数学分析含参量积分实用教案

1、(2) d , , , .,)()(),()(),(,),(,)(),(),()(| ),(),(,baxdxcyyxfxFxFxbadcyyxfbaxbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx就有记为的函数上取值的积分值是在则其上可积的一元函数在作为于固定的若对上的连续函数为定义在其中上的二元函数是定义在设一般地. , 含参量积分含参量积分分分含参量x的(正常)积含参量x的(正常)积或上的通称为定义在与个函数用积分形式定义的这两,)()(ba21 d .,),()(,”的情形有关结论适用于“dcbaxyxfyJy第1页/共68页第一页，共68页。二、含参量二、含参量(cnling)(cnli

2、ng)积分的连续性积分的连续性.,),()(,),(上连续在则函数上连续在矩形若二元函数连续性badcyyxfxIdcbaRyxfd ) )( ( 19.119.1 定理定理.),(),(.)(),(),()()(.,),(),(),()()(,dccdyyxfyxxfxIxxI00RyxfdcyyxfyxxfxIxxIbaxxxxyxfyxfyyxxd d 22112121时，就有只要即一致连续上连续在有界闭区域因，于是证：设当故.证毕第2页/共68页第二页，共68页。dcbayyxfdcyyxfxIxI0 x000 xxxx0 xx.,),(),(),()( ,dlimdlim lim :

3、序即求极限与求积分可换其结论也可写为.,),()(,),(,上连续在则函数上连续在矩形若二元函数同理dcbaxyxfyJdcbaRyxfd badcxyxfbaxyxf0y00yyyy.,),(),( ,dlimdlim即有第3页/共68页第三页，共68页。.,.,)()(),()(,)(),(,),()(| ),(),(,上连续在则函数上的连续函数是在其中上连续在区域设连续性babaxdxcyyxfxFbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx(6) d , ) )( ( 19.219.2 定理定理.,)(1 .19,)()()()()(,10,)()()()()(,)()(),()(,)(

4、)(, 1 , 0,)()()()()(1 .19上连续在知，定理故由上连续，在故上取值在之间取值时与在当，今作积分换元，令证：要利用定理由于baxFbaxcxdxcxdtxcxftxcxdxcxdtxcxfxdxcyyxfxFtxcxdytxdxcyxcxdtxcy10dd dd 第4页/共68页第四页，共68页。11220 xxdlim 例1例1,11,1 ,:22的连续函数是解xx三、含参量三、含参量(cnling)(cnling)积分的可微性积分的可微性.arctan10124d10 xxx原式),()(.(),(),(,),()(,),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyx

5、fxbadcyyxfxIdcbaRyxfxyxfxddd d 即且上可微在则上连续都在矩形区域与其偏导数若可微性) )( (19.319.3 定理定理第5页/共68页第五页，共68页。.),(),()()(),()(,:dcyxyxfyxxfxxIxxIdcyyxfxIbaxxxd d 得由于是设证.),(),(),(),(),(, 0, 0,),(. 10 ,),(),(),(,yxfyxxfyxfxyxfyxxfRyxfxyxxfyxfyxxfxxxxxx 就有时，只要从而一致连续上连续在有界闭区域因由微分中值定理当故).(dd cddcyyxfxyxfyxxfyyxfxIxdcx),()

6、,(),(),(.dlim dcxxyyxfxI),(0),()(.(),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxxddd 即第6页/共68页第六页，共68页。 d 10.)0(arctan的导数对于参数求：yyxyx练习1练习1 连续，故和时，解：当22arctanarctan0yxxyyyxyx dddd 1010arctanarctanxxyyyxyx .lnln(d221212102210221)yyyxxyxx第7页/共68页第七页，共68页。)7().()(,()()()()(,(),()(,)()(),()(,)(),(,),(),( d d , xcxcxfxdxd

7、xcxdxfyyxfxFbaxdxcyyxfxFqpbaxdxcqpbaRyxfyxfxx且上可微在则函数内的可微函数上其值含于为定义在上连续在设可微性 ) )( ( 19.419.4 定理定理. 3 .19为常数时，得到定理和特别地，dc d2.)sin()(yyxxxyyF的导数：求练习2练习2 . dcos3yyyyyyyyyxyyyyyyxxyyFyyyy2223223sin2sin3sin2sinsinsin2sin)()(22解：第8页/共68页第八页，共68页。).()(0)()()!1(1)(,|,0)()(1xfxtxtftxnxxxxfnn且的各阶导数存在函数充分小时验证当

