数学转化与化归思想实用教案

1、3.3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点, ,为了实施有效的转化, ,既可以变更问题的条件, ,也可以变更问题的结论; ;既可以变换问题的内部结构, ,又可以变换问题的外部形式, ,这就是多样性. .转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系, ,从宏观上实现(shxin)(shxin)学科间的转化, ,又能调动各种方法与技术, ,从微观上解决多种具体问题, ,这是转化的层次. .而解决问题时可以多次的使用转化, ,使问题逐次达到规范化, ,这是转化原则应用的重复性. .问题(wnt)规范(gufn)问题原问题的解答解答问题转化已知理论、方法、技巧问题还原第1页/共40页第一页，共40

2、页。1.1.函数(hnsh)y=sin4x+cos2x(hnsh)y=sin4x+cos2x的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析.874cos8142cos322cos1)22cos1(22xxxxy4B B22第2页/共40页第二页，共40页。2.2.在直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中,O,O是坐标原点, , 动点P P在直线x=3x=3上运 动, ,若从动点P P向Q Q点的轨迹引切线, ,则所引切线长的最小值为 （ ） A.4 B.5 C. D. A.4 B.5 C. D.解析 点Q Q的轨迹是以(-2,-2

3、)(-2,-2)为圆心, ,半径为1 1的圆, , 要使所求切线长最小, ,只要使圆心到直线x=3x=3的距 离最短即可. .62C C26)(sin2,cos2(ROQ第3页/共40页第三页，共40页。3.3.设椭圆 (a (ab b0)0)的半焦距为c,c,直线l l过（0,a)0,a)和(b,0),(b,0),已知原点到l l的距离等于(dngy) ,(dngy) ,则椭 圆的离心率为 （ ）A. B. C. D.A. B. C. D.解析 直线方程为l:ax+by-ab=0,l:ax+by-ab=0, 所以 ， 变形为12e4-31e2+7=0,12e4-31e2+7=0,再解出 .

4、.12222bxayc7212227212bacab21eB B41213322第4页/共40页第四页，共40页。4.4.设O O是坐标原点,A(1,1),A(1,1),若B(x,y)B(x,y)满足(mnz)(mnz) ，则 取最小值时, , 点B B的个数 （ ） A.1 B.2 C.3 D. A.1 B.2 C.3 D.无数个解析 点B B（x,yx,y）满足(mnz)(mnz)画出可行域如图阴影部分, ,又A(1,1),A(1,1),B(x,y),B(x,y),令 =x+y=t =x+y=t，则由t t得几何意义可知，当过圆中B1B1、B2B2两点时，t t的值最小，此时tmin=3,

5、tmin=3,所以 取最小值时, ,点B B的个数为2.2.2121012222yxyxyxOBOAOBOAOBOA2121012222yxyxyxB B第5页/共40页第五页，共40页。题型一 等与不等的转化(zhunhu)(zhunhu)与化归【例1 1】若a a、b b是正数，且满足ab=a+b+3ab=a+b+3，求abab的取 值范围. .解 方法一（看成函数的值域）ab=a+b+3ab=a+b+3，即a a1 1或a a-3,-3,又a a0,0,aa1,1,故a-1a-10.0.当且仅当 , ,即a=3a=3时取等号. .NoImage,013,0, 13aabaab而9514)

6、 1(14) 1( 5) 1(132aaaaaaaaab141aa第6页/共40页第六页，共40页。又a a3 3时， 是关于a a的单调增函数. .abab的取值范围是9 9，+）. .方法(fngf)(fngf)二（看成不等式的解集） a a，b b为正数， ab9.ab9.【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法(fngf)(fngf)，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题. ., )( 13,032)(.32,3,22舍去或解得即又ababababababbaababba514)1(aa第7页/共40页第七页，共40页。变式训练1 1

7、已知三实数a,b,ca,b,c成等比数列(dn b sh li),(dn b sh li),且a+b+c=ma+b+c=m(m(m是正常数) )，求b b的取值范围. .解 方法一 设三个实数为 由a+b+c=m,a+b+c=m,得 ,bxbxb.3, 00 ,030, 0,111311,21,0; 21,0.11,)11 (mmbbmmbmxxxxxxxxxxxxmbmxxb即或所以又或从而时当时当从而第8页/共40页第八页，共40页。方法二 因为a,b,ca,b,c成等比数列，所以(suy)b2=ac,(suy)b2=ac,又a+b+c=m,a+b+c=m,所以(suy)(suy)则a a

