2.3.1两个变量间的相关关系

1、两个变量间的相关关系.数学学习与物理学习商业销售收入与广告之间粮食产量与施肥量之间人体脂肪含量与年龄之间哲学原理哲学原理：世界是一个普遍联系的整：世界是一个普遍联系的整体，任何事物都与其它事物相联系。体，任何事物都与其它事物相联系。 数学地理解世界1、现实生活中存在许多相关关系：数学学习、现实生活中存在许多相关关系：数学学习与物理学习与物理学习,商品销售与广告、粮食生产与施商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系.2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系

2、作出一定判断找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断.3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，和有代表性以样本数据应较大，和有代表性.才能对它们之间的关才能对它们之间的关系作出正确的判断系作出正确的判断.探究探究：.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.26134.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？之间有怎样的关系吗？ 从

3、上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断. 下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，称该图为称该图为散点图散点图。如

4、图：O202530 35 4045 505560 65年龄脂肪含量510152025303540从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角

5、的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成平均路程，称它们成负相关负相关.注：课本注：课本P86的思考的思考.O我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系关关系,这条直线叫做这条直线叫做回归直线回归直线，该直线叫，该直线叫回归方程回归方程。那么，我们该那么，我们该怎样来求出怎

6、样来求出这个回归方这个回归方程？程？请同学们展开请同学们展开讨论，能得讨论，能得出哪些具体出哪些具体的方案？的方案？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540.方案方案1、先画出一条直线，测量出各点与它、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540如图如图 ：.方案方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧

7、、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图如图我们还可以找到我们还可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？科学吗？ 准确吗？怎样的准确吗？怎样的 方法是最好的？方法是最好的？202530 35

8、4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540我们把由一个变量的变化我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法去推测另一个变量的方法称为称为回归方法。回归方法。回归直线回归直线 实际上实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画法来刻画“从整体上看从整体上看,各点到此直线的距离最各点到此直线的距离最小小”.这样的方法叫做最小二乘法这样的方法叫做最小二乘法.人们经过实践与研究，已经找到了人们经过实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式计算回归方程的斜率与截距的一般公式:xbyaxnxyxnxxxyyxxbniin

9、iiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P80）一、相关关系的判断一、相关关系的判断例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。解：解：数学成绩数学成绩由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如

10、下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149xiyixiyi计算得计算得:0, 0yx110,1101011012yxxiiiii1010110010110101010122101iiiiixxyxyxb000bxbya所求回归直线方程为所求回归直线方程为 y=x小结：求线性回归直线方程的步骤：小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：计算第二步：计算 ；第三步：代入

11、公式计算第三步：代入公式计算b,a的值；的值；第四步：写出直线方程。第四步：写出直线方程。yxyxiiii,yxxiniiniiyx112,总结总结基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线形回归线形回归线形回归方程线形回归方程1 1、相关关系、相关关系 （1 1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 （2 2）相关关系与函数关系的异同点。）相关关系与函数关系的异同点。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。相

12、同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。可能是伴随关系）。 （3 3）相关关系的分析方向。）相关关系的分析方向。 在收集在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。对它们的关系作出判断。2、两个变量的线性相关、两个变量的线性相关 （1 1）回归分析）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫对具有相关关系的两个变

13、量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。定关系的某种确定性。 （2 2）散点图）散点图 A A、定义；、定义；B B、正相关、负相关。、正相关、负相关。 3 3、回归直线方程、回归直线方程 注注: :如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状, ,则则这两个变量之间不具有相关关系这两个变量之间不具有相关关系. .3 3、回归直线方程、回归直线方程 （1 1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的

14、附近，就称两个变量之间具有线性相关的布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。关系，这条直线叫做回归直线。（2 2）最小二乘法）最小二乘法(3)(3)利用回归直线对总体进行估计利用回归直线对总体进行估计abxy求线性回归直线方程的步骤：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：计算第二步：计算 ；第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b,a的值；的值；第四步：写出直线方程。第四步：写出直线方程。iiiiyxyx,iniiniiyxxyx112,4 4、利用回归直线方程对总体进行估计、利用回归直线方程对总体进行估计 例例5 5 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶与冶炼时间炼时