8、的某个邻域内连续在设 , d 例2例2，得由定理连续在原点的某个方邻域内及其偏导数解：由于被积函数txtftxnxfxxntxtftxnxtxFtftxtxFnnnxnd2 1d2 19.4 , 2220)()()!(1)()()!(10)()()!(1)(),()()(),(1).()(,0)()(,0)()()!1(1)()() 1(1)(xfxtxtfxtxtftxknxnnknk从而并有依次类推，d d 第9页/共68页第九页，共68页。.101)1ln(2xxxId 计算积分 例3例3.3 .19 1 , 0 1 , 0)(,) 1 (, 0)0(.10)(解21)1ln(的条件上满

9、足定理在且则设含参量积分：IIIIxIxx d )1ln(2ln11)1ln()1ln(1110111110)1)(1 ()(21421010221102222 arctan ddxxxxxxxxxxxI于是，).1 (2ln) 1 (arctan2ln)1ln(10)() 0() 1 (410211028IIIII d . 2I8ln故第10页/共68页第十页，共68页。:可得和定理由定理19.219.219.119.1.,)()(,),( 上可积和分别在和则函数连续上在矩形区域若函数可积性dcbayJxIdcbaRyxf ) )( ( 19.519.5 定理定理ybaxyxfxdcyyxf

10、yxfdcbadd dd : ),(),(,),(,与的积分同时存在两个顺序不同连续的假设下在即. , dd dd 这里确切地是二次积分它们通称为累次积分求积积然后对求先对后者表示求积求积然后对先对前者表示与分别简记为.),(,),(),(),(yxyxfxyyxfbaxyxfyydcyxfxdcba四、含参量四、含参量(cnling)(cnling)积分的可积性积分的可积性第11页/共68页第十一页，共68页。(8) dd dd dcbabaxyxfyydcyxfxdcbaRyxf),(),(,),(则上连续在矩形区域若函数积分换序 ) )( ( 19.619.6 定理定理.几何意义.,),

11、()(, 0)()(.)()(),(),()(),()(),()(11111，命题得证取故又则，证：记bubauuIuIaIaICuIuIuIydcyufuIuaxyxfyuIydcyxfxuIdcua22222 d ,dd dd 第12页/共68页第十二页，共68页。).010lnabxxxxIab( d 求 例4例4.10,ln dd dybaxxIxxxybaxyaby故解：因.11ln111106 .19,1abbayybayyxbaxxyIbaRxyyydddd 1010可交换积分次序得故由定理上连续，在由于 .11ln)1ln()()( ,abyaIbI Iba积分得.10)(3

12、.19).10ln)(yxxyIbyaxxxxyIyay11d ( d 得由定理令另解： 第13页/共68页第十三页，共68页。小结小结 1、了解含参量积分的概念；、了解含参量积分的概念； 2、掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性、掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性、换序定理；换序定理； 1）掌握求含参量积分的极限、导数）掌握求含参量积分的极限、导数(do sh)； 2）会用含参量积分的微分（积分）换序求定积）会用含参量积分的微分（积分）换序求定积分。分。作业作业(zuy)：P178, 2(1), 3, 4(1), 5(1).第14页/共68页第十四页，共68页。2 2 含参量含参量(c

13、nling)(cnling)反常积反常积分分(2) d (1) d , .,),()(),(,),(,),),(baxcyyxfxIxIxbabaxcyyxfbaxcbaRyxf就有记为的函数上取值的则其积分值是在都收敛反常积分固定的若对每一个上定义在无界区域设函数一、一致(yzh)(yzh)收敛性及其判别法.,) 1 ( 含参量反常积分含参量反常积分积分积分含参量x的无穷限反常含参量x的无穷限反常简称为上的式为定义在称 ba如同反常积分与数项级数的关系那样(nyng),含参量反常积分与函数项级数在一致收敛性问题及其论证方法上也极为相似。NkNkAAxkuxkucyyxfcyyxf11)(li