8、、c c是关于x x的方程x2-(m-b)x+b2=0 x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根, ,所以(suy)=(suy)=-(m-b)-(m-b)2-4b20,2-4b20,2bacbmca3, 00 ,0),0(3,mmbbmmbm所以又解之得第9页/共40页第九页，共40页。题型二 正与反的转化与化归【例2 2】试求常数m m的范围, ,使曲线y=x2y=x2的所有弦都不 能被直线(zhxin)y=m(x-3)(zhxin)y=m(x-3)垂直平分. .解 由题意可知，m0m0，所以设抛物线上两点 关于直线(zhxin)y=m(x-3)(zhxin)y=m(x-3)对称，于是有：)

9、,( , ),(222211xxxx:,1613)(21)(21221212221212221212221得消去所以xmxxxxmxxmxxxxxxmxx第10页/共40页第十页，共40页。因为(yn wi)(yn wi)存在x1Rx1R使上式恒成立，即12m3+2m2+112m3+2m2+10,0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)(2m+1)(6m2-2m+1)0.0.因为(yn wi)6m2-2m+1(yn wi)6m2-2m+10 0恒成立, ,所以2m+12m+10,0,所以 . .即当 时, ,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)y=m(x-3)对称. .所以当 时, ,曲线

10、y=x2y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)y=m(x-3)垂直平分. .0) 161(24)2(22mmm21m21m21m.0161222121mmxmx第11页/共40页第十一页，共40页。【探究拓展】在进行正与反的转化时, ,一定要搞清楚 问题的反面是什么, ,就本题(bnt)(bnt)而言, ,它的反面是“至少 存在一条弦能被直线y=m(x-3)y=m(x-3)垂直平分”,”,进而将 问题转化成对称问题, ,在解答问题时, ,正难则反是转 化的一种有效手段. .变式训练2 2 已知a a、b b、c(0,1),c(0,1),求证:(1-a)b,:(1-a)b, (1-b)c,

11、(1-c)a (1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . .证明 “ “不能同时大于 ” ”包含多种情形, ,不易直 接证明, ,可用反证法证明. . 假设三式同时大于 ， 414141,41)1 ( ,41)1 ( ,41)1 (accbba第12页/共40页第十二页，共40页。aa、b b、c(0,1),c(0,1),三式同向相乘(xin chn)(xin chn)得(1-a)b(1-b)c(1-c)a(1-a)b(1-b)c(1-c)a . .这与假设矛盾，故原命题正确. . 641,641)1()1()1(,41)1( ,41)1(,41)21()1(2ccbbaaccbbaaaa同理

12、又第13页/共40页第十三页，共40页。题型三 以换元为手段的转化(zhunhu)(zhunhu)与化归【例3 3】已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2xf(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值为g(a).g(a).(1)(1)求g(a)g(a)的表达式；(2)(2)若g(a)= ,g(a)= ,求实数a a的值, ,并求此时f(x)f(x)的最大值. .解（1 1）因f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 令t=cos x,t=cos x,则-1t1, -1t1, 21,122)2(cos222a

13、aax.)2(41)22( 122)2( 1)()1 , 1( 122)2(2)(222aaaaaaagtaaatth则且原函数为第14页/共40页第十四页，共40页。(2)(2)由题意分析得: :只有 一种情况，所以(suy)(suy)令 , ,其中-2-2a a2,2,解得a=-1,a=-1,此时 , ,所以(suy)(suy)当cos x=1,cos x=1,即x=2k (kZ)x=2k (kZ)时，函数f(x)f(x)的最大值为5.5.【探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题, ,应特别注意换元后t-1,1,t-1,1,应讨论二次函数的对称轴与区间-1,1-1,1的位

14、置关系, ,才能快速、准确解答此题. .211222aa211222aa21)21(cos2)(2xxf第15页/共40页第十五页，共40页。变式训练(xnlin)3 (xnlin)3 求函数 的最大值和最小值. .解 设t=sin x+cos xt=sin x+cos x Z ZZ Zxxxxxfcossin1cossin)(.212)(,)(432;212)(,)(42,. ) 12,2(21121)(,21cossin,2,2)4sin(2minmax22xfkkxxfkkxttttttgtxxx时当时当解得且则原函数可化为则第16页/共40页第十六页，共40页。题型四 常量与变量的转化

