数学建模中综合评价模型改进学习教案

1、数学建模中综合评价数学建模中综合评价(pngji)模型改进模型改进第一页，共55页。第1页/共55页第二页，共55页。第2页/共55页第三页，共55页。 构成综合构成综合(zngh)(zngh)评价问题的五个要素分别为评价问题的五个要素分别为: :被评价被评价对象、评价指标、权重系数、综合对象、评价指标、权重系数、综合(zngh)(zngh)评价模型和评价评价模型和评价者。者。2 2、 构成综合构成综合(zngh)(zngh)评价问题的五个要素评价问题的五个要素 第3页/共55页第四页，共55页。 （2）评价指标）评价指标 评价指标是反映被评价对象评价指标是反映被评价对象(或系统或系统(xtn

2、g)的运行的运行(或发展或发展)状况的状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统同的侧面刻画系统(xtng)所具有某种特征大小的一个度量。所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统个分量就是从一个侧面反映系统(xtng)的状态，即称为综合评价的的状态，即称为综合评价的指标体系。指标体系。 第4页/共55页第五页，共55页。 注意到注意到: :当各被评价对象和评价指标值都确

3、定以后，当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数(xsh)(xsh)的的取值了，即权重系数取值了，即权重系数(xsh)(xsh)确定的合理与否，直接关确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。确性。第5页/共55页第六页，共55页。 （4 4）综合评价模型）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题对于多指标（或多因素）的综合评价问题, ,就是要通过建就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体立合适的综合评价

4、数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应(xingyng)(xingyng)的评价结果。的评价结果。第6页/共55页第七页，共55页。 （5 5）评价者）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系确定、评价模型的建立和权重(qun zhn)(qun zhn)系数的系数的确定都与评价者有关。确定都与评价者有关。 第7页/共55页第八页

5、，共55页。第8页/共55页第九页，共55页。 1. 1. 评价指标评价指标(zhbio)(zhbio)类型类型的一致化的一致化 极大型指标极大型指标: :总是期望指标的取值越大越好；总是期望指标的取值越大越好； 极小型极小型(xioxng)(xioxng)指标指标: :总是期望指标的取值越小越好；总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标中间型指标: :总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好为好，即取适当的中间值为最好; ; 区间型指标区间型指标: :总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的总是期望指标的取值最好是落在某一个

6、确定的区间内为最好。区间内为最好。 - - 定性指标定性指标二、评价指标二、评价指标(zhbio)(zhbio)的的规范化处理规范化处理 第9页/共55页第十页，共55页。jjxx1jjjxMx ijnijxM1max第10页/共55页第十一页，共55页。)min(),max(其中2,)( 22,)( 2大型指标，令为最好，要将其化为极2取中间值ijjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxmxMMxmMmMxMmMxmmMmxxmMxjx第11页/共55页第十二页，共55页。1.3 将区间将区间(q jin)型化为极大型型化为极大型第12页/共55页第十三页，共55页。1.4 定性指

7、标定性指标(zhbio)的量化处理方法的量化处理方法 在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。 诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素(yn s)有关的政治、社会、人文等领域的问题。 如何如何(rh)对有关问题给出定量分析呢？对有关问题给出定量分析呢？第13页/共55页第十四页，共55页。按国家的评价(pngji)标准,评价(pngji)因素一般分为五个等级，如A，B，C，D，E。 如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。第14页/共55页第十

8、五页，共55页。 2. 2. 评价评价(pngji)(pngji)指标的指标的无量纲化无量纲化 如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数大数吃小数”的错误的错误(cuw)结果，从而导致最后得到错误结果，从而导致最后得到错误(cuw)的评价的评价结论。结论。 无量纲化处理又称为指标数据的标准化无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。或规范化处理。 常用方法常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。 第15页/共55页第十六页，共55页。第16页/共

