有向曲面及曲面元素的投影PPT学习教案

1、会计学1有向曲面及曲面元素的投影有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 第1页/共61页观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧第2页/共61页n0M 设曲面设曲面 是光滑曲面，是光滑曲面， 是曲面上任一定点曲面是曲面上任一定点曲面0M 0M0M0Mn0Mn 在点在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择处有一条法线，它有两个可能的方向，选择其中之一为指定的法线方向，记为其中之一为指定的法线方向，记为

2、又设又设L是光滑是光滑曲面曲面 上过点上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从且不越过曲面边界的任意闭曲线，从而，当动点而，当动点M从从 出发沿闭曲线出发沿闭曲线L连续移动时，曲面连续移动时，曲面在点在点M的法线方向也随之连续变动若的法线方向也随之连续变动若M回到回到 时时得到的法线方向与得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面一致，则称光滑曲面 为双侧曲面为双侧曲面；若存在这样一条闭曲线，当点若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后沿这条闭曲线移动后再回到点再回到点 时得到的法线方向与时得到的法线方向与 相反，则称曲面相反，则称曲面为单侧曲面为单侧曲面第3页/共61页n曲面的分类曲面的分类

3、:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面第4页/共61页莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放第5页/共61页方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧侧的规定表示 :其方向用法向量指向 指定了侧的曲面叫有向曲面, 第6页/共61页曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :在有向曲面上取一小块在有向曲面上取一小块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS曲曲面面 S yxS)(在 xoy 面上的投影记

4、为,0)(yxyxS)(的面积为则规定类似可规定zxyzSS)( ,)(第7页/共61页实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量第8页/共61页( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(

5、给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo 第9页/共61页xyzo iS ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小块小块is ( (is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in第10页/共61页该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii

6、 coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv1第11页/共61页iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 3.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniii

7、iiSRSQSP 第12页/共61页定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面, ,函数在上有函数在上有界界, ,把分成把分成n块小曲面块小曲面iS ( (iS 同时又表示第同时又表示第i块小曲面的面积块小曲面的面积),),iS 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上任意取定的一点上任意取定的一点, ,如如果当各小块曲面的直径的最大值果当各小块曲面的直径的最大值0 时时, , nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称

8、也称第二类曲面积分第二类曲面积分) )三、概念及性质三、概念及性质第13页/共61页记作记作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 第14页/共61页设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫

9、做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积第15页/共61页引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd第16页/共61页存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑

10、曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 第17页/共61页性质性质: 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2第18页/共61页 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所

11、给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD, ,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续. . ),(yxfz xyDxyzoxyS)( 第19页/共61页 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即第20页/共61页,)()(, 0cos,

12、xyxyiS 取下侧取下侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .第21页/共61页例例 1 1 计算计算 xyzdxdy其中是球面其中是球面1222 zyx外侧外侧在在0, 0 yx的部分的部分. .解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222

13、yxz xyz2 1 第22页/共61页 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 第23页/共61页dxdyzdzdxydydzx222czbyaxzyx0 ,0 ,0| ),(第24页/共61页 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD, , 函函数数),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxR在在上上连连续续. .对对坐坐标标

14、的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodsn第25页/共61页有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 在点在点),(zyx处的单位法向量为处的单位法向量为 cos,cos,cos n, , .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 第26页/共61页对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所以所以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注意取曲面的两侧均成立注意取曲面的两侧均成立) )dSRQP

15、dxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系第27页/共61页向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos, nRQPA为为有向曲面上点有向曲面上点),(zyx处的单位法向量处的单位法向量, ,dxdydzdxdydzdSnSd 称 为称 为 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,nA为向量为向量A在在n上的投影上的投影. .第28页/共61页yxz111,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyx

16、dd)1(22n第29页/共61页例例 4 4 计算计算zdxdydydzxz )(2, ,其中是其中是旋转抛物面旋转抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及 2 z之间的部分的下侧之间的部分的下侧. . 解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2第30页/共61页 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 第31页/共61页六、小结

17、1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.b.“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”第32页/共61页莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:第33页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第34页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第35页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第36页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第37页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第3

18、8页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第39页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第40页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第41页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第42页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第43页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第44页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第45页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第46页/共61页典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第47页/共61页典型典型单

19、侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带第48页/共61页 4 第二曲面积分第二曲面积分第49页/共61页一.曲面的侧设一光滑曲面 的方程为其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为ss),(yxzz ),(yxzxyDDyzqxzp,1cos22qpp,1cos22qpq,11cos22qp 第50页/共61页由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对

20、而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光滑曲面S的方程为 或 ，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示),(zyxcos, 0coszz),(zxyy ),(zyxx ),(),(),(vuzzvuyyvuxx第51页/共61页的非闭的光滑曲面 ，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。 于是曲面的法线方向余弦为其中 还要假设 上无奇点，即 在任一点不同时为零。注意 都是在

21、内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。SUVS,cos222CBAA,cos222CBAB,cos222CBAC.,vvuuvvuuvvuuyxyxCxzxzBzyzyASCBA,cos,cos,cos第52页/共61页二、第二类曲面积分的定义 设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面 上的单位法向量 ，又设 是一个向量其中 都是连续函数。按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块 ， 在 内任取一点 ，作向量 ，再作和式 令 ，如果极限 存在，并且此极限与点 的选取无关，又与 的划分无关，则称它是 SS0n),(

22、zyxf,),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxfRQP,S), 2 , 1(niSiiS),(iiiiiiiiSnS),(0,),(1iniiiiSfiiS maxiniiiiSf),(lim10),(iiiS),(zyxf第53页/共61页性质即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于 又可将 写为其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有 ，当选取下侧时有 ，再如当曲面选取为右侧时有 ，当选取左侧有 ，等等。这时，第二类曲面积分可写为dSzyxfdSzyxfSS另一侧某侧),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxf),(),(),(),(d

23、SdxdykdzdxjdydzidSdxdykdzdxjdydzi和,dSXOYZOXYOZ和,0dydx0dydx0dzdx0dzdxdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdSzyxfSS),(),(),(),(第54页/共61页若记曲面的单位法向量 为则有0nkjincoscoscos0dSRQPdSnfss)coscoscos(0第55页/共61页三、两类曲面积分间的联系由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式或者 上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是第一类曲面积分。dSnfdSfss0ssdSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(第56页/共61页四、第二类曲面积分的计算计算第二类曲面积分 需视曲面 如何表示而定。1曲面 表示为若曲面 的方向选取为上侧，则 右端是一个二重积分。若曲面 的方向选取为下侧，则2 曲面 表示为 则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为sdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(SSxyDyxyxzz),(),(SsDxydxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(SSxyDsdxd