结构力学力法

1、1、超静定结构的组成、超静定结构的组成静力特征：静力特征：几何特征：几何特征： 要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束力，一旦求出它们，就变要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。EI 超静定结构的特点超静定结构的特点具有几何不变性、而又有多余约束的结构具有几何不变性、而又有多余约束的结构反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。 （1）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定）结构的

2、反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定（2）荷载，支座移动、温度改变、制造误差等均引起内力。）荷载，支座移动、温度改变、制造误差等均引起内力。（3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。(4) 内力分布均匀内力分布均匀 , 抵抗破坏的能力强抵抗破坏的能力强超静定结构的类型超静定结构的类型 关于超静定结构的几点说明关于超静定结构的几点说明 （1）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。（2）内部有多余联系亦是超静定结构。）内部有多余联系亦是超静定结构。（3）超静定结构去掉多余联系后，就成为静定结构

3、。）超静定结构去掉多余联系后，就成为静定结构。（4）超静定结构应用广泛。）超静定结构应用广泛。 （1）超静定梁）超静定梁（2）超静定刚架）超静定刚架（3）超静定桁架）超静定桁架（4）超静定拱）超静定拱（5）超静定组合结构）超静定组合结构s1 1）由）由计算自由度计算自由度 确定确定WWn2 2）去）去约束约束法法 1)35243()23(rhmWn将多余约束去掉，使原结构转化为将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构静定结构。 2、超静定次数、超静定次数切断一根链杆等于去掉一个约束切断一根链杆等于去掉一个约束FP FQ1X1X2X2X2次超静定次超静定去掉一个单铰等于去掉两个约束去掉一个单铰等于

4、去掉两个约束FP1X1X2X2X3X3X3次超静定次超静定切断一根梁式杆等于去掉三个约束切断一根梁式杆等于去掉三个约束1次超静定次超静定1X1XFP 4 4次超静定次超静定P P1 1次超静定次超静定在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束1X1X4X1X1X2X2X3X3X（1 1）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个约束。）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个约束。 （2 2）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个约束。）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个约束。（3 3）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个约束。）去掉一

5、个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个约束。 （4 4）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于去掉一个约束。）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于去掉一个约束。确定超静定次数方法确定超静定次数方法确定超静定次数时应注意的问题确定超静定次数时应注意的问题（1 1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。 （2 2）去掉多余约束的方法有多种，但所得到的必须是几何不变体系；几何）去掉多余约束的方法有多种，但所得到的必须是几何不变体系；几何可变、瞬变均不可以。可变、瞬变均不可以。22qlql1EI1XP11X111、基本思路、基

6、本思路（a）（b）（c）（d）011p1（e）1X1111X11MPM 力法基本结构力法基本结构悬臂梁悬臂梁 力法基本未知量力法基本未知量1X 力法基本方程力法基本方程 11111X0XP1111 系数与自由项系数与自由项11P1,EI8qldxEIMM4P1P1EI3ldxEIMM31111 解方程解方程0EI8qlXEI3l413ql83X1qql1X1lqq22qlql83X1 绘内力图绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）（以弯矩图为例，采用两种方法）8ql2MPM1MPMXMM11q1X58qlq1X216ql28ql基本体系有多种选择；基本体系有多种选择；0XP11111Xp11X

7、111X832ql1Xq1EIFPFP1X2X 基本基本结构：结构： 悬臂刚架悬臂刚架 基本未知力：基本未知力： 12,XXFPP1P21X11121 基本方程：基本方程：00210022221211212111PPXXXX2212 系数与自由项：系数与自由项： 解力法方程：解力法方程：12,XX 求内力：求内力：P2211MXMXMM2、多次超静定结构的计算、多次超静定结构的计算1X22X同一结构可以选取不同的基本体系同一结构可以选取不同的基本体系00210022221211212111PPXXXXFP1X1XFPFP2X1XFP1Xn 次超静定结构次超静定结构0X.XX.0X.XX0X.X