9、55页第十七页，共55页。第17页/共55页第十八页，共55页。三、近年建模题目中涉及三、近年建模题目中涉及(shj)(shj)的的指标构建问题举例指标构建问题举例1 1、20132013年数学建模年数学建模B B题中题中 碎纸片拼接中的纸片匹配指标碎纸片拼接中的纸片匹配指标(zhbio)(zhbio)2 2、20132013研究生数学建模研究生数学建模E E题中题中 贫富两极分化衡量指标贫富两极分化衡量指标(zhbio)(zhbio)3 3、20132013年数学建模年数学建模A A题中事故处横断面实际通行能力影响差异题中事故处横断面实际通行能力影响差异第18页/共55页第十九页，共55页。

10、1 1、 2013 2013数学建模数学建模B B题中碎纸片拼接中的题中碎纸片拼接中的纸片匹配纸片匹配(ppi)(ppi)指标指标 运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘(binyun)(binyun)灰度值与剩下碎片的左侧边缘灰度值与剩下碎片的左侧边缘(binyun)(binyun)灰度值进行比对，将灰度值进行比对，将相似度最高即（相似度最高即（MatchMatch值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。 19802min(_)imijiMat

11、chRightcolLeftcol方法方法(fngf)(fngf)一：一：第19页/共55页第二十页，共55页。方法方法(fngf)(fngf)二：二：221112min()()jMxyxy19792221112()()()kkkkkkkxyxyxy221980197919801980()()xyxy第20页/共55页第二十一页，共55页。 为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化程度，为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化程度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化的大小，该需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化的大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越高，该指标越小

12、，指标越大，说明收入分配的两极分化程度越高，该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。该指标需要满足的经济说明收入分配两极分化的程度越低。该指标需要满足的经济规律方面的要求概括为：规律方面的要求概括为： 在其他情况不变的条件下，当在其他情况不变的条件下，当 扩大时，扩大时， 减增大，减增大，这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具有增这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具有增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当大的趋势；在其他情况不变的条件下，当p p增大时，增大时， 减小，减小，这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极分化程度减这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极

13、分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，当弱；在其他情况不变的条件下，当 增大时，增大时， 减小，减小，这说明随着人均收入水平的提高这说明随着人均收入水平的提高(t go)(t go)，若贫富收入离，若贫富收入离散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据该指标的性散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据该指标的性质，将其定义为：质，将其定义为：2 2、20132013研究生数学建模研究生数学建模E E题中题中 贫富两极分贫富两极分化衡量化衡量(hng ling)(hng ling)指标指标第21页/共55页第二十二页，共55页。12p 是一个在区间是一个在区间 上变动的指标，当收入分配完全是均

14、匀分上变动的指标，当收入分配完全是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时配时，不存在两极分化的情况，此时 ；而当中间收入人群；而当中间收入人群为零时，即形成为零时，即形成(xngchng)完全的两极分化时，完全的两极分化时， ，为此本文考虑，为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比例为另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比例为50%，变异系数为，变异系数为 0.5 时，时， 。自此，本文界定。自此，本文界定 时，两极分化程度比较轻，而当时，两极分化程度比较轻，而当 时，两极分时，两极分化程度比较高。化程度比较高。(,11(,0.5 (0.5,10.5其中其中 为收入均值，为收入均值，

15、 为收入的标准差，为收入的标准差，P为基于收入的人口为基于收入的人口(rnku)分布，分布， 为两极分化衡量指标。为两极分化衡量指标。第22页/共55页第二十三页，共55页。 从视频从视频1 1和视频和视频2 2的图像，可以看出交通事故期间，交通事故横截面出的图像，可以看出交通事故期间，交通事故横截面出实际通行能力波动实际通行能力波动(bdng)(bdng)明显，且没有明显的线性或者其他类似规律，明显，且没有明显的线性或者其他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的实际通行能力数据，作正数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的实际通行能力数据，作正态检验。利用态检验。利用spss