14、m)(,lim)d,()d,(第15页/共68页第十五页，共68页。).(,),(,)(),(, 0),(xIbaMyyxfxIMcyyxfbaxNMcNxI于上在则称含参量反常积分即都有对一切时使得当实数对与函数若含参量反常积分一致收敛一致收敛定义1定义1(1)d d (1) (3) d (1) .),(, 0:,2121AAyyxfbaxNAAcNba都有对一切时使得当实数对一致收敛的充要条件是上在含参量反常积分一致收敛的柯西准则 ) )( ( 19.719.7 定理定理.,31一致收敛的柯西准则函数项级数参见P第16页/共68页第十六页，共68页。 0),(d .), 0),0sin上不

15、一致收敛但在其中上一致收敛在试证含参量反常积分yyxy 例1例1).( . 0,0sinsinsinddd (1):证明注收敛又uuyuuAxuuxyuAyxyA1.dsin01, 2cos11dsin10.dsin 1 , 0sin, 1sin0lim .01dsin10dsindsinP274 收敛，单调趋于收敛上连续，在事实上，收敛注：参上册xxxxAAxxxxxxxxxxxxxxxxxxx., 0, 0sin d AuuuMAM就有时使当.),0sinsinsin上一致收敛在就有时，对一切则当取也就是yMAAxyxNANyxyAxAyxyMuuud)( d d 第17页/共68页第十七

16、页，共68页。.sinsin, 0, 0, 0,0000sinMxuuuuuuxMuuudd d (2)使得收敛.), 0(,0000sin0sinsinsin0sin21内不一致收敛在也就是就有现令yuuyuyxyMxuuuuyxyuuMdddd d 第18页/共68页第十八页，共68页。 20)(d 1.), 0(),0内不一致收敛）在（；其中上一致收敛在，试证）（yxexy练习1练习1.) 1 (xeeAyxeAAxAxyxye，证：d0., 0, 00lim00AAAeAAAe时当，又.AxyeAyxed 0)(d .),0其中上一致收敛在yxexy第19页/共68页第十九页，共68页

17、。., 0, 0, 0:)2(000000d 0AyexxAAAyx使和对存在需证., 000100d1d00eAyexAxeAyexyxAxyx就有取注意 d 1010000001., 0, 02AeyexAxAAAyxe使得和对于故存在.d 内不一致收敛在因此), 0(0yxexy第20页/共68页第二十页，共68页。函数项级数其中的递增数列对任一趋于是上一致收敛的充要条件在含参量反常积分 (1), )(:,1cAAban 19.819.8 定理定理(7) d 111),(),(nnnnnxuAAyyxf.上一致收敛在,ba.),(, 0,: AAyyxfbaxMAAcMbad (1) 总

18、有对于一切时使当故上一致收敛在因含参量反常积分仅证必要性总有从而对于一切有时使当存在所以对上述又, 0,),(baxMAANnmNMnAnmn11),(),()()(mmnnAAAAmnyyxfyyxfxuxudd .),(1mnAAyyxfd.,)7(上一致收敛在因此级数ba第21页/共68页第二十一页，共68页。.,),(.,),(| ),(|),(上一致收敛在则收敛若使得设有函数bacyyxfyygycbxaygyxfygcd,)d( 魏尔斯特拉斯M判别法魏尔斯特拉斯M判别法.32斯判别法魏尔斯特拉函数项级数的证明仿照P.d 上一致收敛在试证含参量反常积分),(01cos2xxxy 例2

19、例2.11cos,:22xxxyy1 对于任何证 02.,2d11收敛又xx上一致收敛在),(01cos2 d xxxy00.)0(的一致收敛性、试证xxexdsin练习2练习2.0 ,:0 xexexx0sin证00.,0收敛又1dxex0.)00(一致收敛xxxedsin第22页/共68页第二十二页，共68页。;),(,),(,MyyxfbaxcNMbaxyyxfcNNcNcd 0, , d (i) 都有一切对一切实数即存在一致有界上对参量含参量积分对一切实数设狄利克雷判别法狄利克雷判别法.),(,),(,0 (ii)一致收敛于对参量时单调递减且当关于函数对每一个yxgxyyyxgbax.

