数值分析正交多项式实用教案

1、 函 数 逼 近函数(hnsh)逼近的基本概念1正交函数(hnsh)系的性质 正交多项式的构造(guzo) 函数的最佳平方逼近正交多项式的基本概念第1页/共54页第一页，共54页。第1节 函数(hnsh)逼近的基本概念第2页/共54页第二页，共54页。函数(hnsh)逼近)()(xfxp复复杂杂函函数数简简单单函函数数尽可能小尽可能小要求：要求：)()(xpxf （足够(zgu)的小）N维空间,),( xPHnn,，数数乘乘区区间间上上的的连连续续函函数数， babaCp,，数乘，数乘阶连续导数的函数，阶连续导数的函数，区间上具有区间上具有 babaCp第3页/共54页第三页，共54页。,.,

2、S21nxxxspan 生成空间：生成空间：nnHxxxspan ,., 1S2生成空间：生成空间：N+1维空间定理1Weierstrass上一致成立。上一致成立。在在使得：使得：总存在多项式总存在多项式则对任何则对任何设设,)()(),(, 0,)( baxfxpxpbaCxf 第4页/共54页第四页，共54页。范数与赋范空间(kngjin)称称为为赋赋范范线线性性空空间间。则则上上的的范范数数，为为为为线线性性空空间间，设设 S, SS内积与内积空间(kngjin)nnyxyxyxyx .),(2211N维数量(shling)空间内积332211),(yxyxyxyx 第5页/共54页第五

3、页，共54页。推而广之(tu r gung zh)它满足以下条件：它满足以下条件：为为中一个数与之对应，记中一个数与之对应，记有有）上的线性空间，对）上的线性空间，对或或是数域是数域设设),(,CK(RXvuKXvu 0),(0, 0),()4(,),(),(),()3(),(),( )2(),(),(1时时，当当且且仅仅当当）（uuuvuKXwvuwvwuwvuvuvuuvvu 上的内积。上的内积。为为则称则称X),(vu称称为为内内积积空空间间线线性性空空间间),(),( X第6页/共54页第六页，共54页。内积空间(kngjin)常用的范数为：),(uuu 上的内积定义为：上的内积定义为

4、：,baC badxxgxfxxgxf)()()()(),( 2122)()( badxxfxf范数定义为：范数定义为：第7页/共54页第七页，共54页。内积空间(kngjin)的重要结论定理2Cauchy-Schwarz不等式),)(,(),(,X2vvuuvuXvu 有有是是一一内内积积空空间间，对对设设2322212322212332211)()(yyyxxxyxyxyx 特别(tbi)地第8页/共54页第八页，共54页。定理3Gram矩阵(j zhn) ),(),(),(),(.),(),(),(.),(),(,.,X21222121211121nnnnnnnuuuuuuuuuuuuu

5、uuuuuGXuuu为一内积空间，为一内积空间，设设线性无关线性无关非奇异非奇异nuuuG,.,21第9页/共54页第九页，共54页。第2节 正交多项式第10页/共54页第十页，共54页。 .)(,)()(0)()()()(,)(,)()(0正交正交上带权上带权在在与与则称则称，数且满足数且满足上的权函上的权函为为，若若xbaxgxfdxxxfxxgxfbaxbaCxgxfba ;)()(, 00)()()()()(),()(10正交函数系正交函数系上带权上带权，是是则称则称，满足关系满足关系，若函数族若函数族xbaxkjAkjdxxxxxxxkkkjbakjn 定义6.2., 1系系则则称称

6、之之为为标标准准正正交交函函数数若若 kA一、正交多项式的概念(ginin)第11页/共54页第十一页，共54页。,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,)1(上上的的积积分分等等于于零零任任意意两两个个不不同同函函数数在在 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数(snjihnsh)系：正交性：. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其中其中 .,.2sin,2cos,sin,cos, 1,上上的的正正交交函函数数族族就就是是在在区区间间三三角角函函数数族族例例如如 xxxx回忆(huy)傅氏级数的结论第12页/共54页第十

