高等数学随堂讲义函数的幂级数展开

1、一、泰勒级数一、泰勒级数二、二、初等函数的幂级数初等函数的幂级数 展开式展开式 由泰勒公式知道由泰勒公式知道, , 可可以将满足一定条件的函数以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个表示为一个多项式与一个余项的和余项的和. . 如果能将一个满如果能将一个满足适当条件的函数在某个足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数区间上表示成一个幂级数, , 就为函数的研究提供了一就为函数的研究提供了一种新的方法种新的方法. . 2 函数的幂级数展开数学分析 第十四章幂级数*点击以上标题可直接前往对应内容在第六章在第六章3的泰勒定理中曾指出的泰勒定理中曾指出, 若函数若函数 f 在点在点x0 的某邻

2、域内存在直至的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数阶的连续导数, 200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx这里为这里为( )nRx拉格朗日型余项拉格朗日型余项(1)10( )( )(),(2)(1)!nnnfRxxxn ( )00()()( ),(1)!nnnfxxxRxn其中其中 在在x与与x0之间之间, 称称(1)式为式为 f 在点在点0 x的泰勒公式的泰勒公式. 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式泰勒级数则则后退 前进 目录 退出( )nRx0()nxx由于余项由于余项是关于是关于 的高阶无穷小的高阶无穷小, 在点在点 0 x附近附近 f 可用

3、可用(1)式右边的多项式来近似代替式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步再进一步, 设函数设函数 f 在在 0 xx处存在任意阶导数处存在任意阶导数, 就可以由函数就可以由函数 f 得到一个幂级数得到一个幂级数 200000()()()()()2!fxf xfxxxxx( )00()(),(3)!nnfxxxn 通常称通常称 (3) 式为式为 f 在在 0 xx处的处的泰勒级数泰勒级数. 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式因此因此例例1 由于函数由于函数21e,0,( )0,0 xxf xx在在0 x 处的任意阶导数都等于处

4、的任意阶导数都等于0 (见第六章见第六章4 第第 二段末尾二段末尾), ( )(0)0 ,1,2,nfn2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对于级数对于级数(3)是否能在点是否能在点 0 x附近确切地表达附近确切地表达 f , 0 x说级数说级数(3)在点在点 附近的和函数是否就是附近的和函数是否就是 f 本身本身,就是本节所要着重讨论的问题就是本节所要着重讨论的问题. 这这即即或者或者请先看一个例子请先看一个例子. 因此因此 f 在在 0 x 的泰勒级数为的泰勒级数为 20000.2!nxxxn(,) ( )0S x 显然它在显然它在 上收敛上收敛, 且其和函数且其和函数 .

5、0 x ( )( )f xS x由由此看到此看到, 对一切对一切 都有都有 .上例说明上例说明, 具有任意阶导数的函数具有任意阶导数的函数, 都能收敛于该函数本身都能收敛于该函数本身, 那么怎样的函数那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢其泰勒级数才能收敛于它本身呢?2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式泰勒级数并不泰勒级数并不 哪怕在很小的一个邻域内哪怕在很小的一个邻域内. 定理14.11上等于它的泰勒级数的和函数的充上等于它的泰勒级数的和函数的充 0|xxr对一切满足不等式对一切满足不等式 的的x, 有有 lim( )0,nnRx( )nRx0 x是是f 在点在点 这里

6、这里 泰勒公式的余项泰勒公式的余项.设设 f 在点在点 0 x具有任意阶导数具有任意阶导数, 00(,)xr xr那么那么 f 在区间在区间分条件是分条件是: 如果如果 f 能在点能在点 0 x的某邻域上等于其泰勒级数的和函数的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式0 x的这一邻域内可展开成泰勒级数的这一邻域内可展开成泰勒级数, 则称函则称函数数 f 在点在点200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx( )00()()(4)!nnfxxxn并称等式并称等式的右边为的右边为 f 在在 0 xx处的处的泰勒展开式泰勒展开式,

7、或或幂级数展开式幂级数展开式. ( )2(0)(0)(0)(0),1!2!nnffffxxxn称为称为麦克劳林级数麦克劳林级数.2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式由级数的逐项求导性质可得由级数的逐项求导性质可得: 即幂级数展开式是唯一的即幂级数展开式是唯一的.收敛区间收敛区间(,)R R上的和函数上的和函数, (,)R R上的泰勒展开式上的泰勒展开式,0nnna x 就是就是 f 在在 则则0nnna x若若 f 为幂级数为幂级数在在在实际应用上在实际应用上, 主要讨论函数在主要讨论函数在 00 x 处的展开式处的展开式:(1)01( )( )() d ,!xnnnRxftxt

