应力应变状态分析ppt课件

1、 第第 八章八章 应力应变形状分析应力应变形状分析PP1 1同一点各个方向的应力不同；同一点各个方向的应力不同；(2)(2)一样的受力方式不同的破坏方式，如铸铁与一样的受力方式不同的破坏方式，如铸铁与低碳钢的紧缩破坏。低碳钢的紧缩破坏。二、一点的应力形状二、一点的应力形状 1.一点的应力形状：经过受力构件一点处各个不同截面一点的应力形状：经过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。上的应力情况。 2.研讨应力形状的目的：找出该点的最大正应力和剪应力研讨应力形状的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研讨构件破坏缘由并进展失效分数值及所在截面的方位，以便研讨构件破坏缘由并进

2、展失效分析。析。三、研讨应力形状的方法三、研讨应力形状的方法单元体法单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOyyyyzzzztzytzytyztyztyztyztzytzytyxtyxtyxtyxtxytxytxytxyxxxxtzxtzxtxztxztzxtzxtxztxz应力与应变分析应力与应变分析 1应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标一样时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标

3、一样时，只用一个角标表示。2面的方位用其法线方向表示面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyzt t t tt t t tt t t t，3.截取原始单元体的方法、原那么截取原始单元体的方法、原那么用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件外形笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件外形 而定而定)在一点截取，因其微小，一致看成微小正六面体在一点截取，因其微小，一致看成微小正六面体 单元体各个面上的应力知或可求；单元体各个面上的应力知或可求；几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量应力与应变分析应力与应变分析PMeMeP

4、PMeMec) 同同b)，但从，但从上外表截取上外表截取Ct t b) 横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba) 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面AP/AP/A tMe/WntMe/WnABCBCAPCABtBtBtCtCCCCCAAAA低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏景象。低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏景象。铸铁铸铁低碳钢低碳钢为什么要研讨一点的应力形状？为什么要研讨一点的应力形状？ tt；？ttCL10TU2NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImagemmPABCDEABCDE剪应力为零的平面剪应力为零的平面主平面上的正应

5、力主平面上的正应力主平面的法线方向主平面的法线方向二二.根本概念根本概念单向应力形状：三个主应力中只需一个不等于零；单向应力形状：三个主应力中只需一个不等于零；二向和三向应力形状统称为复杂应力形状二向和三向应力形状统称为复杂应力形状二向应力形状平面应力形状：两个主应力不等于零；二向应力形状平面应力形状：两个主应力不等于零；三向应力形状空间应力形状：三个主应力皆不等于零三向应力形状空间应力形状：三个主应力皆不等于零xytxytyxCL10TU8xyNoImagexyytytxxNoImage一一. .应力单元体应力单元体xytxtxxxtytyyyn1 1斜截面应力斜截面应力ytyxtxtNoI

6、mageNoImageNoImagenAAsinAcos 0tFF 平衡方程平衡方程x yt tyx tt txy FF 参与平衡的量参与平衡的量应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积A 0 nF， 0 nF - -cos)cos( Ax- - yA(sin )sin 0 tt txy yx t tyxA + +t t A(cos )sinxy+ +t t A(sin )cosyxtcossin2sincos22xyx-+AAsinAcos 0tF- -t tA+ + xA(cos )sin+ +t t xyA(cos )cos 0- - yA(sin )cos- -t t yxA(sin

7、)sin tt txy yx t tyx )sin(coscossin)(22tt-+-xyxAAsinAcosttt+-+xyxyxxyx2222222cossinsincos注：三角公式22cos1cos22cos1sincossin22sin22+-讨论：)2( 2sin)2( 2cos)(21)(21) 12t+-+-+xyxyx常量+yx22)2tt+-t2sin2cos)(21)(212xyxyx+-+ddt -+2222xyxsincos若时，能使00ddtxyx-+222000sincos+-+ttt2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx剪应力的极值确定正应力和

8、的函数。利用上式便可都是和t0 xt零该面上恰好切应力等于tan220t -xxytmaxmin+-+xyxyx2222是最小正应力作用面。正应力作用面，另一个其中一个是最大确定了两个正交平面，、00090+由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力和最小主应力。力和最小主应力。用完全相似的方法可确定剪应力的极值ddtt-()cossinxyx222若时，能使t10dd()cossintxyx-222011+-+ttt2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx由由tan221t-xyx1190、它们确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小