15、与化归【例4 4】设f(x)f(x)是定义(dngy)(dngy)在R R上的单调递增函数，若 f(-1-ax-x2)f(-2-a) f(-1-ax-x2)f(-2-a)对任意a-1,1a-1,1恒成立， 求实数x x的取值范围. . 解 由题意知,-1-ax-x2-2-a,-1-ax-x2-2-a, 即(1-x)a-x2+10,(1-x)a-x2+10,令g(a)=(1-x)a-x2+1,g(a)=(1-x)a-x2+1, 所以原不等式等价于 解得x(-,-21,+)x(-,-21,+)， 所以实数x x的取值范围是(-,-21,+). (-,-21,+). ,0)1 (0)1(gg,020

16、22xxxx即第17页/共40页第十七页，共40页。【探究拓展】 在解答这类问题时, ,往往是通过变换主元的方式(fngsh)(fngsh)，转换思维方式(fngsh)(fngsh)从而使问题的解答变得简洁、明快. .变式训练4 4 已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a a为正整数，问a a取何值时此方程至少有一个整数根. .解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7(x2+4x+4)a=2x+7，x=-2x=-2不是原方程的解，又aa为正整数， 即x2+2x-30 x2+2x-30，.)2(722xxa,1)2(722xx第18页/

17、共40页第十八页，共40页。解得-3x1.-3x1.又xx是整数且x-2,x-2,x=-3,-1,0,1,x=-3,-1,0,1,把它们分别代入原方程得又因为(yn wi)a(yn wi)a为正常数，故当a=1a=1或a=5a=5时, ,原方程至少有一个整数根. .,11,470,51,13axaxaxax第19页/共40页第十九页，共40页。【考题再现】 已知奇函数f(x)f(x)的定义域为实数集R,R,且f(x)f(x)在0,0, +) +)上是增函数, ,当 时, ,是否存在这样(zhyng)(zhyng)的实 数 m, m,使 对所有 的 均成立? ?若存在, ,求出所有适合条件的实

18、数m;m;若不存在, ,请说明理由. .202, 0)0()cos24()32(cosfmmff第20页/共40页第二十页，共40页。【解题(ji t)(ji t)示范】 解 由f(x)f(x)是R R上的奇函数可得f(0)=0,f(0)=0,再利用f(x)f(x)的单 调性, ,则可把原不等式转化为关于 的三角不等式. . f(x) f(x)在R R上为奇函数, ,又在0,+)0,+)上是增函数, ,故 f(x) f(x)在R R上为增函数, ,且f(0)=0.f(0)=0. 2 2分由题设条件可得, ,又由f(x)f(x)为奇函数, ,可得 4 4分f(x)f(x)在R R上为增函数, 6

19、 6分.0)cos24()32(cosmmff,4cos232cosmm.022coscos2mm即. )4cos2() 32(cosmmff第21页/共40页第二十一页，共40页。令 0t1. 0t1.于是问题转化为对一切0t1,0t1,不等式t2-mt+2m-2t2-mt+2m-20 0恒成立(chngl).(chngl). 8 8分t2-2t2-2m(t-2),m(t-2),即又 10 10分 11 11分存在实数m m满足题设的条件, 12, 12分.222恒成立ttm,224422) 2(222tttt224m.224m,20,cost第22页/共40页第二十二页，共40页。转化思想

20、方法包含三个基本要素：1.1.把什么东西转化, ,即转化的对象；2.2.转化到何处去, ,即转化的目标；3.3.如何进行转化, ,即转化的方法. .转化思想方法应遵循以下五条原则：1.1.熟悉化原则: :将陌生(mshng)(mshng)等问题转化成熟悉的问题, ,以利 于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决. .2.2.简单化原则: :将复杂问题转化成简单问题, ,通过对简 单问题的解决, ,达到解决复杂问题的目的, ,或获得某 种解题的启示和依据. .第23页/共40页第二十三页，共40页。3.3.和谐化原则: :转化问题的条件或结论, ,使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式