16、spss软件作正态检验，发现正态性明显。因此，可以认为题软件作正态检验，发现正态性明显。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际交通能力服从正态分布。中交通事故横截面处实际交通能力服从正态分布。实际交通能力差异度：实际交通能力差异度： 以正态拟合以正态拟合(n h)得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立：得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立： 实际交通能力的差异程度定义实际交通能力的差异程度定义(dngy)如下：如下：P值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大。),(:(),(:(2222211111NCNC2121C

17、CCCP3 3、20132013数学建模数学建模A A题中事故处横断面实际通题中事故处横断面实际通行能力影响差异行能力影响差异第23页/共55页第二十四页，共55页。稳定性差异稳定性差异(chy)(chy)度：度： 由于视频由于视频1 1和视频和视频2 2的交通事故横截面实际交通能力具有波动性，则的交通事故横截面实际交通能力具有波动性，则应该具有稳定程度，用稳定性应该具有稳定程度，用稳定性这一量来反映，显然，稳定性越高越有这一量来反映，显然，稳定性越高越有利于车辆的通行。定义稳定性如下所示：利于车辆的通行。定义稳定性如下所示：则稳定性的差异则稳定性的差异(chy)程度如下：程度如下：22111

18、,12121T第24页/共55页第二十五页，共55页。差异度：差异度： 为了为了(wi le)(wi le)说明事故处横断面实际交通能力总的影响说明事故处横断面实际交通能力总的影响差异，定义差异度差异，定义差异度B B，如下所示：，如下所示：式中的式中的21, 为实际交通能力(nngl)和稳定性的偏好系数。综上所述，得到如下事故处横断面实际通行综上所述，得到如下事故处横断面实际通行(tngxng)能力影响差异模型：能力影响差异模型：TPB212221212121wwwwTCCCCPTPB第25页/共55页第二十六页，共55页。问题问题:如何来构造如何来构造(guzo)合适的综合评价模型？合适的

19、综合评价模型？ 四、综合四、综合(zngh)(zngh)评价模型的评价模型的建立方法建立方法第26页/共55页第二十七页，共55页。 线性加权综合法的适用条件线性加权综合法的适用条件: :各评价指标各评价指标(zhbio)(zhbio)之间相之间相互独立。互独立。 对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标(zhbio)(zhbio)间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。 1. 线性加权综合法线性加权综合法 第27页/共55页第二十八页，共55页。线性加权综合法的特点：线性加权综合法

20、的特点： （1 1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；保证综合评价指标的公平性； （2 2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；权重较大指标值对综合指标作用较大； （3 3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异各备选方案之间的差异(chy)(chy)表现不敏感；表现不敏感； （4 4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使

21、用。第28页/共55页第二十九页，共55页。 2. 非非线性加权综合法线性加权综合法 主要主要(zhyo)特点特点:（1）对数据要求较高，指标数值不能为）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，、负数，（2）乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏）乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感。感。适用条件：适用条件： 各指标间有较强关联性各指标间有较强关联性 。第29页/共55页第三十页，共55页。 3. 逼近逼近(bjn)理想点（理想点（TOPSIS）方法方法 第30页/共55页第三十一页，共55页。 模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较广泛模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较广

22、泛的一种方法，对一些具有模糊概念的系统（评价对的一种方法，对一些具有模糊概念的系统（评价对象），在进行评价时很难给出确切的表达，对受多种象），在进行评价时很难给出确切的表达，对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对素决策方法，其特点是评价结果不是绝对(judu)(judu)地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。4 4、模糊综合、模糊综合(zngh)(zngh)评价法评价法第31页/共55页第三十二页，共55页。5 5、层次、层次(cngc)(cngc)分析分

23、析模型模型 层次分析法是将与决策层次分析法是将与决策(juc)总是有关的元素分解成目总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策的决策(juc)方法。方法。第32页/共55页第三十三页，共55页。6、动态加权综合评价、动态加权综合评价(pngji)方法方法 2005 2005年中国大学生数学年中国大学生数学(shxu)(shxu)建模竞赛的建模竞赛的A A题：题：“长江水质的评价和预测长江水质的评价和预测”问题的第一部份给出了问题的第一部份给出了1717个观测个观测站（城市）的最近站（城市）的最近2828个