9、剪应力+,tttmaxmin -+xyx222tantan21210 - -ctg 20229010+即1045+即：最大和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45tan220t -xxytan221t-xyx由：t-+-xyxyx22221cossin( )tt-+xyx2222sincos( )( )( ) ,1222+得tt-+-+xyxyx222222()()xxyyR-+-02022+02，圆心坐标为yxtt-+-+xyxyx222222222xyxt+-半径为NoImaget 在在t-s坐标系中，标定与微元垂直的坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上面上 应力对应的点应力对应的点a和和

10、d 连连ad交交 s 轴于轴于c点，点，c即为圆心，即为圆心，d应力应力圆半径。圆半径。 yt tyxt txyx AD ta(sx ,txy)d(sy ,tyx)cR xy+ +2(3)转向对应转向对应半径旋转方向与方向半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；面法线旋转方向一致；(4)二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。旋转角度的两倍。(1)单元体与应力圆对应单元体与应力圆对应 单元体的应力单元体的应力分量知普通来说对应着独一的应力圆；分量知普通来说对应着独一的应力圆；(2)点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向

11、上的正应力和值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；切应力； yt tyxt txyx tcaA初始面Cq q2q2qaA AxyA A a t tx y yx yt tyxt txyx ADtcd(sy ,tyx)a(sx ,txy)1202maxt: :(,)txx(,)tyytNoImageNoImageNoImageNoImageNoImagetxxtxxtyytyyyx2(,)tNoImagettttxyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacoss i ns i ncos.解：解：()运用解析法求解运用解析法求

12、解NoImageMPaxyxyx1022sin2cos22-+tMPaxyx0 .222cos2sin2+-ttttma xmi nt a n.+-+-xyxyxxxy221 0 56 51 0 506 52212 251 1 252200MP aMP a , , MP a123或min65105MPa,1,02 -65MPa3ttma xmi nt a n.+-+-xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa , , MPa123或NoImageNoImageNoImageNoImagemax1050225.tttmaxmin -+ xyx28522MP

13、a1ttan-xxy220NoImaget10222105max65 -mint 85max5220.tNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageCL10TU71NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImaget327，-237127，-73NoImageNoImageNoImageNoImagetttttttmaxmin0123max, - -,450maxmin

14、NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImagett( , )0t( ,)0 -tpDt2pDt4123240pDtpDtCL10TU4NoImageNoImageNoImageNoImagepp ) )tD ( (m ( () )ltt 2 t t m m m t 接受内压接受内压p作用薄壁圆筒的应力计算作用薄壁圆筒的应力计算) )tD ( (m m m 0 X( () ) 42DpDtm tpDm4 0 Y( () )( () )lDpltt 2 tpDt2 ( () )ltt 2 t t 1.三向应力形状应力圆：三向应力形状应力圆： 平行

15、平行s3斜截面上应力由斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行s2斜截面上应力由斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行s1斜截面上应力由斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，恣意斜截面上的应力点落在阴影区内。由弹性力学知，恣意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力形状下的应力圆一、三向应力形状下的应力圆2.三向应力形状下的最大剪应力三向应力形状下的最大剪应力23113max - - t t t t tmax所在平面与所在平面与s1和和s3两个主平面夹角为两个主平面夹角

16、为45o。 二、例题二、例题 33221122331122113333C1C31122Ot t t12t12t23t23t13t13C2 例例9-4 试确定左图所示应力形状的试确定左图所示应力形状的主应力和最大剪应力，并确定主平主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：解： 给定应力形状中有一个主给定应力形状中有一个主应力是知的，即应力是知的，即sz=90MPa。因。因此，可将该应力形状沿此，可将该应力形状沿z方向投方向投影，得到平面应力形状，可直接影，得到平面应力形状，可直接求主应力及其方位。求主应力及其方位。 sx=3

17、00MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：，因此：MPa50390170220)150()2140300(214030022minmax - -+ +- - + + 根据根据s1、s2、s3的陈列顺序，可知：的陈列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa xzyxzy90300150140Ay140y140txy150txy150 x300 x300A视视22y31o31o11x33主应力方位：主应力方位： o0o0o0yxxy0121231622815140300150222tg + + - - - - - - - t t- - 最大剪应力所在

18、平面法线与主平面夹角最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或-14o。 MPa170250390231max - - - - t t单元体内的最大剪应力：单元体内的最大剪应力： 一、广义虎克定律一、广义虎克定律1.有关概念：有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示；表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：广义虎克定律： 推导方法：叠加原理推导方法：叠加原理主应变与主应力关系：主应变与主应力关系： + + n n- - e e+ +e e+ +

