(统计学 第九周)简单回归分析—李琳琳老师

1、生物医学研究的统计方法 第10章第第 十十 章章简简 单单 回回 归归 分分 析析生物医学研究的统计方法 第10章w 第一节第一节 简单线形回归简单线形回归w 第二节第二节 线形回归的应用线形回归的应用 主要内容主要内容生物医学研究的统计方法 第10章学习目标 了解回归分析的基本思想。熟悉线性回归的基本步骤；求解回归方程中参数估计量a和b值所遵循的策略最小二乘原则。掌握简单线性回归的基本概念；回归模型的前提假设；回归系数的含义、计算方法及假设检验。生物医学研究的统计方法 第10章教 学 重 点线性回归模型的前提假设线性回归分析的基本步骤回归方程的解释生物医学研究的统计方法 第10章第第 一节一

2、节简简 单单 线线 性性 回回 归归 Linear Regression Analysis生物医学研究的统计方法 第10章 为研究大气污染一氧化氮（NO）的浓度是否受到汽车流量、气候状况等因素的影响，选择24个工业水平相近的一个交通点，统计单位时间过往的汽车数（千辆），同时在低空相同高度测定了该时间段平均气温（）、空气湿度（） 、风速（m/s）以及空气中一氧化氮（NO）的浓度（ ），数据如表10-1所示。 【例例10.1】610生物医学研究的统计方法 第10章表10-1 24个城市交通点空气中NO浓度监测数据生物医学研究的统计方法 第10章资料类型：定量资料；研究目的：了解一氧化氮浓度与汽车流

3、量、气候状况等因素之间的依存关系。【案例解析】生物医学研究的统计方法 第10章 函数关系：它反映着现象之间严格的数量化依存关系，也称确定性的依存关系。如正方形的面积和边长的关系。 回归关系：变量之间存在着不确定、不严格的依存关系，即对于一个变量的某个数值，可以有另一变量的若干数值与之相对应 bxaybxay2XY 在这种关系中，对于变量的每一个数值，都有一个或几个确定的值与之严格对应。 生物医学研究的统计方法 第10章回归关系的几个例子生物医学研究的统计方法 第10章一、回归分析的基本概念一、回归分析的基本概念回归（Regression）变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一

4、个变量唯一确定当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个各观测点分布在直线周围 X1.31.21.11.0.9.8.7.6.5Y201918171615141312生物医学研究的统计方法 第10章回归分析（回归分析（Regression analysisRegression analysis）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出具有统计学意义的变量；1.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度。生物医学研究的统计方法 第10章w自变量与

5、因变量自变量与因变量自变量（自变量（independent variable) ： 能独立自由变化的变量能独立自由变化的变量 一般用一般用X表示表示因变量（因变量（dependent variable)： 非独立的、受其它变量影响的变量非独立的、受其它变量影响的变量 一般用一般用Y表示表示c）x与与y确定原则确定原则 生物医学研究的统计方法 第10章w回归模型分类回归模型分类 a) 按变化趋势：按变化趋势： 线性回归模型线性回归模型 非线性回归模型非线性回归模型按自变量个数：按自变量个数： 简单线性回归模型简单线性回归模型 多重线性回归模型多重线性回归模型 生物医学研究的统计方法 第10章一元

6、线性回归模型一元线性回归模型描述y 如何依赖于x 和误差项 的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量，反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响，是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参数XY10生物医学研究的统计方法 第10章二、简单线性回归分析回归模型的基本假设1.线性（linear)2.独立（independent)3.正态 (normal)4.等方差（equal variance)生物医学研究的统计方法 第10章线性（线性

7、（linear)指反应变量Y的总体平均值与自变量X呈线性关系。独立（独立（independent)指任意两个观察值互相独立。正态正态 (normal)假定线性模型的误差项服从正态分布 。等方差（等方差（equal variance)是指在自变量X取值范围内，不论X取什么值，Y都具有相同的方差。 生物医学研究的统计方法 第10章 3X1Y2Y3YYX2X1X图1 回归模型前提假设示意图生物医学研究的统计方法 第10章u回归分析的方法步骤回归分析的方法步骤绘制散点图绘制散点图求回归系数和常数项求回归系数和常数项回归系数和常数项的假设检验回归系数和常数项的假设检验列出回归方程，并进行假设检验列出回归

8、方程，并进行假设检验回归方程的解释回归方程的解释生物医学研究的统计方法 第10章（一）绘制散点图（一）绘制散点图图2 车流量与空气中NO浓度关系散点图 从散点图可见：从散点图可见：车流量与空气中车流量与空气中NO浓度有线性浓度有线性关系，可以考虑关系，可以考虑做线性回归分析。做线性回归分析。生物医学研究的统计方法 第10章（二）求回归系数和常数项（二）求回归系数和常数项生物医学研究的统计方法 第10章xxxyLLXXYYXXb2)()(XbYabXaY系数估计公式：系数估计公式： 回归方程：回归方程：生物医学研究的统计方法 第10章生物医学研究的统计方法 第10章xy1584. 01353.

