新高二数学暑假班讲义：第11讲 双曲线（解析版）

1、第11讲 双曲线新课标要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系c2a2b23.双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)范围xa或xaya或ya顶点(a,0)，(a,0)(0

2、，a)，(0，a)轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点离心率e(1，)渐近线yx，yxyx，yx4.直线与双曲线的位置关系及判定直线：AxByC0，双曲线：1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2nxq0.则直线与双曲线的位置关系如下表：位置关系公共点个数判定方法相交2个或1个m0或相切1个m0且0相离0个m0且0名师导学知识点1 双曲线定义的应用【例1-1】(1)动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若方程1表示双曲线

3、，则k的取值范围是()A(5，) B(，3)C(3,5) D(，3)(5，)【分析】利用双曲线的定义解题【解析】(1)|MN|2，|PM|PN|2|MN|，点P的轨迹是以N为端点的一条射线，故选D.(2)1表示双曲线，5k与k3一正一负，即(5k)(k3)0，解得k5或k3.故选D.【答案】(1)D(2)D【变式训练1-1】(1)(马鞍山高二测试)已知点P的坐标满足4，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若动点P到F1(5,0)与F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.1 B1C.1 D1【解析】(1)点P的坐标满足4，动点P(x

4、，y)到A(1,1)和B(3，3)的距离之差等于4，又A(1,1)和B(3，3)两点间的距离为|AB|4，动点P的轨迹方程是双曲线的一支(2)由双曲线定义知，P点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a8，a4，c5，b3.P点的轨迹方程为1.【答案】(1)B(2)D知识点2 求双曲线的标准方程【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，a3，c5；(2)与椭圆1有共同焦点，且过点(3，)的双曲线的标准方程；(3)经过两点(3，4)，.【分析】对于(1)，只需求出b2即可；对于(2)，(3)可设出双曲线的方程，代入条件即可【解】(1)a3，c5，b2c2a225916.又

5、此双曲线焦点在x轴上，所求的双曲线的标准方程为1.(2)1的焦点坐标为(2，0)，(2，0)，由题意得，所求双曲线的焦点坐标为(±2，0)，设所求的双曲线的标准方程为1.又(3，)在双曲线上，1，解得a2202，所求的双曲线的标准方程为1.(3)设所求的双曲线的标准方程为mx2ny21(其中mn0)由题意得得故所求的双曲线的标准方程为1.【变式训练2-1】已知椭圆1(a>0)与双曲线1有相同的焦点，则a的值为()A.BC4 D【解析】椭圆1与双曲线1有相同的焦点(±，0)，a297，a216.又a>0，a4.【答案】C知识点3 双曲线定义及其标准方程的应用【例3

6、-1】如图所示，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|32，试求F1PF2的面积【分析】(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积【解】双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c 5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.又ca532,10>2,22>2，故

7、点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|362×32100.在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF20，F1PF290°，SF1PF2|PF1|·|PF2|×3216.【变式训练3-1】已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状【解】(1)椭圆

8、的方程可化为1，焦点在x轴上，且c.故可设双曲线方程为1(a>0，b>0)依题意得解得a23，b22.故双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2c2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos MF2F1<0.所以MF2F1为钝角，故MF1F2是钝角三角形知识点4 双曲线的简单几何性质【例4-1】求双曲线4y29x24的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图【分析】将双曲线的方程化为标准方程，确定焦点所在的坐标轴，得到

9、几何量a，b的值，从而得出相关的几何性质【解】将双曲线方程化成标准方程为y21，可知半实轴长a，半虚轴长b1.于是有c ，所以焦点坐标为，离心率为e，渐近线方程为y±x，即y±x.其图象如图所示【变式训练4-1】(北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_【解析】双曲线x21过点(3,4)，91，b22，又a21，焦点在x轴上，渐近线方程为y±x.【答案】y±x知识点5 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为

10、；(2)焦距为10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)与双曲线x21共渐近线，焦点坐标为(±2,0)【分析】对于(1)只需根据题目条件求出b2即可；对于(2)，由于焦点所在的坐标轴不确定，故需分情况讨论；对于(3)，利用两双曲线共渐近线求解【解】(1)由题意得2a10，a5，又e，c12.b2c2a214425119.又焦点在y轴上，所求的双曲线的标准方程为1.(2)由题意得c5，a2b，又a2b2c2，5b225，b25，a220.当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为1.(3)设所求的双曲线方程为x2(0)，焦点在x轴上，0，方程再化为1.又焦点坐

