高中数学 3.1 方程的根与函数的零点 新人教A版ppt课件

1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四1.函数零点的概念函数零点的概念对于函数对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使 的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的 .2.函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系函数函数y=f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=0的的 ，也就是，也就是函函 数数y=f(x)的图象与的图象与 的交点的的交点的 .所以方程所以方程 f(x)=0有有 函数函数y=f(x)的图象与的图象与 函数函数y=f(x) . f(x)=0零点零点实数根实数根x轴轴横坐标横坐标实数根实数根x轴有交点轴有交点有零点有零点返回返回 3.函数零点的判断

2、函数零点的判断如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的一条曲线，并且有一条曲线，并且有f(a)f(b) ，那么，函数，那么，函数y=f(x)在在区间区间 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b),使得使得 ，这，这个个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.4.二次函数的零点、二次函数图象与二次函数的零点、二次函数图象与x轴的交点、一元轴的交点、一元二次方程的根三者之间的关系二次方程的根三者之间的关系.00)的根的根y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象y=ax2+bx+c(a0)的零点的零点方程无实数根方程无实数根x1=x2=ab2aa

3、cbbx2422, 1有一个二重零点有一个二重零点没有零点没有零点 返回返回 学点一学点一 函数的零点函数的零点求下列函数的零点求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.【分析】【分析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点就是求相应方程的实数根数的零点就是求相应方程的实数根.返回返回 NoImage【解析】【解析】（1）由）由f(x)=4x-3=0得得x= ，所以函数的零点是，所以函数的零点是 .（2）由于）由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)，因此方程，因此方程

4、f(x)=0的根为的根为-3,1，故函数的零点是，故函数的零点是-3,1.（3）由于）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，令，令f(x)=0，得，得x=1,-1,故函数的零点是故函数的零点是1,-1.4343【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点从而得到函数的零点.返回返回 （1）令令lnx-3=0,得得x=e3,函数的零点为函数的零点为x=e3.（2）方程方程x3-7x+6=0可化为可化为x3-6x-x+

5、6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0.即即(x-1)(x-2)(x+3)=0得得x1=-3,x2=1,x3=2,函数函数y=-x2-2x+3的零点为的零点为1,-3;函数函数y=x3-7x+6的零点为的零点为-3,1,2.求下列函数的零点求下列函数的零点:(1)y=lnx-3; (2)y=x3-7x+6.返回返回 学点二学点二 判断零点判断零点判断函数判断函数f(x)=x2-x-6的零点是否存在，若存在的零点是否存在，若存在,说明零点说明零点所在的一个区间所在的一个区间.【分析】【分析】要判断函

6、数的零点的个数，实际就是考查方要判断函数的零点的个数，实际就是考查方程程x2-x-6=0的解的个数，即的解的个数，即y=x2-x-6的图象与的图象与x轴的交点轴的交点个数个数.【解析】【解析】考查函数考查函数f(x)=x2-x-6知图象为抛物线（如图所示），知图象为抛物线（如图所示），容易看出容易看出f(0)=-60,f(-4)=140.返回返回 【评析】【评析】 (1)方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁；方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁； (2)体会数形结合和函数与方程的思想的运用体会数形结合和函数与方程的思想的运用.由于函数由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此的图象是连续曲

7、线，因此,点点B(0,-6)与点与点C（4,6）之间的那部分曲线必然穿过）之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间轴，即在区间(0,4)内必有一个点内必有一个点x1,使使f(x1)=0；同样在区间；同样在区间(-4,0)内内也必有一个点也必有一个点x2，使，使f(x2)=0,所以函数所以函数f(x)=x2-x-6有两有两个零点，分别在区间个零点，分别在区间(0,4)和和(-4,0)内内.返回返回 求证：方程求证：方程5x2-7x-1=0的根一个在区间的根一个在区间(-1,0)上，另上，另一个在区间一个在区间(1,2)上上.证明证明:令令f(x)=5x2-7x-1,则则f(0)=-1,f(1)=-

8、3,f(-1)=11,f(2)=5.由由f(-1)0,f(0)0知在知在(-1,0)上上f(x)有一个零点，即有一个零点，即方程方程f(x)=0有一根，有一根，同理，由同理，由f(1)0知方程在知方程在(1,2)上也有一根上也有一根.返回返回 学点三学点三 函数值符号的判定函数值符号的判定函数函数y=-2x2+x+3的自变量的自变量x分别在什么范围内取值时，分别在什么范围内取值时，函数值大于函数值大于0，小于，小于0，等于，等于0？【分析】【分析】首先求出函数的零点，然后利用零点，结首先求出函数的零点，然后利用零点，结合函数的两个性质，可以求出函数值大于合函数的两个性质，可以求出函数值大于0，