20、,),(),(上一致收敛在则含参量反常积分bacyyxgyxfd dcos.0)0(1收敛上一致在为常数证pxxxepx: :练习3练习3第23页/共68页第二十三页，共68页。 dcos1.0)0(上一致收敛在为常数证pxxxepx: :练习3练习3 .2sin1sindcos，一致有界证AxxA| ) 1 ( :1.(,) 1()2(0)001ppxpxxxexexx一致收敛于且对单减关于.别分一致收敛法知，该含参量反常积狄利克雷判由第24页/共68页第二十四页，共68页。 d (i) ;),(,上一致收敛设在bcyyxfa阿贝耳判别法阿贝耳判别法,),(,),(,一致有界且对参量的单调函

21、数为函数对每一个yxgxyyxgbax (ii).,),(),(上一致收敛在则含参量反常积分bacyyxgyxfd .d 上一致收敛在试证含参量反常积分, 00sindxxxexy 例3例3第25页/共68页第二十五页，共68页。).(d , ,d 自学上不一致收敛在则处发散但在上收敛在又上连续在若试证),),(),),(,),),(:bacyyxfbxbacyyxfcbayxf 例4例4小结小结 1.了解含参量反常积分了解含参量反常积分(jfn)一致收敛的概念、柯一致收敛的概念、柯西准则、充要条件西准则、充要条件; 2.了解不一致收敛的证明方法；了解不一致收敛的证明方法； 3.掌握掌握M判别

22、法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法。判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法。作业作业(zuy)：P189, 1(1)(2)(3).第26页/共68页第二十六页，共68页。二、含参量二、含参量(cnling)(cnling)反常积分的性质及其反常积分的性质及其应用应用.,)(,),()()(,),),()(上连续在那么函数上一致收敛在含参量反常积分上连续在区域函数如果连续性baxIbacyyxfxIcbayxfd ii i ) )( ( 19.919.9 定理定理.,)(,.,)(.),),(,),(),()(, )(1111上连续在性定理根据函数项级数的连续上连续在故每个上连续在又上一致收敛在级数

23、的递增数列对任意趋于由定理证baxIbaxucbayxfbaxuAAyyxfxIcAAnnnnnnn . d 19.8, :cbayyxfcyyxfxxxxx.,),(),(000 ,dlimdlim :其结论也可写为第27页/共68页第二十七页，共68页。(15) d ,d iiid ii (i) cyyxfxIbaxIbacyyxfbacyyxfxIcbayxfyxfxxx.),()(,)(.,),()(,),()()(,),),(),(且上可微在那么函数上一致收敛在上收敛在上连续都在区域与函数如果可微性 ) )( ( 19.1019.10 定理定理 . dd 19.8,d19.3,d :

24、上一致收敛在函数项级数定理由定理令递增数列对任意趋于证，由，,),(),()(),()(),()(, )(111111bayyxfyyxfxuyyxfxuyyxfxucAAnnAnAcxxnnnAnAxnAAnnnn第28页/共68页第二十八页，共68页。.),(),()()()1 .13,40(1111 .13nnAnAcxxnnyyxfyyxfxuxIPdd 44定理定理求导定理根据函数项级数的逐项cyyxfxcyyxfx.),(),(dd :dd 其结论也就是第29页/共68页第二十九页，共68页。(16) .dd dd d ii (i) cbabaxyxfycyyxfxbaxIbacy

25、yxfxIcbayxf),(),(,)(,),()()(,),),(且上可积在那么函数上一致收敛在上连续在区域函数如果可积性 ) )( ( 19.1119.11 定理定理.,)(,)(上可积在从而上连续在定理证由baxIbaxI19.9, :),1 .13(,)(,)()(,13 19.9定理分定理根据函数项级数逐项积上连续在项且各上一致收敛，在证明中得知又在定理baxubaxuxInnn证毕定理定理 dddd ddd d 3.),(),(),()()(116 .191111 .13cnbanAnAnnAnAbanbanbabaxyxfyxyxfyyyxfxxxuxxI第30页/共68页第三十