24、月的实际检测指标数据，包括反映水个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DODO）、高锰酸盐）、高锰酸盐指数（指数（CODMnCODMn）、氨氮）、氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求综合这四种污值，要求综合这四种污染指标的染指标的2828个月的检测数据对个月的检测数据对1717个城市的水质情况做出综合个城市的水质情况做出综合评价。评价。 6.1 动态加权综合评价动态加权综合评价(pngji)问题的提法问题的提法 第33页/共55页第三十四页，共55页。 根据国标（根据国标（GB 38382002GB 3

25、8382002）的规定，关于地表水的水质）的规定，关于地表水的水质可分为可分为类、类、类、类、类、类、类、类、类、劣类、劣类共六个类别，类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且不同类别的水质有很大的差别，而且(r qi)(r qi)同一类别的水同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。在污染物的含量上也有一定的差别。 在对在对1717个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些

26、指标个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别水的值不同类别水的“质的差异质的差异”和同类别水的和同类别水的“量的差异量的差异”,”,在在此简称为此简称为“质差质差”和和“量差量差”。因此，这是一个较复杂的多因。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。素多属性的综合评价问题。 第34页/共55页第三十五页，共55页。第35页/共55页第三十六页，共55页。 根据这个根据这个(zh ge)(zh ge)问题的实际背景和综合评价的一般原问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的主要过程分三步完成：则，解决问题的主要过程分三步完成：将各评价指标作标准化处理；将各评价指标作标

27、准化处理；根据各属性的特性构造动态加权函数；根据各属性的特性构造动态加权函数；构建问题的综合评价模型，并做出评价。构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种中间型，或区间型的四种(s zhn)(s zhn)情况，也有时各有不同情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。 6.2 动态加权综合动态加权综合(zngh

28、)评价的一般方评价的一般方法法 第36页/共55页第三十七页，共55页。6.2.1 评价指标评价指标(zhbio)的标的标准化处理准化处理 第37页/共55页第三十八页，共55页。第38页/共55页第三十九页，共55页。 考虑到评价指标的考虑到评价指标的“质差质差”与与“量差量差”的关系，在确定综合的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同评价指标时，既要能体现不同(b tn)(b tn)类型指标之间的差异，也类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从

29、实际问题出发分析确定。问题出发分析确定。 对于不同对于不同(b tn)(b tn)的指标可以取相同的权函数，也可以取不的指标可以取相同的权函数，也可以取不同同(b tn)(b tn)的权函数。的权函数。 6.2.2 动态加权函数动态加权函数(hnsh)的的设定设定 第39页/共55页第四十页，共55页。第40页/共55页第四十一页，共55页。第41页/共55页第四十二页，共55页。第42页/共55页第四十三页，共55页。6.3 综合评价模型综合评价模型(mxng)的构建的构建 第43页/共55页第四十四页，共55页。第44页/共55页第四十五页，共55页。表表（1）: 地地表表水水环环境境质质

30、量量标标准准 （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4个个主主要要项项目目标标准准限限值值 单单位位：mg/L 指指 标标 类类 类类 类类 类类 类类 劣劣类类 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高锰锰酸酸盐盐指指数数( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（无无量量纲纲） 6 ,

31、 9 五、长江五、长江(chn jin)水质的水质的综合评价模型综合评价模型 第45页/共55页第四十六页，共55页。 1. 1. 指标指标(zhbio)(zhbio)数据的标准数据的标准化处理化处理第46页/共55页第四十七页，共55页。第47页/共55页第四十八页，共55页。第48页/共55页第四十九页，共55页。 2. 动态动态(dngti)加权函数的确定加权函数的确定 第49页/共55页第五十页，共55页。 3.综合评价指标函数综合评价指标函数(hnsh)的确定的确定 第50页/共55页第五十一页，共55页。 4.各城市水质的综合各城市水质的综合(zngh)评价评价 第51页/共55页第五十二页，共55页。表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水质质污污染染总总排排序序结结果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 1