11、标为(±2,0)，44，1，故所求双曲线的标准方程为x21.【变式训练5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分【解】(1)由题意，得2b8，e，b4，ca，代入c2a2b2，得a29.又该双曲线焦点在x轴上，双曲线的标准方程为1.(2)由已知得2a6,2c4a，a3，c6.b2c2a236927.所求的双曲线方程为1或1.知识点6 双曲线的离心率问题【例6-1】(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲

12、线的离心率为()A.BC4 D(2)双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_【分析】对于(1)，根据双曲线的定义得到a，b，c的关系式，再求离心率；对于(2)，欲求离心率的取值范围，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解【解析】(1)根据已知条件，知|PF1|PF2|2a，所以4a2b23ab，所以b4a，所以双曲线的离心率e.(2)P为双曲线上一点，|PF1|2|PF2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，又|PF2|ca，即2aca，e3.又e1，1e3.【答案】(1)D(2)1e3【变式训练6-1】(1)

13、(北京卷)已知双曲线y21(a>0)的离心率是，则a()A. B4 C2 D(2)(全国卷)双曲线C：1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为()A2sin 40° B2cos 40°C. D【解析】(1)由题意，得e，5a2a21，解得a.(2)由题意，得ktan 130°，tan 50°，即，e21，e.【答案】(1)D(2)D知识点7 直线与双曲线的位置关系【例7-1】已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，求直线l的斜率k的值【分析】欲解此题，需将直线与双曲线联立，再利

14、用所得的方程求解【解】设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得(4k2)x22kx50.当4k20，即k±2时，此时的直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当4k20时，由4k24(4k2)(5)0，解得k±.综上，得直线l的斜率k的值为±2或±.【变式训练7-1】(龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A2，) B(1，)C(1，) D(，)【解析】依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：1的右焦点且与双曲线的左、右两支分别相

15、交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b>2a，因此该双曲线的离心率e>.【答案】D知识点8 弦长问题【例8-1】(福州检测)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【分析】第(1)问，直接由e和c2a2b2，求出a2，b2；第(2)问，由l与C联立，消去y，利用韦达定理和弦长公式可求|AB|，再由点到直线的距离公式求OAB的高，最后求面积【解】(1)依题意可得解得a1，b2，c，双曲线的标准方程为

16、x21.(2)由题意，得直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得3x22x50，由韦达定理，可得x1x2，x1x2，|AB|× ，原点到直线l的距离为d，SOAB·|AB|·d××.【变式训练8-1】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值【解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以解得k且k±1.即双曲线C与直线

17、l有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(，1)(1,1)(1，)(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1k2)x22kx20，所以当A，B在双曲线的一支上且|x1|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|.所以SOAB|x1x2|，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k±.又因为k，且k±1，所以当AOB的面积为时，实数k的值为0或±.知识

18、点9 中点弦问题【例9-1】(吉林实验中学检测)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点P在圆x2y25上，求m的值【分析】由于P为中点，可利用点差法求解【解】(1)由题意，得解得b2c2a22，双曲线C的方程为1.(2)由得3x26mx3m240.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22m，又中点P在直线xym0上，中点P坐标为(m,2m)，代入x2y25得，m±1，满足判别式>0.m的值为±1.【变式训练9-1】双曲线C：x2y22右支上的弦A

19、B过右焦点F.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值若不存在，则说明理由【解】(1)设中点M的坐标为(x，y)，(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)双曲线x2y22的焦点F的坐标为(2,0)kAB，又xxyy，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，kyx.yx，y2x22x，(x2)当x2时，AB与x轴垂直，AB的中点M的轨迹方程为x22xy20，(x2)(2)假设存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：yk(x2)，由已知得OAOB，x1x2y1y20，(1k2)x1x22k2(x1x2)4k