7、二页，共54页。, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx.,)2( 上上的的积积分分等等于于任任意意两两个个相相同同函函数数在在 0)sin,(cos)sin,(sin)cos,(cos0)sin, 1()cos, 1()sin,(cos,.2 , 1,)cos,(cos)sin,(sin,2)1 , 1( jxkxjxkxjxkxkxkxkxkxjkjkkxkxkxkx有有时时当当而对而对 第13页/共54页第十三页，共54页。 区间a,b上关于权函数(hnsh)的正交函数(hnsh)系必定线性无关证明(zhngmng),.,),(10nx 正交函数系

8、为：正交函数系为：权函数为权函数为设设0.,.,.,)(11001010 nnnncccccc 使得：使得：即存在不全为零的实数即存在不全为零的实数线性相关，线性相关，假设假设反证反证0).)01100 iiiinniiiccccc ，（，（，（，（，则有：，则有：不妨设不妨设矛盾矛盾只有只有，（而而0, 0) iiic 证毕定理6.2二、正交多项式的性质(xngzh)第14页/共54页第十四页，共54页。,.)2 , 1(0)(),(,)()()( 11 kdxQxQkbaxxkxkkbakkkk 对任意的对任意的正交的充要条件是：正交的充要条件是：上上在在则则为权函数，为权函数，次多项式，

9、次多项式，是是设设证明(zhngmng)：0)()(1 dxQxxkkbak 正交正交)()()()(101xbxQxxjkjjkkk 线性组合线性组合线性无关组线性无关组正交正交dxxbxxdxQxjkjjkbakkba)()()()(101 0)()()(10dxxxxbjbakkjj 定理6.3第15页/共54页第十五页，共54页。,.)2 , 1(0)(),(,11 kdxQxQkkkbakk 若对任意的若对任意的kjAkjdxxxxkkjbakj , 00)()()()(，要证明：要证明： )1,.2 , 1(0)()()(),()()(1 kjdxxxxxxQjkbajkjk 特别

10、取：特别取：0)()(),(20)(2 dxxxkbaxkkk 又又正交正交上上在在所以所以,)(baxk 证毕第16页/共54页第十六页，共54页。1,)()1(最最高高次次项项系系数数为为次次数数为为nxn 的线性组合的线性组合均可表为均可表为对对nnnHxP ,.)()3(0 kjAkjdxxxxkkjbakj , 00)()()()()4(， 线性无关线性无关,.,)2(10n 三、正交多项式系的主要(zhyo)特征第17页/共54页第十七页，共54页。 :)(.,., 1),(,0 xxxxbann 构构造造出出正正交交多多项项式式序序列列利利用用逐逐个个正正交交化化手手续续关关的的

11、幂幂函函数数均均可可由由一一族族线线性性无无及及权权函函数数只只要要给给定定区区间间.)21)()()()()()(, 1)(100，（），（），（ nxxxxxxxxjnjjjjnnn 四、正交多项式系的构造(guzo)第18页/共54页第十八页，共54页。Clearx,ff0=1;fk_:=xk-Sum(Integratexk*fi,x,0,1)/ (Integratefi2, x,0,1)*fi,i,0,k-1Tablefk,k,0,6/N;Expand%/N;MatrixForm%Fi_,j_:=Integratefifj,x,0,1TableFi,j,i,0,6,j,0,6;Matr

12、ixForm%程序设计第19页/共54页第十九页，共54页。9241221115112022753)(25214256592025)(70172792)(2015323)(61)(21)(1)(2345662345523442332210 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx :)(1 , 0.,., 10 xxxnn 正交多项式序列正交多项式序列正交化构造出正交化构造出由由请同学们写出)()(108xx 第20页/共54页第二十页，共54页。正交性验证(ynzhng)：kjAkjdxxxxkkjbakj , 00)()()()(， 00199088100000006985

13、441000000044100100000002800100000001801000000012100000001第21页/共54页第二十一页，共54页。xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx42935143105143231)(23151151115)(215910)(35376)(53)(31)()(3577246635524432210 :)(1 , 1.,., 10 xxxnn 正交多项式序列正交多项式序列正交化构造出正交化构造出由由请同学们写出)()(108xx 第22页/共54页第二十二页，共54页。勒勒让让德德多多项项式式. 1及其结构(jigu)特点1)( x 权函数权