8、XnPnnn22n11nP2nn2222121nPnn12121111）,iPij的物理意义；的物理意义；2）由位移互等定理）由位移互等定理jiij；3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ij4）柔度系数及其性质）柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.主系数主系数0ii副系数副系数000ij5) 最后内力最后内力Pnn2211MXM.XMXMMij位移的地点位移的地点产生位移的原因产生位移的原因111q 计算超静定刚架和排架位移时，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯计算超静定刚架和排架位移时

9、，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯矩的影响，使计算简化。矩的影响，使计算简化。例：例：求图示刚架求图示刚架 M 图图。已知。已知EI为常数为常数1、力法方程、力法方程MP图图原结构原结构ABC l lqq基本基本体系体系CABX2CABX1=1CACAB82qlM1图图M2图图X2=10022221211212111PPXXXX2、求系数和自由项、求系数和自由项EIqlqllEIP24218132132102PEIllEI32)322(211X1EIl3221CABM2图图X2=1EIllEI6)312(12112将求得的系数代入力法方程就得到：将求得的系数代入力法方程就得到：解方程得：解方

10、程得：024632321EIqlXEIlXEIl03621XEIlXEIl21141qlX22281qlX 3、解方程求出多余力、解方程求出多余力11CAM1图图X1=1M图图2565ql2141ql2281ql力法力法的基本体系不是唯一的的基本体系不是唯一的!瞬变体系不能作为力瞬变体系不能作为力法的基本体系法的基本体系原结构原结构ABC l lq作业：作业：6-2 （a）（d）6-3（a）例：例：试用力法解图示刚架。试用力法解图示刚架。基本基本结构结构X1X2原结构原结构llEIEIEIqEIEIEIqX1=1llM1图图1111221211222200PPXXXXlM2图图ll311125

11、() 2()233lllllllEIEI 322124()233lllllllEIEI 312211()22lllllllEIEI 1、力法方程：、力法方程：2、系数和自、系数和自由项的计算：由项的计算：X2=13、解方程求出多余力：、解方程求出多余力：X1=1llM1图图MP图图lM2图图ll2241115()()322212pqlqllqllllEIEI 2046. 0ql22ql22ql3242135()()()6428pqllqlqlllEIEI 1212PMM XM XM4、作最后内力图：、作最后内力图：(M图图)150.05788Xqlql21350.511264Xqlql281q

12、l20.057ql2011. 0qlM图图ABCE3 m3 mD 10 kN/m3 mEI=常数ABD10 kN/mEX1EI=常数C0p1111X 例例: :用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。解解: :( (1) )确定超静定次数、选择基本体系。确定超静定次数、选择基本体系。原结构原结构基本体系基本体系（2 2）列出力法典型方程）列出力法典型方程（a）( (3) )计算系数及自由项。作计算系数及自由项。作 、 图图pM1MABCDE11111M1X1=1ABCEDMP(kN m)22.522.511.510 kN/mEIEIEIEIEI9

13、04545125.113322225321121325 .223211p1EIEI811621321321111( (4) )解方程求未知力。解方程求未知力。将将 与与 代入式（代入式（a a），），消去公因子消去公因子 ，得，得11P1EI1解此方程得解此方程得( (5) )求作弯矩图。求作弯矩图。p11MXMMm)(kN 52 .115 .22)890(1P11MXMMDA（左侧受拉）（左侧受拉）m)(kN 52 .115 .228901EBM（右侧受拉）（右侧受拉）09081X（下侧受拉）（下侧受拉） kN25.118901X（ ）AB14.1CM(kN m)3m3m3mED11.251

