxdtdbaba),(),(badxxqt0)(0 xqt区间区间a,b的任意性的任意性关于关于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的的连续、可微、解析性假设连续、可微、解析性假设积分形式积分形式微分形式微分形式连续交通流方程连续交通流方程0 xqt流量流量q(x,t)密度密度 (x,t)速度速度u(x,t)ddqxt)(,0)(已知已知q=q( )xxfx),()0 ,(已知初始密度已知初始密度 f(x

5、)一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程 用特征方程和首次积分法求解用特征方程和首次积分法求解)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx0txx0斜率斜率k=1/ (f(x0)x(t)是一族直线是一族直线 特征线特征线特征线的斜率随特征线的斜率随x0变化变化沿每条特征线沿每条特征线x(t), (x,t)是常数是常数f(x0)连续交通流方程连续交通流方程讨论讨论q( ), f(x)给定后解给定后解 (x,t)的性质的性质ddqxt)(,0)(xxfx),()0 ,()/1 (mmuq)/21 (/)(mmuddq m * 0 1 2 * = m/2 , ( * )=0,

6、k00)()(xtxftxx (t)的斜率的斜率k=1/ (f(x0)特征线特征线 10, k0 2 * , ( 2 )0, k0按初始密度按初始密度f(x)是是x的的减函数减函数或增函数或增函数讨论讨论解解 (x,t)的性质的性质) 0 ()(),(00 xxxfttx连续交通流方程连续交通流方程f(x)增函数增函数xf(x)x*x1x20 * 1 2xf(x)减函数减函数f(x)x*x1x20 * 1 2 10 2 *, k0 = *,k前面车流密度小前面车流密度小(速速度大度大), 后面密度大后面密度大(速度小速度小), 行驶正常行驶正常.前面车流密度大前面车流密度大(速度小速度小),

7、后后面密度小面密度小(速度大速度大), 造成造成堵塞堵塞, (x,t), q(x,t)出现出现间断间断.) 0 ()(),(00 xxxfttxxx*x1x20t00)()(xtxftxxx*x1 x1x20tP(x,t)00)()(xtxftx在在P(x,t)点点, (x,t)=f(x1) (x,t)=f(x1 ) ?间断交通流方程间断交通流方程设一连串间断点设一连串间断点(x,t)形成孤立、连续的间断线形成孤立、连续的间断线x=xs(t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(交通流方程的交通流方程的积分形式积分形式btxtxassdxtxdxtxdtdtbqtaq)()(),()

8、,(),(),(btxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxt)()(),(),(推导间断线推导间断线xs(t)的方程的方程对任意对任意t , x=xs(t)孤立孤立, 取取a xs(t) 0处的车辆继续行驶处的车辆继续行驶, x0处的车辆出现堵塞处的车辆出现堵塞. t= 时交通灯变绿时交通灯变绿, 堵塞的车辆快速行驶堵塞的车辆快速行驶. 用车流密度用车流密度 (x,t)描述红绿灯转换下交通流的变化描述红绿灯转换下交通流的变化. 绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队? 需要多长时间堵塞状态才会消失需要多长时间堵塞状态才会消失, 交通

9、恢复正常交通恢复正常?对对象象红绿灯模型红绿灯模型)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx讨论讨论密度密度 (x,t) 的变化的变化连续点连续点间断线间断线qdtdxs1. t=0, (x,0)=f(x)= 0(常数常数)设设 0 *= m/2 初始密度小于流量达到最大的密度初始密度小于流量达到最大的密度, 称为称为稀疏流稀疏流.x m 00t=0依时间为序分依时间为序分9步讨论步讨论红绿灯模型红绿灯模型x m 000t xsrxxl2. 0t , 红灯亮红灯亮x0处车辆堵塞处车辆堵塞, 导致最大密度导致最大密度 = m = m与与 = 0形成形成左间断线左间断线 x=

10、xsl(t) 堵塞车辆尾部的移动堵塞车辆尾部的移动.mmmmmuqqq/ )()()(,0000qdtdxsltutxmmsl0)(x=xsl(t)向左向左移动速度移动速度usl=um 0 / m 0 *= m/2 0)0(,0slmmxu红绿灯模型红绿灯模型2. 0t0处车辆继续行驶处车辆继续行驶, 出现空闲路段出现空闲路段 =0 x m 000tusl=um 0 / m 0 , 绿灯亮绿灯亮x m 00t xsrxxlx1x2x1(t)堵塞车队最前车辆的位置堵塞车队最前车辆的位置x2(t)堵塞车队最后车辆的位置堵塞车队最后车辆的位置初始密度初始密度(设设t = t- =0)srslsrsl

11、mxxxxxxxxxf,0, 00,)(0确定确定x1(t), x2(t)红绿灯模型红绿灯模型4. t , 绿灯亮绿灯亮x m 00t xsrxxlx1x2srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0初始密度初始密度0 x0 xsr)/21 ()(mmuf(x0)=0, (f(x0)=um特征线特征线x=um t +x0, (x, t )= f(x0)=0, x00+, x1=um t =um (t- )xslx00f(x0)= m, (f(x0)=-um ,x2=-um t =-um (t- )x2xx1)(21 ()(tutxmm)(1 2),(tuxtxmm红绿灯模型红绿灯

12、模型5. t=td,堵塞消失堵塞消失xsl(t)向左向左移动速度移动速度um 0 / mxsr(t)向右向右移动速度移动速度um ( m - 0 )/ mx2(t)向左向左移动速度移动速度um 0 *= m/2 x1(t)向右向右移动速度移动速度umx2(t)首先追上首先追上xsl(t), 此时此时堵塞消失堵塞消失tutxmmsl0)(x2(t) =-um (t- )t =td0mmdtx m 00t=tdxsrxxlx1=x2=红绿灯模型红绿灯模型6. t=tu,追上车队追上车队xsl(t)向左向左移动速度移动速度um 0 / mx2(t)向左向左移动速度移动速度um 0tu , xsl(t

13、), xsr(t)继续移动继续移动红绿灯模型红绿灯模型qdtdxsl,)(1 2),(tuxtxmm,)(1 2tuxmslm)()(),21 (2)( 20dmdslmmxlsltutxutxdtdx02/110)()(21 ()(tBtutxmmsl0)(1 (22/10001mmmuB2/ 110)(2)21 (tBudtdxmmsl0 (t充分大充分大)xsl由向左变由向左变为向右移动为向右移动 m 00ttuxsrxxlx8. t=t* , x=0处交通恢复处交通恢复红绿灯模型红绿灯模型 0=0t=t*xsrxxlx 2/110)()(21 ()(tBtutxmmsl当当xsl移动至

14、移动至x=0时时, x=0处交通恢复处交通恢复20*)/21 ()(0mttt 越小越小, 0/ m越小越小, 则则t*越小越小, x=0处交通恢复越快处交通恢复越快.2/ 10001)(1 (2mmmuB设设 =5min, 0/ m=3/8, 则则t*=80min5分钟的堵塞分钟的堵塞, 过过75分钟后分钟后x=0处交通才能恢复处交通才能恢复.9. tt* , xsl(t), xsr(t)继续向右移动继续向右移动红绿灯模型红绿灯模型 00tt*xsrxxlx xsl, xsr处处 的跳跃值越来越小的跳跃值越来越小.理论上理论上, t全线交通才能全线交通才能恢复到初始状态恢复到初始状态 = 0以上假定初始密度以上假定初始密度 0 *= m/2 拥挤流拥挤流, 得到的得到的结果与稀疏流不同结果与稀疏流不同, 但分析方法一样但分析方法一样(