19、e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e)(E1)(E1)(E1213 3333132 2222321 1111普通情况：普通情况： t t t t t t + + n n- - e e + + n n- - e e + + n n- - e eG/G/G/)(E1)(E1)(E1zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx，1122331111I2222II33III11I1122II2211方向上的应变：方向上的应变：22方向上的应变：方向上的应变：33方向上的应变：方向上的应变：EEE1

20、312111 n n- - e e n n- - e e e e EEE2322212 n n- - e e e e n n- - e e E E E 3332313 e e n n- - e e n n- - e e III33 + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e)(E1 )(E1 )(E1 213333313222223211111用应变表示应力：用应变表示应力： t t t t t te en n+ + +e e+ +e e+ +e en

21、n- -n n+ +n n e en n+ + +e e+ +e e+ +e en n- -n n+ +n n e en n+ + +e e+ +e e+ +e en n- -n n+ +n n zxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGG1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E，上式中：上式中： )1(2EGn n+ + 二、例题二、例题 例例9-5 在一体积较大的钢块上有不断径为在一体积较大的钢块上有不断径为50.01mm的凹座，的凹座，凹座内放置不断径为凹座内放置不断径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱遭到的钢制圆柱如图，圆柱遭到P=300kN

22、的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取取E=200GPa，n=0.30。PpPP/AppppMPa153MPa43. 8p321- - - - - - ， 柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为： 求得：求得： MPa43. 83 . 011020002. 03 . 0153p5 - - - - 32121530.0002ppEEEEEEennnn- -+ 由广义虎克定律：由广义虎克定律： 0002. 055001. 52 - - e e 在轴向紧缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹在轴向紧缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀

23、到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压。柱体内任一点均为二向均压应力形状，柱内任一点的径向与周向应力均为应力形状，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，思索到柱与凹座，思索到柱与凹座之间的间隙，可得应变之间的间隙，可得应变e2的值为：的值为： MPa153)50(410300AP233- - - - - - 解：在柱体横截面上的压应力为：解：在柱体横截面上的压应力为：NoImage12340pDtNApDDt24pDt4NoImageNoImageNoImagepxyxyt2yx+一、一点的应力形状一、一点的应力形状 1.一点的应

24、力形状：经过受力构件一点处各个不同截面一点的应力形状：经过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。上的应力情况。 2.研讨应力形状的目的：找出该点的最大正应力和剪应力研讨应力形状的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研讨构件破坏缘由并进展失效分数值及所在截面的方位，以便研讨构件破坏缘由并进展失效分析。析。二、研讨应力形状的方法二、研讨应力形状的方法单元体法单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOyyyyzzzztzytzytyztyztyztyztzytzy

25、tyxtyxtyxtyxtxytxytxytxyxxxxtzxtzxtxztxztzxtzxtxztxz应力与应变分析应力与应变分析 1应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标一样时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标一样时，只用一个角标表示。2面的方位用其法线方向表示面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyzt t t tt t t tt t t t，3.截取原始单元体的方法、原那么截取原始单元体的方法、原那么用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件外形笛卡尔坐标和极坐标，

26、依问题和构件外形 而定而定)在一点截取，因其微小，一致看成微小正六面体在一点截取，因其微小，一致看成微小正六面体 单元体各个面上的应力知或可求；单元体各个面上的应力知或可求；几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量应力与应变分析应力与应变分析PMeMePPMeMec) 同同b)，但从，但从上外表截取上外表截取Ct t b) 横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba) 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面AP/AP/A tMe/WntMe/WnABCBCAPCABtBtBtCtCCCCCAAAA三、应力形状分

27、类三、应力形状分类(按主应力按主应力) 1. 主平面：单元体上剪应力为零的面；主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；主平面； 主应力：主平面上的正应力，用主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，表示， 有有s1s2s3。应力与应变分析应力与应变分析旋转旋转yxz223311xyzxxzztxytxytxztxztzxtzxtzytzytyztyztyxtyxyy2.应力形状按主应力分类：应力形状按主应力分类： 只需一个主应力不为零称单向应力形状；只需一个主应力不为零称单向应力形状； 只

28、需一个主应力为零称两向应力形状只需一个主应力为零称两向应力形状(平面应力形状平面应力形状)； 三个主应力均不为零称三向应力形状三个主应力均不为零称三向应力形状(空间应力形状空间应力形状)； 单向应力形状又称简单应力形状，平面和空间应单向应力形状又称简单应力形状，平面和空间应力形状又称复杂应力形状。力形状又称复杂应力形状。 应力与应变分析应力与应变分析一、平面应力分析的解析法一、平面应力分析的解析法 1.平面应力形状图示：平面应力形状图示： yytyxtyxtxytxyxxxxxxtxytxyyyyyxxtyxtyx应力与应变分析应力与应变分析2.恣意恣意a角斜截面上的应力角斜截面上的应力xxt