21、, ,或者转化 命题, ,使其推演(tuyn)(tuyn)有利于运用某种数学方法或符合人们 的思维规律. .4.4.直观化原则: :将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决. .5.5.正难则反原则: :当问题正面讨论遇到困难时, ,应想到 考虑问题的反面, ,设法从问题的反面去探求, ,是问题 获得解决，或证明问题的可能性. . 第24页/共40页第二十四页，共40页。一、选择题1.1.已知向量a=(1,1),b=(x,-1),a=(1,1),b=(x,-1),若a a与b b所成的角不是 锐角，则x x的取值范围是 （ ） A.(-,1) B.(-,1 A.(-,1) B.(-,1 C

22、.(-1,1 D.(1,+) C.(-1,1 D.(1,+)解析 假设(jish)a(jish)a与b b所成的角是锐角， 则 得x x1,1, 所以a a与b b所成的角不是锐角时， x x的取值范围是（-,1-,1. . , 0121|cos2xxbabaB B第25页/共40页第二十五页，共40页。2.2.已知a ab bc,a+b+c=0,c,a+b+c=0,当0 0 x x1 1时, ,代数式ax2+bxax2+bx+c+c的值是 （ ） A. A.正数 B. B.负数(fsh)(fsh) C.0 D. C.0 D.介于-1-1到0 0之间解析 由a ab bc,a+b+c=0c,a

23、+b+c=0知a a0,c0,c0,0,令f(x)=ax2+bx+c,f(x)=ax2+bx+c, 则f(0)=cf(0)=c0,f(1)=a+b+c=0,0,f(1)=a+b+c=0, 设m m是f(x)=0f(x)=0的另一根， 则 所以在区间(0,1)(0,1)上,f(x)=ax2+bx+c0. ,f(x)=ax2+bx+cb0) (ab0)的左、右焦点分别(fnbi)(fnbi)为 F1 F1、F2,PF2,P为椭圆上的一点, ,且|PF1|PF2|PF1|PF2|的最大值 的取值范围是2c2,3c2,2c2,3c2,其中 则椭圆的离心 率的取值范围为 （ ） A. B. A. B.

24、C. D. C. D. 12222byax22bac22,331 ,221 ,3321,31第31页/共40页第三十一页，共40页。解析 因为(yn wi)|PF1|+|PF2|=2a(yn wi)|PF1|+|PF2|=2a， 即(|PF1|PF2|)max=a2(|PF1|PF2|)max=a2，所以2c2a23c2,2c2a23c2, 答案 A A,)2|(|222121aPFPFPFPF.2233,213122aceac则第32页/共40页第三十二页，共40页。二、填空题7. =_.7. =_.解析(ji x) (ji x) 原式= =。20cos40cos20sin40sin)103

25、0(cos)1030(cos)1030sin()1030sin(。.310sin30sin210sin30cos2。3第33页/共40页第三十三页，共40页。8.8.已知a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,则x2+y2x2+y2的最小 值为_._.解析 由题意(t y)(t y)可设 则 所以 即x2+y2=r2=x2+y2=r2=,sincos,sin2cos2ryrxba,)cos(3r.9)(cos929,6sinsin2coscos2rr第34页/共40页第三十四页，共40页。9.9.直线y=x-3y=x-3与抛物线y2=

26、4xy2=4x交于A A、B B两点并向抛物线 的准线作垂线. .垂足分别为D D、C C，则梯形ABCDABCD的面 积为_._.解析(ji x) (ji x) 由 得x2-10 x+9=0,x2-10 x+9=0, 解得x1=9,x2=1,x1=9,x2=1,如图， 梯形面积 S= (|AD|+|BC|)|CD| S= (|AD|+|BC|)|CD| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (9+1+2)2(3+1)=48. = (9+1+2)2(3+1)=48. ,432xyxy2121214848第35页/共40页第三十五页，共40页。10.10.已知函数f(x)f(x)满足(mnz)f(1)=2, (mnz)f(1)=2, 则f(1)ff(1)f（2 2）ff（2 0092 009）=_.=_.解析 由题意得， 所以f(x)f(x)是以4 4为周期的函数， 且f(1)f(2)f(3)f(4)=1f(1)f(2)f(3)f(4)=1， 所以f(1)f(2)f(2 009)f(1)f(2)f(2 009) =1502f(2 009) =1502f(2 009) =f(502 =f(5024+1)=f(1)=2. 4+1)=f(1)=2. ,)(1)(1) 1(xfxfxf,213131) 3 (, 32121) 2(