20、20，(*)由得(1k2)x24k2x4k220.所以x1x2，x1x2(k21)代入(*)式，化简得k210无解所以这样的圆不存在名师导练3.2.1 双曲线及其标准方程A组-应知应会1双曲线1的焦距为10，则实数m的值为()A4 B16C16 D81【解析】由2c10，得c5，9m25，m16.【答案】B2双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B C. D【解析】双曲线方程x22y21的标准方程为x21，c21，c，右焦点的坐标为.【答案】C3若M在双曲线1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF1|的值为()A4 B8 C12 D24【解析】

21、根据双曲线的定义，可知|MF1|MF2|2|MF2|2a8，|MF2|4，|MF1|3|MF2|12.【答案】C4已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，P点在双曲线C上，F1PF260°，则P到x轴的距离为()A. B C. D【解析】设P(x，y)，|PF1|m，|PF2|n，不妨设m>n；则|PF1|PF2|mn2.在F1PF2中，|F1F2|2，由余弦定理，得(2)2m2n22mncos 60°，即8(mn)2mn，mn4.由F1PF2的面积公式，得×2×|y|mnsin 60°，|y|.【答案】B5已知点M(3,0)，

22、N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x>1) Bx21(x<1)Cx21(x>0) Dx21(x>1)【解析】设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422|MN|b，点P的轨迹是以M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，b28.故点P的轨迹方程是x21(x>1)【答案】A6已知点F1(，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵

23、坐标为时，点P到坐标原点的距离是()A. B C. D2【解析】由题意，可得点P的轨迹为焦点在x轴的双曲线的右支c，a1，b1，双曲线的标准方程为x2y21(x1)把y代入x2y21，得x.点P的坐标为，点P到原点的距离为 .【答案】A7已知P是双曲线1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|17，则|PF2|的值为_【解析】由双曲线方程可知a8，c10，|PF2|PF1|2a1ca，不符合题意，|PF2|PF1|2a171633.【答案】338中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x4y240与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_【解析】由题意中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直

24、线3x4y240与坐标轴的交点，令x0，解得y6，故得到c6,2a236，a218，所求等轴双曲线方程是y2x218.【答案】y2x2189已知定点A，B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_【解析】由|PA|PB|3|AB|4知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，所以2a3,2c4，所以a，c2，所以|PA|minac.【答案】10(马鞍山测试)已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sin Bsin Asin C.(1)求|AB|；(2)求顶点C的轨迹方程【解】(1)椭圆x25y25化为标准方程为y21.可

25、得a25，b21，c24.即可得A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理可得，|CA|CB|AB|2<|AB|.顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，其方程为x21(x1)11求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.【解】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设，知a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得a220，b216.故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0

26、,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.12已知椭圆1与双曲线x21有公共点P，求P与双曲线的两个焦点的连线构成的三角形的面积【解】由已知，得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，4)，又由椭圆与双曲线的定义可得所以|PF1|5，|PF2|5，在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2，sin F1PF2，因此PF1F2的面积S|PF1|·|PF2|sinF1PF2×(5)×(5)×3.B组-素养提升(广州模拟)若椭圆1与双曲线1(m，n，p，q均为正数

27、)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|·|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p2【解析】由题意，可知m>n，由椭圆及双曲线的定义有|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|±2，两式分别平方相减，可得|PF1|·|PF2|mp.【答案】C3.2.2 双曲线的简单几何性质A组-应知应会1(大庆市模拟)已知双曲线1，则该双曲线的渐近线方程为()A9x±4y0 B4x±9y0C3x±2y0 D2x±3y0【解析】令0，得4x29y2，2x±3y，渐近线方程为2x±3y0

28、.【答案】D2双曲线1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x Dy±x【解析】e，e213.，渐近线方程为y±x.【答案】A3(淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A. B C. D【解析】设等边三角形边长|BF2|m，且设|AF1|x，根据双曲线的定义有mxmmx2a，解得m4a，x2a.在BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2(6a)2(4

29、a)22·6a·4a·cos，化简得4c228a2，即e.【答案】D4已知双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D1【解析】由已知，得解得a3，b4.双曲线方程为1.【答案】A5点P在双曲线1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290°，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2 B3C4 D5【解析】不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|分别为md，m，md，(d0)，由题

30、意，得解得m4d8a,2c5d，e5.【答案】D6设F1，F2分别是双曲线M：1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足·<0，则双曲线的离心率e的取值范围是()A1<e<1 Be>1C1<e< De>【解析】由双曲线的对称性可知，ABF2是等腰三角形，且AF2B是钝角，所以<AF2F1AF2B<，所以tan AF2F1>1，即>1.又|AF1|，所以>1，即c2a2>2ac，化简得e22e1>0，解得e>1或e1(舍去)【答案