14、函数正正交交化化得得到到的的多多项项式式由由,.,., 1nxx1 ,1 区区间间为为),.(),.(),(:10 xPxPxPn专用符号专用符号,.)2 , 1(1)(,)1(!21)(:02 nxPxdxdnxPnnnnn一般表达式一般表达式五、勒让德(Legendre)正交多项式第23页/共54页第二十三页，共54页。的的勒勒让让德德多多项项式式为为显显然然最最高高项项系系数数为为的的系系数数于于是是得得首首项项1.) !(2)!2(2nnaxnnn )1()!2(!)(2nnnnxdxdnnxP 第24页/共54页第二十四页，共54页。nmnnmdxxPxPmn ，；，正交性正交性性质

15、性质1220)()(111:. 2质质勒勒让让德德多多项项式式的的重重要要性性奇偶性奇偶性性质性质2 为奇数时为奇数时奇函数奇函数为偶数时为偶数时偶函数偶函数故故nnxPn,)(递推关系递推关系性质性质3)(1)(112)(11xPnnxPnnxPnnn .1 , 1)(4个个不不同同的的实实零零点点内内有有在在区区间间性性质质nxPn 第25页/共54页第二十五页，共54页。xxPxP )(1)(10213)(22 xxP,2)35()(33xxxP ,8)33035()(244 xxxP,8)157063()(355xxxxP ,16)510531523()(2466 xxxxP:10.

16、3位位勒勒让让德德多多项项式式集集的的前前请同学们写出)()(108xx ,16)35315693429()(3577 xxxxP第26页/共54页第二十六页，共54页。时时，区区间间为为）（当当权权函函数数11,112 xx 式式正交化得到的正交多项正交化得到的正交多项由序列由序列, 12nxxx它可表示为它可表示为多项式多项式就是切比雪夫就是切比雪夫,)(Chebyshev. 1),arccoscos()( xxnxTn则则若令若令,cos x.0cos)( nxTn六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式第27页/共54页第二十七页，共54页。切切比比雪雪夫夫多多项项式式. 1及其结

17、构(jigu)特点211)(xx 权函数权函数正正交交化化得得到到的的多多项项式式由由,.,., 1nxx1 ,1 区区间间为为),.(),.(),(:10 xTxTxTn专用符号专用符号. 1),arccoscos()(: xxnxTn一般表达式一般表达式第28页/共54页第二十八页，共54页。 00201)()(1112nmnmnmdxxxTxTmn ，正交性正交性带权带权性质性质:. 2性性质质切切比比雪雪夫夫多多项项式式的的重重要要奇偶性奇偶性性质性质2的的奇奇数数项项仅仅含含的的偶偶数数项项仅仅含含xxTxxTnn)(,)(122 递推关系递推关系性质性质3)()(2)(11xTxx

18、TxTnnn .1 , 1)(4个个实实零零点点内内有有在在区区间间性性质质nxTn 第29页/共54页第二十九页，共54页。:10. 3位位切切比比雪雪夫夫多多项项式式集集的的前前请同学们写出)()(108xx ,34)(33xxxT , 188)(244 xxxT,52016)(355xxxxT 15040011201280512)(9120432576256)(132160256128)(75611264)(, 1184832)(24681010357992468835772466 xxxxxxTxxxxxxTxxxxxTxxxxxTxxxxT, 12)(22 xxTxxT )(11)(

19、0 xT第30页/共54页第三十页，共54页。七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式第31页/共54页第三十一页，共54页。第3节 函数的最佳平方(pngfng)逼近第32页/共54页第三十二页，共54页。), 1 , 0)(mixi 为定义(dngy)在a,b上的一组线性无关的连续函数。,10mSpanH 如果(rgu)函数)()()()(1100 xaxaxaxmm 使得(sh de) baHbamkkkndxxxfxdxxaxfxaaaF22010)()()(min )()()(),( 的最佳平方逼近函数。的最佳平方逼近函数。关于关于中中在在为为为权函数，则称为权函数，则称其中其中)(