14、1.25ABCDE11111M1X1=1ABCEDMP(kN m)22.522.511.510 kN/m25.11AB14.1CM(kN m)3m3m3mED11.2511.25由由 , ,得支座得支座B 的竖向反力为的竖向反力为7.5 kN（ ）。）。 kN 5 . 7QECF( (6) )作剪力图。作剪力图。利用利用BE 杆力偶系平衡条件得杆力偶系平衡条件得同理同理(kN) 57 . 3325.11QQBEEBFF(kN) 57 . 3QQADDAFF(kN) 5 . 73225.11QECF 支座支座A 的竖向反力为的竖向反力为22.5kN（ ），），杆杆DC 的的D 端剪力应等于端剪力

15、应等于kN 22.5QDCF(7) 作轴力图。作轴力图。根据根据最后剪力图可最后剪力图可作出最后轴力图。作出最后轴力图。ABDE22.57.53.753.75Fs(kN)ABDEFN22.53.757.5(kN)25.11钢钢 排排 架架工程实例：工程实例：排架结构排架结构排架计算简图：排架计算简图：E1I1E2I2E1I1E2I2EA J 柱子固定于基础顶面，横梁（或屋架）与柱顶铰接。柱子固定于基础顶面，横梁（或屋架）与柱顶铰接。 不考虑横梁（或屋架）的轴向变形。不考虑横梁（或屋架）的轴向变形。 不考虑空间作用。不考虑空间作用。排架结构的特点：排架结构的特点： 排架结构求解时，主要分析柱子，

16、通常切断链杆得到力法基本结构。这排架结构求解时，主要分析柱子，通常切断链杆得到力法基本结构。这样，样，MP 图和图和 图局部化，求解力法方程系数比较简单。图局部化，求解力法方程系数比较简单。1M例：例：如如图示两跨厂房排架计算简图，求吊车荷载作用下的内力，作图示两跨厂房排架计算简图，求吊车荷载作用下的内力，作M 图。图。原结构原结构4.65m2.16.75m2.6mEA EA IS1IX1IS2IX2FPEFPHMEMH17.643.244444444112210.1 1028.6 1016.1 1081.8 10SXSXIcmIcmIcmIcm12.831.598.1相对值相对值X1X2基本

17、体系基本体系解：解：1、基本、基本结构结构和力法方程和力法方程1111221211222200PPXXXX力法方程的物理意义：力法方程的物理意义：横梁切口左右截面相对水平位移等于零。横梁切口左右截面相对水平位移等于零。资料：资料： 柱截面惯性矩：柱截面惯性矩：左柱上段左柱上段 IS1，下段，下段 IX1。 右柱及中柱上段右柱及中柱上段 IS2，下段，下段 IX2左。左。 右跨吊车荷载：右跨吊车荷载：FPH = 108 kN，FPE = 43.9 kN，偏心距，偏心距 e = 0.4 m。因。因此在此在 H、E 点的力矩荷载为点的力矩荷载为 MH = 43.2 kNm，ME = 17.6 kNm

18、。(1)(2.83)(1.59)(8.1)(1.59)(8.1)17.643.2X2 =1(1)(2.83)(1.59)(8.1)MP 图（图（kN m）X1 =1(1)(2.83)(1.59)(8.1)9.359.352.62.62.12、求系数和自由项、求系数和自由项M1 图（图（m）M2 图（图（m）331128.12.69.35173.28.11.5933332212.832.16.7512.83133316.7538.22 12.6650.98.132122116.752 9.352.6208.1233 112.69.356.7543.2 17.63038.12P6.756.7517

19、.643.2(8.1)(8.1)4、作、作M 图图M 图（图（kN m）PPMMMMXMXMM21221173. 033. 4121273.22030302050.949.50XXXX124.330.73XkNXkN3、求多余未知力、求多余未知力1122122173.250.920 1303P2216.7517.649.58.12P 4.9186.311.311.331.92.730kN一、超静定桁架一、超静定桁架FP=30kNX1FP=30kN基本基本结构结构(1)33= 9 m3 m(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)X1 =111-0.700-0.7000-10-14

