数学归纳法典型例题实用教案

1、1.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们(w men)提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与正整数有关命题的有效途径第1页/共29页第一页，共29页。利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以(ky)涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面：(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和；(2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围；(3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题2.数学归纳法的主要(zhyo)应用第2页/共29页第二页，共29页。 (1)用数学归纳法

2、证明的对象是与正整数n有关的命题 (2)在用数学归纳法证明中，两个(lin )基本步骤缺一不可3应用(yngyng)数学归纳法的注意事项第3页/共29页第三页，共29页。【例1】 用数学归纳法证明(zhngmng)：1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) 题型一恒等式问题(wnt)第4页/共29页第四页，共29页。 (1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1

3、)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(gnj)(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立证明(zhngmng)第5页/共29页第五页，共29页。用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否(sh fu)有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项难点在于寻找nk时和nk1时的等式的联系第6页/共29页第六页，共29页。第7页/共29页第七页，共29页。第8页/共29页第八页，共29页。第9页/共29页第九页，共29页。【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个(lin ) 都相交，且都在直

4、线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点 最多分成的圆弧段数为f(n)n2.(n2，nN)题型二几何(j h)问题第10页/共29页第十页，共29页。第11页/共29页第十一页，共29页。 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来(ch li)的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧第12页/共29页第十二页，共29页。第13页/共29页第十三页，共29页。第14页/共29页第十四页，共29页。 题

5、型三不等式问题(wnt)第15页/共29页第十五页，共29页。第16页/共29页第十六页，共29页。第17页/共29页第十七页，共29页。第18页/共29页第十八页，共29页。第19页/共29页第十九页，共29页。【例4】 (12分)在数列an，bn中，a12，b14，且an， bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公 式，并证明你的结论 归纳猜想证明是高考重点考查(koch)的内容之一， 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探 索出一般规

6、律题型四“归纳、猜想(cixing)、证明”问题审题指导(zhdo)第20页/共29页第二十页，共29页。第21页/共29页第二十一页，共29页。第22页/共29页第二十二页，共29页。【题后反思】 对于已知递推公式求通项公式，可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决，当用上述方法不能解决问题时，常用归纳、猜想和证明的方法来解决问题，用该法要求(yoqi)计算准确，归纳、猜想正确然后用数学归纳法证明猜想对任何自然数都成立第23页/共29页第二十三页，共29页。【训练4】 设数列an满足an1an2nan1，n1,2,3， (1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项 公

7、式； (2)当a13时，证明(zhngmng)对所有的n1，有ann2. (3)在（2）的前提下，证明(zhngmng)：2111111121naaa第24页/共29页第二十四页，共29页。 (2)证明当n1时，a1312，不等式成立 假设当nk(k1)时不等式成立，即akk2， 那么(n me)，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3. 即nk1时，ak1(k1)2. 由可知，对n1，都有ann2. （3）证明（略）学生证自己证第25页/共29页第二十五页，共29页。【示例】 当n为正奇数时，7n1能否被8整除？若能，用数学归 纳法证明；若不能，请举出反例 错解 (1)当n1时，71

8、8能被8整除命题(mng t)成立 (2)假设当nk时命题(mng t)成立，即7k1能被8整除则当nk1 时，7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知，n为正奇数时，7n1不能被8整除题型五 整除(zhngch)问题第26页/共29页第二十六页，共29页。 不要机械套用数学(shxu)归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件证明前要看准已知条件正解 (1)当n1时，718能被8整除，命题成立；(2)假设当nk时命题成立，即7k1能被8整除，则当nk2时，7k2172(7k1)17249(7k1)48，因为7k1能被8整除，且48能被8整除，所以7k21能被8整除所以当nk2时命题成立由(1)和(2)知，当n为正奇数时，7k1能被8整除第27页/共29页第二十七页，共29页。 用数学归纳法证