8、tn(1)11( )( ),0,(1)!nnnRxfxxn在与之间在与之间(1)11( )()(1),01.!nnnnRxfxxn 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式从定理从定理14.11知道知道, 下面列出当下面列出当 00 x 时的积分型余项、时的积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项拉格朗日型余项和柯西型余项, 余项对确定函数能否展开为幂级数余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的是极为重要的, 以便于后面的讨论以便于后面的讨论. 例例2 求下面求下面k次多项式函数的幂级数展开式次多项式函数的幂级数展开式.2012( ).kkf xcc xc xc x解解 由于由于(

9、)!,(0)0,nnn cnkfnklim( )0,nnRx总总有有( )2(0)(0)( )(0)(0)2!kkfff xffxxxk即多项式函数的幂级数展开式就是它本身即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.2012,kkcc xc xc x2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式因而因而例例3 求函数求函数 f (x) = ex 的幂级数展开式的幂级数展开式. 解解 ( )( )( )e ,(0)1(1,2,),nxnfxfn由由于于1e( )(01).(1)!xnnRxxn 显见显见 | |1e|( )|.(1)!xnnRxxn| |1elim|0,(1)

10、!xnnxn于是对任何实数于是对任何实数 x, lim( )0.nnRx因因而而2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式f因因此此的拉格朗日余项为的拉格朗日余项为都有都有14.11由由定定理理得得到到2111e1,(,).1!2!xnxxxxn exy ()3n ()0n x11 O22462 y()2n 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式例例4 ( )sin ,f xx对对于于正正弦弦函函数数( )( )sin,1,2,.2nnfxxn1sin+(1)2( )(1)!nnnRxxn ( )sinf xx(,) 所以所以在在上可以展开为麦克劳上可以展开为麦克劳 ( )

11、.nfRx现现在在考考察察的的拉拉格格朗朗日日型型余余项项林级数林级数:35211sin( 1).3!5!(21)!nnxxxxxn 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式有有 ,n因因为为时时1|0,(1)!nxn0123456-1-0.500.51xysin(x)n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5y = sin x同样可证同样可证(或用逐项求导或用逐项求导), 在在(,) 上有上有242cos1( 1).2!4!(2 )!nnxxxxn 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式例例5 ( )ln(1)f xx函函数数的的各各阶阶导导数数是是( )1(1

12、)!( )( 1),(1)nnnnfxx ( )1(0)( 1)(1)!,nnfn 所以所以ln(1)x的麦克劳林级数是的麦克劳林级数是2341( 1).(5)234nnxxxxxn 用比式判别法容易求得级数用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径的收敛半径1R , 且且 1x 1x 当当时收敛时收敛, 时发散时发散, 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式故级数故级数(5)的收敛域的收敛域 ( 1,1 是是 . 下面讨论在下面讨论在( 1,1 上它的余项的极限上它的余项的极限.当当01x 时时, 11( 1)!|( )|(1)!(1)nnnnnRxxn 10().1nn 当当10

13、 x 时时, 因拉格朗日型余项不易估计因拉格朗日型余项不易估计, 故改故改用柯西型余项用柯西型余项. 111!|( )|( 1)(1)!(1)nnnnnnRxxnx 111|, 01.11nnxxx 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对拉格朗日型余项对拉格朗日型余项, 有有 此时有此时有11(1) 1nxn 10,11,xx 因因故故1|( )0 ().1 |nnxRxnx 所所以以( 1,1 ln(1)x这就证得在这就证得在上上 的幂级数展开式就是的幂级数展开式就是(5). 1x ，将将(5)式中式中 x 换成换成 ( )lnf xx 就得到函数就得到函数 1x 在在处的泰勒

14、展开式处的泰勒展开式:21(1)(1)ln(1)( 1),2nnxxxxn 其收敛域为其收敛域为 (0, 2.2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式101.1x 即即例例6 讨论二项式函数讨论二项式函数( )(1)f xx 的展开式的展开式. 解解 当当 为正整数时为正整数时, 就是例就是例2.下面讨论下面讨论 不等于正整数时的情形不等于正整数时的情形, ( )( )(1)(1)(1),1,2,nnfxnxn ( )(0)(1)(1),1,2,nfnn 于是于是( )f x 的麦克劳林级数是的麦克劳林级数是2(1)12!xx (1)(1).(6)!nnxn 2 函数的幂级数展开泰勒