26、页，共68页。 .dd dd ii.d d (i) caaxyxfycyyxfxbaxcyyxfdcayxyxfcayxf| ),(| ),(|:)(,),(,),(,),),),(与下列积分有一个收敛上一致收敛在任何闭区间对于上一致收敛在任何闭区间对于若上连续在区域设 19.1219.12 定理定理(19) .dd dd caaxyxfycyyxfx),(),(, 且敛则其中另一个积分也收第31页/共68页第三十一页，共68页。.d )( abpxxaxbxeIpx, 00sinsin计算 例5例5故，解：因bayxyxaxbxdcossinsin0.0bapxbapxyxyexxyxyeI

27、dcosd)ddcos( .,00,上一致收敛在区间及因由收敛baxxyeMxeexyepxpxpxpxdcos dcos判别法,魏尔斯特拉斯bapxpxxxyeyIbaxye0,), 011.19,11.19dcosd cos定理积分换序值不变定理故由上连续在又Cbabxbbxaexbxeaxax22sincosdcosbapapbyypp.arctanarctan22d第32页/共68页第三十二页，共68页。.sgn02sin02sinxxxxxaxadd 狄利克雷积分：证明 例6例6.0arctan0sin. 0. 00）（则中，令在例下面设时，原式解：当ppaxxaxebaapx d

28、0,5 )1,0dd00阿贝尔判别法单减且关于在连续在一致收敛一致收敛|,(sin0sinsinpxpxxaxxaxpxxaxpxexepxxepe.2arctanlim0sinlim0sin0,sinsgn00apaxxaxexxaxpxxaxeppxppx dd 0d从而上连续在第33页/共68页第三十三页，共68页。 .d 02xxeeIxx计算练习4练习4 .)dd d 0(,2121212xteItexexeexttxtxxx故因解：),(11.19,1|00|), 02 , 1 0积分换序定理上一致收敛在关于得知，且由故根据上连续，在又因1,2 dd ,|txeexeeeetxxx

29、xtxtx .dddd 21210212ln10ttttetxeItxtx第34页/共68页第三十四页，共68页。 .dsin )( 000,baxmxxeeIbxax计算练习5练习5. 0. 00mIm下面设时，：当 解解.00)0(.0, 0lim收敛收敛，从而，又连续被积函数在不是瑕点，故因xmxxxmxxxmxxbxeaxexbxeaxexbxeaxexbxeaxexbxeaxexdsindsin 0 sin1),|(0,|00,0,0000判别法收敛，时当又因一致收敛Mxeemxexmxexmxaaaxaxaaxaxxeeabxax1dsindsindsin.0,00022,)(),

30、(1 .19均成立上式对任意性故根据由可微性定理aaxmxemamaIaxdsin 0Cbabxbbxaexinbxeaxax22cossinds第35页/共68页第三十五页，共68页。.arctanarctan)( .arctan ,arctan)(0.arctand)(0dsin 22mambaImbCCmbbIbaCmaamaaIxmxxeebxaxm于是，得，有令积分得000,. 0. 00 xmxetxmxtexmxxeeIbamImtxbabatxbxaxdsinddsinddsin Th19.11 不妨下面设时，：当另解另解Cbabxbbxaaxexbxaxe22cossinds

31、in)0(一致收敛连续，xmxemxetxtxdsinsin.arctanarctanarctan2mambbamtbatmtmd 2第36页/共68页第三十六页，共68页。)269.,20022Pxexrxerxx见已知计算ddcos)( ( . 例7例7.0222收敛且证明xeerxexxxdcos .),(02上一致收敛在rxrxexdcos dsindcos ,00)(22xrxxexrxexrx dsin,0222收敛且xxexerxxexxx.),(02上一致收敛在rxrxxexdsin ).(ddsindsin 222121 ) ( limrxrxexrxrerxexrxxerr

32、xrAxAxxATh000coscos|0)(222210.19 .20044ln222xxererrrd)(C ,C)( lnC,)(其中.422rer)( 第37页/共68页第三十七页，共68页。 . 20d ),0(0d0d 2222xeaxaeuexxau证明利用例题 . .40d1121 0d0d 0d0d 0d0d2 0d)( 2)1 (222222222得证取常值，证：xxaaexaexaeaIeaeIIxaeagxaaxaaaxa第38页/共68页第三十八页，共68页。 .d d ( 3上连续在证明习题利用),2),189.(0)(022)(xeyFxeyxxP练习6练习6 .