31、】B7若双曲线1(a>0)的离心率为，则a_.【解析】由已知，得e，ca.又c2a24，a2a24，a216.又a>0，a4.【答案】48已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(，0)，则a_，b_.【解析】1的渐近线方程为y±x，又1的渐近线方程为y±2x，2，即b2a.又C1的右焦点F( ，0)，a2b25a25，a21，a1，b2.【答案】129设双曲线C：1(a>0，b>0)经过点(4,1)，且与y21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_【解析】由题意，得解得双曲线C的方程为1，渐近线方程为

32、y±x.【答案】1y±x10求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264共焦点；(2)与双曲线1有共同渐近线，且经过点(3，2)【解】(1)解法一：椭圆方程可化为1，易得焦点是(±4，0)设双曲线方程为1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y±x，则.代入a2b2c248，解得a236，b212.所以所求双曲线的标准方程为1.解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为xy0，则另一条渐近线为xy0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x23y2(0)，即1.由椭圆方程1，知c2a2b2641

33、648.因为双曲线与椭圆共焦点，则48，所以36.所以所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)，将点(3，2)代入双曲线方程，得，解得.所以所求双曲线的标准方程为1.11(1)已知双曲线的渐近线方程为y±x，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两渐近线的夹角【解】(1)双曲线的渐近线为y±x，或.又e ，当时，e；当时，e.(2)e，ab，双曲线渐近线方程为y±x，双曲线的两条渐近线的夹角为90°.12设双曲线1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的

34、离心率【解】由直线l过(a,0)，(0，b)两点，得l的方程为bxayab0，由原点到l的距离为c，得c，将b代入3216·160，即3e416e2160，e或e2.b>a>0，e>，e应舍去，故所求离心率为2.B组-素养提升(全国卷)设F为双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则双曲线C的离心率为()A. B C2 D【解析】以OF为直径的圆x2y2，减去x2y2a2得，cxa2，即x为两圆公共弦方程，弦长为c，半弦长，O到x的距离为，半径为a，三者满足勾股定理，a2，化简

35、得，c44a44a2c20，解得c22a2，e.【答案】A3.2.3 直线与双曲线的位置关系A组-应知应会1(哈尔滨三中二模)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的渐近线经过圆E：x2y22x4y0的圆心，则双曲线C的离心率为()A. BC2 D【解析】圆E：x2y22x4y0的圆心为E(1，2)，双曲线C：1的渐近线为y±x，由题意，得2，离心率e.【答案】A2过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条【解析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点

36、一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4；当直线与实轴垂直时，有31，解得y±2，此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条综上，有三条直线满足|AB|4.【答案】C3(龙岩一中月考)已知双曲线1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x Dy±2x【解析】根据题意得到A(a,0)，B(a,0)，设点P为(x，y)，根据题意得到3，则1，从而渐近线方程为0，化简为y

37、77;x.【答案】C4若圆(x)2(y1)23与双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为()A. BC2 D【解析】因为圆(x)2(y1)23的圆心为(，1)，半径为，由图(图略)得该圆与渐近线yx相切，所以d，所以ba，即.又因为e21，所以e.【答案】A5若斜率存在且过点P的直线l与双曲线1(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()A2B4 C1或2D2或4【解析】因为直线斜率存在，则过P与左顶点的直线必与yx平行，所以有，解得a2.所以实轴长为4.【答案】B6已知直线yx与双曲线1交于A，B两点，P为双曲

38、线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB()A. BC. D与P点位置有关【解析】由题意可设A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)，kPA·kPB·.【答案】A7已知直线l：ykx与双曲线4x2y216，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是_【解析】由得(4k2)x2160，由题意，得当4k20，即2k2时直线与双曲线有两个公共点【答案】(2,2)8(北京西城区二模)双曲线C：1的焦距是_；若圆(x1)2y2r2(r>0)与双曲线C的渐近线相切，则r_.【解析】由双曲线C：1，知c291625，c5，2c10.双曲线C的一条渐近线方程为yx，即3x4y0.因为圆与3x4y0相切，所以r，所以r