9、小于，小于0，等于等于0时自变量时自变量x的取值范围的取值范围.【解析】【解析】由由-2x2+x+3=0得得x1=-1,x2= ，所以函数的零，所以函数的零点是点是-1和和 ，亦即当自变量，亦即当自变量x取取-1和和 时时,函数值等于函数值等于0.函数的两个零点函数的两个零点-1和和 将数轴分成将数轴分成3个区间：个区间：(-,-1),（-1, ）,（ ,+），在区间（），在区间（-1, ）内取特殊值）内取特殊值23232323232323返回返回 x=0，得其函数值，得其函数值f(0)=30，依函数零点的性质，依函数零点的性质（2）知当）知当x（-1, ）时）时,有有f(x)0；再依据函数零

10、；再依据函数零点的性质（点的性质（1）知）知,当当x(-,-1)和和x（ ,+）时，）时，都有都有f(x)0时，时，x的取值范围的取值范围.解解：y=x2-2x-8=(x+2)(x-4),函数的两个零点是函数的两个零点是-2和和4,由图象可知由图象可知 当当x(-,-2)(4,+)时时,y0.-24xy返回返回 学点四学点四 零点与不等式零点与不等式已知函数已知函数f(x)=x3-4x.（1）求函数的零点并画函数的图象；）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式）解不等式:xf(x)0.【分析】【分析】由函数的零点判断作出函数图象由函数的零点判断作出函数图象.【解析】【解析】（1）因为）因为

11、 x3-4x= x(x-2)(x+2)，所以函，所以函数的零点为数的零点为0,-2,2.三个零点把数轴分成三个零点把数轴分成4个区间：个区间：(-,-2,(-2,0,(0,2,(2,+).由由于相邻两个零点之间的所有函数值保持于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图象如图所示同号，函数的图象如图所示.返回返回 （2）不等式）不等式xf(x)0 x0 f(x)0,结合函数图象结合函数图象,得不等式的解集为得不等式的解集为(0,2)(-2,0).或【评析】根据函数的零点定义与性质，可以用来帮【评析】根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数的图象，结合函数图象不仅可以直观的研助画函数的图

12、象，结合函数图象不仅可以直观的研究函数的性质，而且能够求解相关的不等式，这体究函数的性质，而且能够求解相关的不等式，这体现了以数辅形，以形助数的思想方法现了以数辅形，以形助数的思想方法.返回返回 返回返回 已知函数已知函数f(x)=x2+2x-3m，当，当x(0,+)时，时，f(x)0，求，求m的取值范围的取值范围.可分两种情况处理，即分无零点和有零点。可分两种情况处理，即分无零点和有零点。（1）当）当f(x)无零点时无零点时,=4+12m0,解得解得m- .所以当所以当m0.（2）当）当f(x)有零点有零点,且又满足且又满足x(0,+)时时,f(x)0,有两个零点必落在有两个零点必落在(-,

13、0)内内,此时有此时有 0 m- -ba0 -20 ca0, -3m0,3131即即 31解得解得- m0.综上所述综上所述,得当得当x(0,+),f(x)0时时,m的取值范围是的取值范围是m0.311.1.怎样判定函数怎样判定函数f(x)f(x)在在a,ba,b上是否有零点上是否有零点? ?判定判定f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是否有零点，可用下面方法：上是否有零点，可用下面方法：（1 1）函数在区间）函数在区间a,ba,b上的图象连续，且它在区间上的图象连续，且它在区间a,ba,b端点的函数值异号，则函数在端点的函数值异号，则函数在a,ba,b上一定存上一定存在零点；在零点；（

14、2 2）函数图象连续且在区间）函数图象连续且在区间a,ba,b上存在零点，则上存在零点，则它在区间它在区间a,ba,b端点的函数值可能异号端点的函数值可能异号, ,也可能同号；也可能同号；上述方法只能用来判断函数零点的存在性，不能用来上述方法只能用来判断函数零点的存在性，不能用来判断函数零点的个数判断函数零点的个数. .返回返回 2.2.怎样理解函数零点与方程根的关系？怎样理解函数零点与方程根的关系？3.3.函数值与零点有什么关系？函数值与零点有什么关系？设给出函数设给出函数y=f(x)y=f(x)，则有方程，则有方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)有零

15、点有零点函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点. .若方程若方程f(x)=0f(x)=0有二重实根，则称函数有二重实根，则称函数y=f(x)y=f(x)有二阶零点有二阶零点. .对于任意函数对于任意函数y=f(x)y=f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有，只要它的图象是连续不间断的，则有（1 1）当通过零点时）当通过零点时, ,函数值变号函数值变号. .如函数如函数y=xy=x2 2-x-6-x-6的图象在零的图象在零点点-2-2的左边时，函数值取正号；向右通过零点的左边时，函数值取正号；向右通过零点-2-2时，函数值时，函数值由正变负；继续向右通过零点由正变负；继续向右通过零点3 3时时, ,函数值又由负变正函数值又由负变正. .（2 2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号）在相邻两个零点