20、)()()(xHxfxx 一、最佳平方逼近的概念定义 设函数f(x)在区间a,b上连续，第33页/共54页第三十三页，共54页。), 1 , 0()(mkxxkk 若若最最小小二二乘乘多多项项式式。最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式或或次次的的上上关关于于在在为为则则称称mxbaxfx)(,)()( 特别地第34页/共54页第三十四页，共54页。), 1 , 0(0)( )()()(0mjdxxxaxfxaFbajmkkkj ), 1 , 0()()()()()()(0mjdxxxfxdxxxxabajbajkmkk 整整理理得得正正规规方方程程组组： ),(),(),(),(),(),()

21、,(),(),(),(),(),(1010101110100100mmmmmmmnfffaaa 写写成成矩矩阵阵形形式式：一一解解。线线性性无无关关，方方程程组组有有唯唯m ,10二、最佳(zu ji)平方逼近函数的求解根据多元函数取极值(j zh)的必要条件得：第35页/共54页第三十五页，共54页。注意,., 1)(),.(),()2(1)() 1 (210nnxxxxxxx 我们要求掌握：我们要求掌握：一般取权函数：一般取权函数： 第36页/共54页第三十六页，共54页。Clearg,f,Gfx_:=？gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=In

22、tegratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,n,j,0,n;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,n;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi,i,0,n程序设计第37页/共54页第三十七页，共54页。求 在0,1上的一次最佳平方逼近多项式xxf cos)( , 1,)(, 1)(10 xSpanHxxx 取取210110010211101010002cos),(0cos),( ,31),(,21),( , 11),( xdxxfxdxfdxxxdxdx则：则：例（P141例5）【解】第38页/共54页第三十八页，共54页

23、。正规(zhnggu)方程组为 4317. 2,2159. 1231210211021010aaaaaa 所以 在0,1上的一次最佳平方逼近多项式为xxf cos)( xx4317. 22159. 1)( 第39页/共54页第三十九页，共54页。 注 意若用正交多项式，正则方程组较简单(jindn) ),(),(),(),(000),(000),(10101100mmmmfffaaa 第40页/共54页第四十页，共54页。求 在0,1上的二次最佳平方逼近多项式xxf sin)( 首先(shuxin)构造正交多项式211),(),(, 1)(1010000010 dxxdxxx 21)21()2

24、1(),(),(,21)(102102111121 dxxdxxxxxx ,121)21(),(),(1010200112 dxdxx 例6）【解】第41页/共54页第四十一页，共54页。61121)21()(222 xxxx 3221100221021100312),( , 0),(2sin),( ,1801),(,121)21(),( , 1),( ffxdxfdxx05047. 04012251225. 4)(),(),()(),(),()(),(),()(2222211110000 xxxfxfxfx 第42页/共54页第四十二页，共54页。Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi

25、*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1) /(Integrategi2, x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2;Fn/N;Expand%程序设计第43页/共54页第四十三页，共54页。 求多项式。多项式。上的三次最佳平方逼近上的三次最佳平方逼近在在 1 , 1)( xexf 利用(lyn

26、g)已知的正交多项式系Legendre多项式是-1,1上正交多项式系),13(21)()(,)()(, 1)()(2221100 xxPxxxpxxpx )35(21)(33xxx )3 , 2 , 1 , 0(122),( kkkk 3504. 2),(1110 eedxefx 例6【解】第44页/共54页第四十四页，共54页。7358. 02),(1111 edxxefx 02013. 0),( ,1431. 0),(32 ff正规(zhnggu)方程组的解为：07064. 0),(27,3578. 0),(25,1037. 1),(23,1752. 1),(2133221100 fafa

27、fafa9963. 09980. 05367. 01762. 0)(23 xxxx 第45页/共54页第四十五页，共54页。Clearg,f,Gfx_:=Expx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1A=TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,3;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,3程序设计第46页/共54页第四十六页，共54页。Clearg,f,G,Ffx_:=Expx;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,-1,1)/(Integrategi2, x,-1,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,3;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1Tab