9、0回归方程本例中b=0.1584; a=-0.1353生物医学研究的统计方法 第10章参数参数的意义：若自变量的意义：若自变量X增加增加1个单位，反应变个单位，反应变量量Y的平均值便增加的平均值便增加个单位。个单位。 =0，说明，说明Y与与X之间并不存在线性关系；之间并不存在线性关系； 0，说明，说明Y与与X之间存在线性关系。之间存在线性关系。理由：从理由：从=0的总体抽得样本，计算出的回归系的总体抽得样本，计算出的回归系数数b很可能不为零。很可能不为零。方法：回归系数的假设检验可通过方法：回归系数的假设检验可通过t检验实现。检验实现。（三）回归系数和常数项的假设检验（三）回归系数和常数项的假

10、设检验生物医学研究的统计方法 第10章t检验检验生物医学研究的统计方法 第10章。于可以认为回归系数不等，所以00001. 0,222432. 60246. 01584. 0005. 00:0:22,0001. 010PttnsbtHHbb生物医学研究的统计方法 第10章（四）回归方程的假设检验（四）回归方程的假设检验目的：检验求得的回归方程在总体中是目的：检验求得的回归方程在总体中是否成立；否成立；方法：单因素方差分析。方法：单因素方差分析。生物医学研究的统计方法 第10章因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变异。变异来源：n因自变量 x 的取值不同造成的n除 x 以外的其他因

11、素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变异的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示u变异（变差）及其分解变异（变差）及其分解yy 生物医学研究的统计方法 第10章yxy10yyyyyy),(iiyx生物医学研究的统计方法 第10章niiniiniiyyyyyy121212生物医学研究的统计方法 第10章SST是指没有利用X的信息时，Y观察值的变异；SSE反应回归方程未能解释的那部分变异；SSR反应回归方程解释的那部分变异。决定系数(R2）= SSR/ SST，反应了Y的总变异中回归关系所能解释的百分比， R2越大，说明构建的回归方程越好。 生物医学研究的统计

12、方法 第10章表3 简单线性回归模型方差分析表 生物医学研究的统计方法 第10章 查查F界值表，得界值表，得P0.05,说明构建的说明构建的回归方程具有统计学意义。回归方程具有统计学意义。 研究表明，研究表明， 车流量和空气中车流量和空气中NO浓度浓度存在着线性依存关系：车流量每增加存在着线性依存关系：车流量每增加100辆（辆（0.1千辆）千辆）,空气中空气中NO浓度平均浓度平均可能增加可能增加0.01584（五）回归方程的解释（五）回归方程的解释610生物医学研究的统计方法 第10章线性回归分析的线性回归分析的SPSS过程：过程：Analyze Regression LinearDepend

13、ent list框 YIndependent list框 X1OK生物医学研究的统计方法 第10章【电脑实现】SPSS线性回归分析：线性回归分析： 1. 数据录入数据录入生物医学研究的统计方法 第10章2.线性回归分析的步骤线性回归分析的步骤:生物医学研究的统计方法 第10章C Co oe ef ff fi ic ci ie en nt ts sa a-.135.035-3.829.001.158.025.8086.432.000(Constant)车流量Model1BStd. ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficient

14、stSig.Dependent Variable: NOa. A AN NO OV VA Ab b.0531.05341.376.000a.02822.001.08123RegressionResidualTotalModel1Sum ofSquaresdfMean SquareFSig.Predictors: (Constant), 车流量a. Dependent Variable: NOb. 3. 结果及结果输出：结果及结果输出： 生物医学研究的统计方法 第10章第第 二二 节节 线线 形形 回回 归归 的的 应应 用用生物医学研究的统计方法 第10章直线回归方程的应用（一）定量描述两变量