33、dddddd ( 上连续在上连续在上连续在从而证：),),),.2)(00)(000)(2222222yFtyeetyeeeuexeyFtttuyuyuyxutuuyxu第39页/共68页第三十九页，共68页。.,),(),(),),(. 含参量反常积分含参量反常积分常积分常积分含参量x的无界函数反含参量x的无界函数反简称为为则称积分瑕点的为函数的某项值若对上有定义在区域设函数函数的非正常积分简略提一下含参量无界 (25) d , , . dcyyxfyxfdyxdcbaRyxf.,并讨论它们的性质致收敛性判别法无界函数反常积分的一类似地可以讨论含参量 小结小结 1、了解含参量反常积分、了解含

34、参量反常积分(jfn)的性质的性质(连续性连续性,可微可微性性,积分积分(jfn)性性)； 2、会利用含参量反常积分、会利用含参量反常积分(jfn)的性质计算定积分的性质计算定积分(jfn)。作业作业(zuy)：P189, 2, 4(1)(2)(3).第40页/共68页第四十页，共68页。3 3 欧拉积分欧拉积分(jfn)(jfn)(2) d , 0, 0,10)1 (),(11qpxxxqpBqp.,欧拉积分欧拉积分函数函数函数函数统称为和分别为 (1) d )( , 0,01sxexsxs含参量积分.下面讨论其性质它们在应用中经常出现 ,第41页/共68页第四十一页，共68页。,),)(|

35、 )(|1),1| )(| )(|1),1| )(|,),0)(,)(babaxfxaxfpaxxxfxaxfpaxxxfuaaaxfpp且在任何定义在有限区间：设发散。时，且）当（收敛；时，且）当（则有上可积有限区间且在任何定义在：设章的第柯西判别法II柯西判别法II柯西判别法I柯西判别法Id2d111一、一、函数函数(hnsh)(hnsh),()(1100111sJsIxexxexxexsxsxsxs ddd )(.时收敛在由柯西判别法，0)(ss第42页/共68页第四十二页，共68页。.0)(并且可导内连续在定义域 , 1.ss.0)(.,0),1,(1),10,10(10)0(,111

36、111111内连续在定义域连续上一致收敛在收敛时，当一致收敛收敛时，当一致收敛上，在任何闭区间这是因为于是ssbaxexxexexexxxexxexexexxxexabaxsxbxbxsxsxaxaxsxsdd1ddd).0(0)().0(0,)0(,00(1)(111sxxexsssxxexsabaxxexxexnxsnxsxsxssd(ln )( dln )(dln)d 存在任意阶导数：同理从而上一致收敛在任何闭区间用同样方法第43页/共68页第四十三页，共68页。 2.).() 1(sss：递推公式).() 1(,0100100,sssxexsxexxexsexxexxsxsAxsAxs

37、AxsA，即得令分部积分dddd ).()() 1() 1(, 10, 1nsnssssns nsn 递推得即设!.0!) 1 (12) 1() 1(nxennnnxd 第44页/共68页第四十四页，共68页。.函数的图象 3.)()()(在横轴上方且下凸，恒大于和sss00,s .)(lim,) 1(lim)(lim00sssssss.)2 , 1 (1)2() 1 (内，极小值点在 ).(s延拓 4.).0 , 1(,) 1()(ssss.),1, 2(.)( 的其他形式s 5.02022121yysyxxseyxexsdd )( .0d2)21(2xex第45页/共68页第四十五页，共6

38、8页。二、二、函数函数(hnsh)(hnsh) dd.)1 ()1 (),(1211121011xxxxxxqpBqpqp. 0, 0),(,0, 0,qpqpBqp定义域时两积分收敛由柯西判别法.0, 0),(内连续在定义域qpqpB 1.0, 0),(.,),(,10)1 (),()1 ()1 (, 0, 00011001111000000内连续在从而连续上一致收敛在判别法由收敛且对任何于是qpqpBqqppqpBMxxxqqppxxxxqpqpqpqpd ).,(),(pqBqpB对称性 2. dd ).,(10)1 (10)1 (),(11111pqByyyxxxqpBqpyxqp证：