20、10201030-14-2820例例6-3：求图示超静定桁架各杆的轴力，各杆截面面积在表求图示超静定桁架各杆的轴力，各杆截面面积在表6-1中给出。中给出。根据基本根据基本结构结构求得各杆求得各杆 及及FNP 标于图中。标于图中。1NF解解:FNP 图图图图1NF桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项，只考虑轴力的影响。桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项，只考虑轴力的影响。-0.7-0.7102030kN12.1-18.5-141011.51.521.5-1.9-28201、基本体系和力法方程、基本体系和力法方程0XP11112、系数与自由项、系数与自由项4、桁架各杆轴力按下式计算：

21、、桁架各杆轴力按下式计算：NPNNFXFF11思考：思考：若取右图示的基本体系，若取右图示的基本体系， 力法方程有没有变化力法方程有没有变化?力法方程：力法方程：?1111PXPX1111132XEAFP=30kN基本体系基本体系X1X121111()89.5NFlcmEAE111082/NNPpFF lkN cmEAE 3、求多余未知力、求多余未知力1111108212.189.5PXkN 二、组合结构二、组合结构 组合结构中既有组合结构中既有梁式杆梁式杆，又有只受轴力作用的，又有只受轴力作用的链杆链杆。梁式杆的任一截面。梁式杆的任一截面有弯矩、剪力和轴力作用。有弯矩、剪力和轴力作用。0.8

22、m3 kN/m2.975m2.975mCEBDAF1.225m1.75m1.75m1.225m110 kN110 kN3 kN/mCEBDAF1.225m1.75m1.75m1.225m110 kN110 kNX1CEBDAFX1 =11.491.930.61例例6-4：求解图示加劲梁。横梁求解图示加劲梁。横梁AD的的 。4261.4 10 kN m ,1.99 10EIEAkN链杆链杆AC和和CD的的 。链杆。链杆BC的的 。52.56 10EAkN52.02 10EAkN解：解：取基本体系如图取基本体系如图 (b) 示。示。力法方程：力法方程：01111PX M 1 ，FN 2211112

23、22465521.492.9742 1.491.865.951.933.0910.82231.4 101.99 102.56 102.02 10NMFldxEIEA114125 1.49120.6113.252.9752135 1.225238231.4 10PPM MdxEI1.225m1.75m1.75m1.225m110 kN110 kNCEBDAF3 kN/mCEBDAF134.75 134.75 8.6813.258.68110.000419/m kN41135 1.750.04381.4 10m10.0438104.50.000419/mXkNm kN 求多余未知力：求多余未知力：

24、CBDA79.9 79.9 7.5 CBDA-104.5202-195-195202求内力：求内力：PN11NNP11,FXFFMXMMFN （kN）M 图（图（kN m） CEBDAFX1 =11.491.930.61M 1 ，FN 当下部链杆的截面很大，则横梁的当下部链杆的截面很大，则横梁的M图接近于两跨连续梁的图接近于两跨连续梁的M图。图。为使横为使横梁受力有利，可考虑梁受力有利，可考虑梁内正、负弯矩值相等，可调整链杆截面。梁内正、负弯矩值相等，可调整链杆截面。当上部链杆的截面很小，则横梁的当上部链杆的截面很小，则横梁的M图接近于简支梁的图接近于简支梁的M图。图。讨论：讨论：0.0.0.

25、22112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX1、对称结构、对称结构对称对称的含义：的含义： 结构的几何形状和支座情况对某轴对称；结构的几何形状和支座情况对某轴对称； 杆件截面和材料（杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。）也对称。1I1I2I2X2X3X3X1X1X2、利用对称性简化力法计算、利用对称性简化力法计算对称力：对称力：X1、X2 ；反对称力：反对称力：X3 。1X21X11M2M3M000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX000333322221211212111PPPXXXXXPM PM1