15、之间的依存关系。（一）定量描述两变量之间的依存关系。（二）利用回归方程进行预测。（二）利用回归方程进行预测。（三）利用回归方程进行统计控制。（三）利用回归方程进行统计控制。生物医学研究的统计方法 第10章 一、一、 总体回归线的总体回归线的95% 置信带置信带的总体均数的点估计为时，给定YXpX 生物医学研究的统计方法 第10章 生物医学研究的统计方法 第10章二、个体二、个体Y预测值的区间估计预测值的区间估计 总体中，当XP为某一固定值时，个体Y值围绕着对应于XP值的总体均数波动，其分布的标准差按下式估计：生物医学研究的统计方法 第10章即即 生物医学研究的统计方法 第10章 图5 空气中N

16、O浓度（Y）与车流量（X）回归 线的95%置信带与Y个体值的95%预测带生物医学研究的统计方法 第10章三、三、 统计控制统计控制：例例： 该城市为降低空气中该城市为降低空气中NO的含量，拟对车流量的含量，拟对车流量进行适当的控制，根据空气污染指数分级，要进行适当的控制，根据空气污染指数分级，要求空气中氮氧化合物含量不超过求空气中氮氧化合物含量不超过0.1000.15010-6 。XY1584. 01353. 0已知回归方程已知回归方程答答：千辆时当千辆时当801. 11584. 0/135. 0150. 010150. 0485. 11584. 0/135. 0100. 010100. 01

17、62161，XY，XY故该城市单位时间内车流量应控制在故该城市单位时间内车流量应控制在1500辆以内，辆以内，最多不超过最多不超过1800辆，否则会导致轻度污染的发生。辆，否则会导致轻度污染的发生。生物医学研究的统计方法 第10章简单线性回归分析的注意事项简单线性回归分析的注意事项 1.要注意实际意义；要注意实际意义；2.绘制散点图观察两变量的关系以及绘制散点图观察两变量的关系以及找出异常点；找出异常点；3.注意自变量和因变量的变化范围。注意自变量和因变量的变化范围。生物医学研究的统计方法 第10章小结 相关分析是用来描述两变量的相关关系，当两变量满足双变量正态分布时，可以计算Pearson积

18、差相关系数，如果有任何一个变量不满足正态分布或为等级资料，需计算Spearman等级相关系数。而回归分析是用来刻画两变量的依存关系，它要求资料满足LINE（线性、独立、正态和等方差），二者之间既有联系又有区别。 生物医学研究的统计方法 第10章生物医学研究的统计方法 第10章生物医学研究的统计方法 第10章【案例讨论】年龄与身高预测研究。某地调查了年龄与身高预测研究。某地调查了418岁男孩岁男孩与女孩身高，数据见下表，试描述男孩与女孩身与女孩身高，数据见下表，试描述男孩与女孩身高与年龄间的关系，并预测高与年龄间的关系，并预测10.5岁、岁、16.5岁、岁、19岁与岁与20岁男孩与女孩的身高。岁

19、男孩与女孩的身高。 表表10-4 10-4 某地男孩与女孩平均身高与年龄的调查数据某地男孩与女孩平均身高与年龄的调查数据生物医学研究的统计方法 第10章采用采用SPSS对身高与年龄进行回归分析，结果如表对身高与年龄进行回归分析，结果如表10-5和和表表10-6所示。所示。 表10-5 男孩身高对年龄的简单线性回归分析结果%5 .98R990.98,F2估计值标准误tPconstant83.73631.882444.48390.0000age5.27480.167631.47980.0000生物医学研究的统计方法 第10章估计值标准误tPconstant88.43263.280026.96110

20、.0000age4.53400.292015.52900.0000表12-6 女孩身高对年龄的简单线性回归分析结果%1 .94,15.2412RF生物医学研究的统计方法 第10章 经拟合简单线性回归模型，t检验结果提示回归方程有非常显著的统计学意义。 结果提示，拟合效果非常好，故可认为： （1）男孩与女孩的平均身高随年龄线性递增，年龄每增长1岁，男孩与女孩身高分别平均增加5.27，4.53，男孩生长速度快于女孩的生长速度。 （2）依照回归方程预测该地男孩10.5、16.5、19和20岁的平均身高依次为139.12、170.77、183.96和189.23，该地女孩10.5、16.5、19和20岁的平均身高依次为136.04、163.24、174.58和179.11. 2R生物医学研究的统计方法 第10章 针对以上分析结果