39、第46页/共68页第四十六页，共68页。(8) )( 3.1, 0),1,(11),(:qpqpBqpqqpB递推公式(9) )( 0, 1), 1(11),(qpqpBqppqpB )( 1, 1),1, 1()2)(1() 1)(1(),(qpqpBqpqpqpqpB ).8(证：只需证.8 ).,(1) 1,(1 10d)1)(1 (1 10d)1 (1)1 (10d)1 (),( 1, 0 211210111）得证（时，事实上，当qpBpqqpBpqxxxxxpqxxxpqpxxxxxqpBqpqppqpqpqp第47页/共68页第四十七页，共68页。的其它形式),(qpB 4.(10

40、) d ,0cossin2),(21212pqqpB2cosx d ,0)1 (),(1yqppyyqpB211111)(dd,yyxyxyyx第48页/共68页第四十八页，共68页。三、三、 函数函数(hnsh)(hnsh)与与函数函数(hnsh)(hnsh)的关系的关系mxxmBm110) 1 ,(1d .)!1()!1()!1(1112211) 1 ,(112211) 1,(11),(nmmnmmnmnnmnmBmnmnnmnnmBnmnnmB (12) .)()()(),(,qpqpqpB一般地(11) .)()()(),(nmnmnmB即第49页/共68页第四十九页，共68页。四、补

41、充四、补充(bchng)(bchng)例题例题 ).() 1 ( 1 ,194.,)(2521P并求证明：例 . .1 1xex0d2故.2 .)(.0dcossin2cossin 10d)1 ()21,21(. 1) 1 () 1 ()()(),(2111sin2/ 12/ 1212121212/2tttttxxxBBtx又，.)()(4321212325利用例 . .2 2xxxsin)1 ()(：余元公式余元公式(4).-13 P195, d 0）（类似地计算.113xx)B(d)1dd00032,3131(3113111313213233uuutttxxttutx解：uttuuuuud

42、d2)1 (11,. 332sin31) 1 ()()(3133231第50页/共68页第五十页，共68页。小结：小结： 1、了解、了解函数的分析性质和递推公式函数的分析性质和递推公式(gngsh)； 2、了解、了解B函数的分析性质和递推公式函数的分析性质和递推公式(gngsh)； 3、了解、了解函数和函数和B函数之间的联系，余元公式函数之间的联系，余元公式(gngsh)； 4、会求有关定积分、会求有关定积分作业作业(zuy)：P194, 1(2)(3), 3(1)(2)(4).第51页/共68页第五十一页，共68页。释疑释疑(shy)(shy)解难解难.dxxbxaaI202222)coss

43、inln()(解：设P178,4(1),P178,4(1), 2d. 2lncosln5, 31102ExxxJ在“解答”中，. 2ln4212ln4)dcoslndsinln(412ln4dsinln41d2sinln41d22sinln21dcoslndsinln21,dsinlndcosln , 222222200000000JxxxxuuuuxxxxxxJxxxxJ因为这是. 2lnsinlncosln22002dd xxxx所以，第52页/共68页第五十二页，共68页。 d. 0,)cossinln()(202222baaxxbxaaI是参数，不妨其中解：设P178,4(1),P17

44、8,4(1),时，当ba d.lnln)(202bxbbI时，当ba dxxbxaxaaI2022222cossinsin2)( duubuaauxu022222tan112 d-ubuabubaa22220222112 0022arctanarctan2bauabubaa ba.CbaaI)ln()(故 . 2lnln)(CbbI得，利用.ln)2ln(2)ln(baba一般地，原式第53页/共68页第五十三页，共68页。故连续且有连续导数时当解：,)cos21ln(, 0|21cos21.0cos21ln()().2(4 ,1782222axaaaaxaaxaxaaIP,1| )d 0d2

45、1220dcos212cos2)( 22222122111122taaaxaxaaxaItttttxtgt. 0222011arctanarctan2240)1 ()1 ()1)(1 (110)1()1 ()1()1 (1222222222ataataattaaaattttaataa dd.)()().()(000 ,1| aIICaIa，故又常数时当于是，第54页/共68页第五十四页，共68页。.01cos2ln()()(,|ln2|ln222abbIxbxbbaIbIbbaa)()d 0,1,|,1| 1故则令时当. 0)2ln(42ln242ln225, 311022sinln0sinl