26、X3F0.5F0.5F0.5F0.5F进一步讨论：进一步讨论：0022221211212111PPXXXX03333PX 正对称荷载正对称荷载 FPM0.5F0.5FPM 0.5F0.5F30P 反对称荷载反对称荷载 120,0PP1X21X11X3 正对称荷载正对称荷载 对称荷载作用下，反对称的对称荷载作用下，反对称的未知力必等于零，只需计算对称未知力必等于零，只需计算对称的未知力。对称轴截面只产生对的未知力。对称轴截面只产生对称的轴力和弯矩。称的轴力和弯矩。0022221211212111PPXXXX03333PXFPM0.5F0.5FPM 0.5F0.5F30P30X 反对称荷载反对称荷

27、载 反对称荷载作用下，对称的反对称荷载作用下，对称的未知力必等于零，只需计算反对未知力必等于零，只需计算反对称的未知力。对称轴截面只产生称的未知力。对称轴截面只产生反对称的剪力。反对称的剪力。120,0PP120,0XX2h2h2h1I1I2IFF/2F/2F/2F/2=+F/2F/21MPM例：例：试作图示对称刚架（跨度试作图示对称刚架（跨度l，高，高h）在水平力）在水平力F 作用下的弯矩图。作用下的弯矩图。1XF/211X 解：解：利用对称性简利用对称性简 化力法计算。化力法计算。0P1 111 X2111212111212222 2 23 2212l hll llhlEIEIEIEI基本

28、体系基本体系2Fh2Fh2h21111122224PFhlFh lhEIEIF/2 当横梁比立柱的当横梁比立柱的 I（截面）小很多时，即（截面）小很多时，即 K 很小时，此时柱顶弯矩趋向很小时，此时柱顶弯矩趋向 于零，则横梁的于零，则横梁的M图接近于简支梁的图接近于简支梁的M图。图。例例6-5：试作图示对称刚架（跨度试作图示对称刚架（跨度l，高，高h）在水平力）在水平力F 作用下的弯矩图。作用下的弯矩图。11661 2PkFhXkl PMXMM1121I hkI l设设讨讨 论：论： 当横梁比立柱的当横梁比立柱的 I（截面）大很多时，即（截面）大很多时，即 K 很大时，此时柱的弯矩零点很大时，

29、此时柱的弯矩零点 趋向于柱的中点。趋向于柱的中点。 一般情况下，柱的弯矩图有零点，此弯矩零点在柱上半部范围内变动，一般情况下，柱的弯矩图有零点，此弯矩零点在柱上半部范围内变动， 当当 k = 3 时，零点位置与柱中点已很接近。时，零点位置与柱中点已很接近。作弯矩图：作弯矩图：6614kFhkF62614kFhk3k 1I1I2I广义未知力的利用广义未知力的利用用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。1Y2Y1X1X2X2X1X21X20022221211212111PPXXXX同向位移之和同向位移之和反向位移之和反向位

30、移之和1X11X11111 2222 212211XXYXXYPMXMXMM2211练习练习6-2：如图示结构，讨论用力法简化计算。如图示结构，讨论用力法简化计算。 将荷载分解为对称荷载和反对称荷载。在对称结点荷载作用下，由于不将荷载分解为对称荷载和反对称荷载。在对称结点荷载作用下，由于不考虑杆件的轴向变形，其考虑杆件的轴向变形，其 M 等于零。在反对称结点荷载作用下，只有一个未等于零。在反对称结点荷载作用下，只有一个未知量知量X1。原结构原结构FPEIEIEIEI2EI2EI对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载FN= -FP /2FP /2FP /2FP /2FP /2EIEIEIEI2EI

31、2EIABEIEIEIEI2EI2EI0M II2I FII2I F/2F/2IF/2II2IF/2 F/2F/2II没有弯矩没有弯矩2个多余个多余约束约束练习练习6-2：如图示结构，讨论如图示结构，讨论利用对称性利用对称性简化计算。简化计算。赵州桥赵州桥拱结构广泛应用于实际工程建设中。拱结构广泛应用于实际工程建设中。X1lf01111PXdsEIMMPP11略去剪力的影响；略去剪力的影响；当当 f l / 3 时，时， 考考虑轴力的影响。虑轴力的影响。X1= 1221111NFMdsdsEIEAxyxy大跨度、大截面拱可忽略第二项。大跨度、大截面拱可忽略第二项。 只能积分，不能图乘。只能积分