15、级数初等函数的幂级数展开式这时这时1R 运用比式法运用比式法, 可得可得(6)的收敛半径的收敛半径. 11(1)()1( )(1),!1nnnnRxxxnx 01. 由比式判别法由比式判别法, 10(1)()| 1,!nnnxxn 级级数数当当时时收收敛敛1(1)()lim0.!nnnxn 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式在在 内考察它的柯西型余项内考察它的柯西型余项 ( 1,1) 故有故有 11,11,01,1xxx 又又有有且且11.1nx 从而有从而有111| 1,0(1)(1 |)2.xxx 再再当当时时 有有11(1);xn 于于是是当当时时是是与与无无关关的的有有

16、界界量量1 当当时时， 也也有有同同样样结结论论. .所以在所以在 ( 1,1)( )(1)f xx 上上的的展展开开式式为为2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式lim( )0.nnRx,| 1,x 综综上上所所述述 当当时时2(1)(1)12!xxx (1)(1)(7)!nnxn 对于收敛区间端点的情形对于收敛区间端点的情形, 与与 的取值有关的取值有关: 11x12 当当时时得得到到11x2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式(7)1 当当式式中中时时就就得得到到1,( 1,1); 当当时时 收收敛敛域域为为10,( 1,1; 当当时时 收收敛敛域域为为0, 1,

17、1. 当当时时 收收敛敛域域为为21( 1),( 1,1).(8)nnxxxx 2311 31 3 51,( 1,1.(9)22 42 4 6xxxx 一般来说一般来说, 只有比较简单的函数只有比较简单的函数, 根据幂级数展开式的唯一性根据幂级数展开式的唯一性, 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式间接地求得函数的幂级数展开式间接地求得函数的幂级数展开式. 其幂级数展开式能其幂级数展开式能在更多情况下可以从已知的展开在更多情况下可以从已知的展开通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项前面的展开幂级数的方法前面的展开幂级数的方法, 称为称为直接展

18、开法直接展开法. 用直接展开法求得用直接展开法求得.式出发式出发,求积等方法，求积等方法，这就是间接展开的根据这就是间接展开的根据.不管用什么方法得到的不管用什么方法得到的幂级数的系数都是一样的幂级数的系数都是一样的.2x2x 例例7 以以与与分别代入分别代入(8)与与(9)式式, 可得可得211x211x对对 (10)、(11)分别逐项求积可得分别逐项求积可得2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式201arctand1xxttxxx3535 nnxn21( 1), 1,1,21 221( 1),( 1,1),(10)nnxx2411 31, ( 1,1).(11)22 4xx20

19、1arcsind1xxtt35711 31 3 5, 1,1.2 32 452 4 67xxxx 11ln(1)( 1)(1,1,nnnxxxn 利利用用，得得111nnnnxxnn 221nnnnxxxnn 2 1,1).(1nnxxxn n ，）(1)ln(1)xx 0 x 例例8 求求 在在处的幂级数展开式处的幂级数展开式. 1ln(1)1,1)nnxxxn ，1(1)ln(1)(1)()nxnnxxx因此因此2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式解解 熟练掌握某些初等函数的展开式，熟练掌握某些初等函数的展开式，对于今后用间接方法求幂级数展开十分方便对于今后用间接方法求幂级数

20、展开十分方便. 特别是例特别是例3 例例7的结果的结果,2(1)nnxxn n 由由于于的的收收敛敛域域为为 -1,1-1,1 ，(1)ln(1) 1,1).xx 严严格格地地讲讲只只是是它它在在上上的的和和函函数数2(1)ln(1), 1,1),(10,1.nnxxxxxn nx ）210,(1)nnxxxn n 而而当当时时，的的和和是是用类似方法可得用类似方法可得2111ln2,( 1,1)121nnxxxxn . (13)2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式所以所以ln20.0001.例例9 计算计算 的近似值的近似值, 精确到精确到 11ln(1)( 1)nnnxxn

21、1x 解解 可以在展开式可以在展开式 中令中令 , 得得 11( 1)ln2nnn . 1|( )|1nRxn . 级数前级数前10000项的和项的和, 2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式13x 得得，121xx ，令令代入代入(13)式式, 32111111ln22.33 321 3nn 有有这是一个交错级数这是一个交错级数, 故有故有为了误差小于为了误差小于0.0001, 就必须计算就必须计算 为此在为此在(13)式中式中收敛得太慢收敛得太慢. 估计余项估计余项:212311110221 323 3nnnRnn21242111(21) 333nn 2121213211,(21) 314(21) 3nnnn2 函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式471100.00014 9 378732R