46、n24(ln0cos1 (2ln) 1 (ExxttxxxIad)d)d ,1| 时当. 0) 1(I 同理，. 1| |,|ln2; 1|, 00cos21ln()(2aaaxaxaaI )d故 . 2lndsinln202tt,2220cosln0sinlnttxxJtxdd 事实上，. 2ln2lnsinlnsinln2lnsinln0sinln02sinln2222212021202121212221得证相加 ddddd JxxxxuuuuxxJxu第55页/共68页第五十五页，共68页。10)cos(ln)cos(ln10)cos(ln, 10)cos(ln,)cos(ln,0).2

47、(5 ,17811ln111lnxxbaybayxxxbyaxxxxybaxbaPyxyxxxxxyxyxyxxxababddd10dd 00d 积分顺序，得到积分号下的积分法交换故可利用上连续在则理解为在可将代入因解：bayyyttebayyttexd)(11 dd2 1cos0)1 (Cbabxbbxaexbxeaxax22sincosdcos.2222ln21ln2122aabbyba2)(11 ).1 (5同样方法解决第56页/共68页第五十六页，共68页。期中期中(q zhn)测验复习重点测验复习重点重点例题重点例题(lt)：P94, 例例2,3；P97，例，例6,7,8.重点习题：

48、重点习题：P99, 2；P104, 1,2.第57页/共68页第五十七页，共68页。1.理解可微和全微分的概念,掌握有关的证明题和计算题, 了解可微的必要条件和充分条件,知道全微分几何(j h)意义。2.会求曲面的切平面(pngmin)和法线，会用全微分作近似计算。3.熟练掌握复合函数的求导法,会用一阶全微分形式不变性。4.会计算方向导数，梯度及其模。5.熟练掌握高阶偏导数的计算。6.会中值定理，会用泰勒公式， 熟练掌握极值的必要条件和充分条件，及其应用。重点例题重点例题：P110,例5；P124,例1,例3；P132,例3,6,7,8.重点习题：重点习题：P117, 7,9,11；P127,

49、2；P141,1(5)(7),8.第58页/共68页第五十八页，共68页。第第1818章章 隐函数定理及其应用（参见隐函数定理及其应用（参见(cnjin)(cnjin)目录）目录）1、了解隐函数的概念，理解(lji)隐函数存在唯一性定理、可微性定理并掌握定理的应用，掌握隐函数的求导法;2、了解隐函数组的概念,理解隐函数组定理(存在性唯一性可微性)并掌握其应用,了解反函数定理与坐标(zubio)变换；3、会几何应用会几何应用(求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线)；4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式)重点例题

50、重点例题: P149,例2; P154,例1; P159,例1,2,3; P166,例1,2,3.重点习题：重点习题：P151,2,5；P157,1,2；P163,2,3,5; P169,1,2,4.第59页/共68页第五十九页，共68页。第第1919章章 含参量积分含参量积分(jfn)(jfn)（参见目录）（参见目录）1、了解含参量正常积分的概念(ginin),掌握分析性质(连续性、可微性、可积性、换序定理),会有关定积分的计算；2、了解含参量(cnling)反常积分一致收敛的定义、柯西准则、充要条件，掌握M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法；3、掌握含参量反常积分一致收敛的性质掌握含参量

51、反常积分一致收敛的性质(连续性、可微性、可积性、换序定理),会有关反常积分的计算会有关反常积分的计算；4、了解函数的性质和B函数的性质，会求有关积分求有关积分重点例题重点例题: P176,例14; P183,例2,3; P186,例5,6.重点习题：重点习题：P178，3；P189，1,2,4；P194，1,3.第60页/共68页第六十页，共68页。“第第19章章 含参量含参量(cnling)积分积分”的的习题课习题课一、内容一、内容(nirng)要求要求1、了解含参量正常、了解含参量正常(zhngchng)积分的概念，掌握分析性质积分的概念，掌握分析性质（连续性、可微性、可积性、换序定理）（连续性、可微性、可积性、换序定理）2、了解含参量反常积分一致收敛的定义、柯西准则、充、了解含参量反常积分一致收敛的