32、，不能图乘。MP = M 0yM11cosNF 1列方程：列方程： 两铰拱两铰拱是一次是一次超静定结构。常选超静定结构。常选用用简支曲梁简支曲梁作基本作基本体系。体系。dsEIyMP01dsEAdsEIy2211cosHXP1111当当 f / l 1/ 4 时，可取时，可取 ds = dxy 与与 的计算的计算11NMMP在竖向荷载作用下在竖向荷载作用下HyMXMMM0110cossinoQQFFHsincosoNQFFH 计算特点：计算特点： 和和 只能积分；只能积分；H 推力由变形条件求得；推力由变形条件求得；111PH关于位移计算简化的讨论；关于位移计算简化的讨论；22211111NQ

33、MFk FdsdsdsEIEAGA通常可以略去通常可以略去FQ 。对于扁平拱，当对于扁平拱，当1110810NfhFll且时%不能忽略。不能忽略。lxy 带拉杆的两铰拱：带拉杆的两铰拱： 拱的支座（墙、柱）拱的支座（墙、柱）不再承担水平推力。不再承担水平推力。E、I、AE1、A1X1 =111NMMP01111PXdsEIMMPP11= 1P其中其中221001111111llNFldxdxE AE AE A111111lE A两类拱的比较：两类拱的比较： 无拉杆无拉杆111PHE1A1 HH 相当于无拉杆相当于无拉杆有拉杆有拉杆11111AElHPE1A1 00H简支曲梁简支曲梁适当加大适当

34、加大E1A1使使H*较大，可减小拱肋较大，可减小拱肋M。H求出后，计算内力公式与前面一样。求出后，计算内力公式与前面一样。222111111 1NNFFMdsdxEIEAE I222111111 1NNFFMdsdxEIEAE I222111111 1NNFFMdsdxEIEAE I例：例：如图所示为一抛物钱两铰拱，承受半跨均布荷载，试求其水平推力如图所示为一抛物钱两铰拱，承受半跨均布荷载，试求其水平推力H。设拱截面尺寸为常数，以设拱截面尺寸为常数，以A为原点，拱轴方程为为原点，拱轴方程为 。yflx lx42 忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；解：解： 位移的简化公

35、式：位移的简化公式： 两个简化假设：两个简化假设： 计算计算11，1P ：xyB f Al q 2l2l 当拱较平时（如当拱较平时（如 f / l 1 / 3）可近）可近似地取似地取 ds = dx，cos = 1。dxyEIl02111101loPyMdxEI 221120148()15lff lx lxdxEIlEI2310,282olxMqlxqxABCq 2116ql计算计算1P ，先求简支梁的弯矩，先求简支梁的弯矩 的方程。的方程。oM图图oM,()28olqlxlMlxABC211116PHqlFf 由力法方程可得由力法方程可得 作出作出 M 图。图。EIqfldxxlqlydxq

36、xqlxyEIlllP30)(8)2183(1322201211815f lEI2310,282olxMqlxqx,()28olqlxlMlx 求求H ：oHMMFy2164ql2164ql在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力通常是比较接近的。在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力通常是比较接近的。无无 铰铰 拱拱EI= 2X2X3X1X（a）（b）（c）利用对称性：利用对称性：000333322221211212111PPPXXXXX 当附加竖向刚臂长度变化时，就可能当附加竖向刚臂长度变化时，就可能使：使： 21 = 12 = 0000333322221111PPPXXX（b）

