第四章矩阵分解4.3的奇异值

1、第四章矩阵分解æ a11a12 a22Mam 2a1n a2nMöLLçç a21ç÷÷÷Mç÷è am1amn øL§4.3矩阵的奇异值r(AHA) = r(AAH) = r(AH) = r(A)2第四章 矩阵分解§4.3引理 1A Î Cm´n , 都有对于任何一个矩阵r( AAH ) = r( AH A) = r( AH ) = r( A).与方程组 Ax = 0 同解.因为方程组 AH Ax = 0证明若 Ax = 0, 则 A

2、H Ax = 0. 反之, 若 AH Ax = 0,事实上,则 xH AH Ax = 0, 即( Ax)H Ax = 0,从而 Ax = 0. 故同解.因此, r( AH A) = r( A).而r( AH ) = r( A),故r( AAH ) = r( AH ) = r( A).3A Î Cm´n , 有引理 2对于任何一个矩阵AHA 与 AAH 都是半正定的Hermite 矩阵.xHAHAx = (Ax)H(Ax) ³ 0, 对"x Î Cn´1 .证明设 A Î Cm´n , 是 AAH 的特征值, 是AH

3、A 的特征值,i³ L ³ lr³ L ³ mrir³ l2³ m2l1m1> lr +1> mr +1= L = lm= L = mn= 0,= 0.且设4设 A Î Cm´n , 是AHA 的特征值, 是 AAH 的特征值,iril1 ³ L ³ lr> lr +1> mr +1= L = lm = 0,= L = mn = 0.设m1 ³ L ³ mr设 A Î Cm´n , 则 l= m> 0 (i = 1,L, r

4、).定理 4.3.1iir证明:由AAH x = l x, ¹ 0,iii是AAH的也是AHA的特征值.AH AAH x = l AH x,即,i同理,i是AHA 的也是AAH的特征值. 设 x1 ,L, xp 是AAH的HH则Ax ,L, Ax是对应 的线性无关的特征向量.1piAHA 的对应i 的特征向量. 可证其线性无关.即AAH的 p重特征值也是的AHA的 p重特征值.同理故li = mi (i = 1,L, r ).AHA的p重也是AAH的p重特征值.5且l= mi > 0 (i = 1,L, r )称m´n r定义 4.3.1设 A Î C,i为

5、 AAH (AHA)的正特征值,ai =li =mi , i = 1,L, r为A的(正)奇异值.例求下列矩阵的奇异值:æ 12öæ 50000öæ 12ö= ç 0÷æ 1000ö = ç 0÷0(1) A = ç÷0÷÷0AAH÷ç 2ç 0çç÷00÷èøç 0ç 00÷ç 00÷2 

6、2;øèøèøæ 1öç÷ = æ 100ö2ö,æ 1解 因AA = ç20÷ç 2÷4| lE - AA |H÷ç 00H0è- 2l - 4øç 0èø0÷èøl - 1- 2l (l - 5),=故A的(正)奇异值为=5.- 10(2) B = æ 01ö.ç÷è 20&

7、#248;6定理 4.3.2 若A是正规矩阵,特征值的模.则A的奇异值是A的非零由A 正规,则存在酉矩阵U,证明使æ l1öæ l1öç= U÷÷A = U ç÷AHHU,çH则OU,çO÷ç÷ç÷llèøè n øæ l1l1nöç÷= U ççAAH÷U H ,故O÷l lènn ø即AAH的特

8、征值为l1 l1 ,L,ln ln .7a³ L ³ ar 是A 的r个奇异值,m´n设 A Î C定理 4.3.1,1r则 (1)$U Î U m´m , V Î U n´n , 使æa1O öaç÷æö1= U æ Dç÷öA = U çO÷V Hç÷OV, D =HOç÷ççè O÷÷O øaèøç÷arèr ø称其为A的奇异值分解.æa1öç÷(2