37、与（与（c）具有完全等效关系。具有完全等效关系。 此时将图（此时将图（c）在对称轴位置截断，对在对称轴位置截断，对于两对称内力：于两对称内力：X1 、X2 。 X1= 1作用下，作用下，基基本体系同侧受拉；本体系同侧受拉；X2 = 1 作作用下，用下，基本体系基本体系异侧受拉。异侧受拉。即得：即得：y 1X1X2X2Xxyydxy12X11Xxyy1y2NF2QF11M 10NF10QFyM22cos()cosNF2sin()sinQFdsEIy12x0另选座标另选座标yox则则dyydsEIddsEIydsEIdy112ydsEIddsEIydsEIdy112令令 12=0 则则dsEIds

38、EIyd11即：若取刚臂端点到即：若取刚臂端点到x轴轴距离为距离为 d，则则 12= 0 ，该点，该点称为弹性中心。称为弹性中心。形象解释形象解释（a）EIdsy。y（b）ydsEIydsEI11ddsEIdsEIyy1等截面时等截面时dsdsyd要点：要点：1、先计算、先计算d；2、将未知力放在弹性中心；、将未知力放在弹性中心； 3、独立方程，、独立方程， 22 考虑考虑FN2 。EI11X1Xxyydy x0y2X2X例、试确定图示园弧拱的弹性中心，例、试确定图示园弧拱的弹性中心，EI =常数，半径常数，半径R = 6.25m。xy2.5m00yxdsEIdsEIyd11cosRy Rdd

39、s 0000sin2cos2RRdRdRd8 . 025. 652/sin0Rl)(9273. 00radd = 5.39ml =10mRxyd = 5.39m111、支座移动时的计算、支座移动时的计算hlab1X2X1X11lhlh1RFhl1l12RFac1c2a111122121122220ccXXXX “c”基本方程的物理意义？基本方程的物理意义？ 基本结构在支座位移和基基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。与原结构的位移完全相等。bb1X2ccXXXX22221211212

40、1110R iicFc lhbablha1c1lbblc122211XMXMM 等号右端可以不等于零等号右端可以不等于零 自由项的意义自由项的意义 内力仅由多余未知力产生内力仅由多余未知力产生 内力与内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :1X11lhlh1RFhl1l11X212RF1ac1c2“c”b0.02m0.01mX1X2 建立力法方程。建立力法方程。111122133121122223323113223333000CCCXXXXXXXXX例例6-11： 试求图试求图 (a) 所示结构在支座位移作用下的弯矩图。所示结构在支座位移作用下的弯矩图。 解法一：解法一： 选择基本体

41、系。选择基本体系。3次超静定。次超静定。 5 m5 m(a)0.03rad(b) 基本体系基本体系X3X1=15m5mX2=15m 求系数和自由项，解方程求系数和自由项，解方程 3111253mEI3225003mEIM1 图图, FR1M2 图图, FR2312211252mEI15m5m1110.060.42代入方程，解得代入方程，解得123123MM XM XM XX1=15m15mM1 图图, FR1X2=15m5m15mM2 图图, FR21M3 图图, FR3X3=111(10.0250.03)0.13PiR iFCmmradm 3310EI21331252mEI22332752m

42、EI22( 10.0150.03)0.16PiR iFCmmradm 3( 10.03)0.03Pradrad 210.48125EIXm 220.06125EIXm 30X 作作弯矩图弯矩图。 M 图图 (EI/m)X1X2基本体系基本体系 建立力法方程。建立力法方程。1111221331211222233231132233330.020.010.03CCCXXXXXXXXX 解法二：解法二： 选择基本体系。选择基本体系。 X3X1=15mX2=15m 求系数和自由项求系数和自由项 3221253mEI3115003mEI5mM1 图图, FR1M2 图图, FR2312211252mEI1

43、1X3=1M3 图图, FR33310EI22332252mEI21331752mEI代入方程，解得代入方程，解得1230.480.060.42,12512525EIEIEIXXX 2、温度内力的计算、温度内力的计算1t1t2t1t1t2t1X2X1t1t2tt 1t20022221211212111ttXXXX 画出画出 图，图，计算系数和自由项。计算系数和自由项。 1212,NNMMFF itNMtt AAh 2211XMXMM 自由项的意义自由项的意义 内力仅由多余未知力产生内力仅由多余未知力产生 内力与内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :建立力法方程建立力法方程12,tt

44、计算自由项：计算自由项： 例例6-12：如如图示刚架，混凝土浇筑时温度为图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。，到冬季时室外温度为，到冬季时室外温度为-35 。,室内保持不变，求室内保持不变，求M 图。各杆图。各杆EI 相同，线膨胀系数为相同，线膨胀系数为。X1= 1X1661NF 温度改变值：温度改变值：Ct5015351Ct015152Ct50|050|Ct252/ )050(0 力法方程力法方程01111tX311161432(26 8 6)(144288)3EIEIEI 解：解： 求系数和自由项求系数和自由项基本体系基本体系400600-358 m6 m15 C-35-351,NMF-50

45、-50-50010( )501(26668)( 25)( 1)868000.62NttMdxtF dxh 1111680015.74()432tEIXEI 作弯矩图作弯矩图1XMM 当杆件有温差时，弯矩的当杆件有温差时，弯矩的受拉边出现在降温面受拉边出现在降温面，升温面产生压应力。，升温面产生压应力。94.494.4 求未知力求未知力M 图图 (EI)X1= 1661NF1,NMFX1基本体系基本体系-50-50-500 超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI 成正比。成正比。aa01t01t102t0t10

46、t110t21X1X1a例例6-12. 计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆EI 等于常数等于常数,矩形截面梁高矩形截面梁高为为h，材料温度胀缩系数为材料温度胀缩系数为 。1X11M11NF01111taaaahatEIa343111341521111haaEIXt11XMM 1、荷载作用、荷载作用 用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可

47、以在任选的基本体系上进行。进行。 对于某超静定结构，对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、支座移动）以及未知力支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。例例7-6：求梁中点竖向位移求梁中点竖向位移CV，EI为常数。为常数。解：解：1) 单位荷载加在原结构上单位荷载加在原结构上1A1ABl/2l/2C122ql122ql242qlCABM 图图A2l/8CABM 图图242253

48、() ()( )3 288 88 8384CVl qlllqlEIEIql/8l/8y1y22) 单位荷载加在基本体系单位荷载加在基本体系I上上1ABM图图122ql122ql242qlACBM 图图A1y1y2A22241252() ()()3 288 42 412( )384CVlqllllqlEIqlEI3）单位荷载加在基本体系）单位荷载加在基本体系II上上22qlX 1221qlX 基本体系基本体系 IIABCq基本体系基本体系IABC1221qlX 1221qlX q122ql122ql242qlCABM 图图y2A2CAM 图图A1y12241231() ()() ()( )3 2

49、88 22 122 2384CVlqlllqllqlEIEIl/41l/2112、支座移动、支座移动23EIlBA(b) M 图图图图 (a) 所示结构的所示结构的M 图已求出，见图图已求出，见图(b)。欲求截面。欲求截面B的转角的转角 。B1) 所取的基本体系无支座移动所取的基本体系无支座移动2113(1)1.52BMMEIdslEIEIll BAEI, l(a)BBAEI, l133EIXlBAM 图图2) 所取的基本体系有支座移动所取的基本体系有支座移动BAEI, l123EIXl21131111 ()1.5232RKBKMMdsFCEIEIlEIlllll B1B1BAM 图图1l1l3、温度变化、温度变化 如图所示结构的如图所示结构的 M 图已求出，见图图已求出，见图 (b)；欲求；欲求D 结点的水平位移结点的水平位移 。各。各杆杆EI、 相同。相同。DH(b) M图图94.4EI94.4EI则位移计算的公式为：则位移计算的公式为：0( )NDHMMtdsMdstF dsEIh 因为超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。如取图因为超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。如取图(c) 所所示基本体系求解超静定结构，则基本体系上作用有示基本体系求解超静定结构，则基本体系上作用有X1 及及温度变化温度变化两种因素。两种