29、xytxyyyyyxxtyxtyxABxy nt t txxtxytxytyxtyxyyxdAxx ：0tdAttcos)cos(dAxy+tsin)sin(dAyx-cos)sin(dAy-sin)cos(dAx+0 ：0ndAtsin)cos(dAxy+tcos)sin(dAyx+sin)sin(dAy-cos)cos(dAx-0yytxytxytyxtyx 得得 +-+ttt2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx应力与应变分析应力与应变分析符号规定：符号规定：a角角以以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s拉为正，压为负拉为正

30、，压为负t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位：主应力及其方位： 由主平面定义，令由主平面定义，令t =0，得：，得： yxxyt-22tan0可求出两个相差可求出两个相差90o的的a0值，对应两个相互垂直主平面。值，对应两个相互垂直主平面。令令0ddyxxyt-22tan0得：得：即主平面上的正应力获得一切方向上的极值。即主平面上的正应力获得一切方向上的极值。 应力与应变分应力与应变分析析 主应力大小：主应力大小： )(2222t+-+xyyxyx由由s、s、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出：s1s2s3 判别判别s、

31、s作用方位作用方位(与两个与两个a0如何对应如何对应) txy txy箭头指向第几象箭头指向第几象限限( (一、四一、四) )，那么，那么(较大较大主应力主应力) )在第几象限，即先在第几象限，即先判别判别大致方位，再判别大致方位，再判别其与算得的其与算得的00相对应，还相对应，还是与是与0+90o0+90o相对应。相对应。 o90yx+ + + + + + + + txtxy y 00* *txtxy y00* *应力与应变分应力与应变分析析4.极值切应力：极值切应力： 令：令： ，可求出两个相差，可求出两个相差90o 的的 a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。，代表两个相互垂直的极值切

32、应力方位。0tddxyyx122tgt t - - 极值切应力：极值切应力： 2 22xy2yx - - t t+ + - - t tt t102tg12tg - - (极值切应力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分应力与应变分析析 - -+ + + t t - - -+ + +- - MPa3 .2060cos)20(60sin24030MPa8 .2960sin)20(60cos2403024030)1oooo解：解：403020单位：单位：MPa tt( () )，主单元体如上，主单元体如上，o00321229 .144030202tgMPa3 .45 0MPa3

33、.35MPa3 .45MPa3 .35202403024030 )2 + +- - - - - - - + + + - - MPa3 .402 )3 - - t tt t)(C)4o90应应力力之之和和为为常常数数元元体体任任意意垂垂直直平平面面上上正正同同一一单单讨讨论论并并证证明明： + + + + + + 40203014.9o 例一例一 图示单元体，试求：图示单元体，试求：a=30o斜斜截面上的应力；截面上的应力； 主应力并画出主单元主应力并画出主单元体；极值切应力。体；极值切应力。t tABCDx45o-45oMeMeDCBA33111133分析圆轴改动时的应力形状分析圆轴改动时的应

34、力形状( ( ) )o00224502tg2020 )2 t t- - t t t t+ + 主主单单元元体体如如右右，t t- - t t 0)33214)圆轴改动时，横截面为纯剪切应圆轴改动时，横截面为纯剪切应 力形状，最大拉、压应力在与轴力形状，最大拉、压应力在与轴 线成线成45o斜截面上，它们数值相斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性资料对于塑性资料(如低碳钢如低碳钢)抗剪才干差，改动破坏时，抗剪才干差，改动破坏时， 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性资料对于脆性

35、资料(如铸铁、粉笔如铸铁、粉笔)抗拉性能差，改动破抗拉性能差，改动破 坏时，通常沿与轴线成坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。的螺旋面发生拉断。neW/MABCD)1 t t：单单元元体体围围绕绕圆圆轴轴外外表表面面一一点点取取解解：例例9-2 分析圆轴改动时的应力形状。分析圆轴改动时的应力形状。 二、平面应力分析的图解法二、平面应力分析的图解法应力圆应力圆 1.实际根据：实际根据： t t+ + - - t t t t- - - - + + + + 2cos2sin22sin2cos22xyyxy xxyyxyxx22xy2yx2y x2yxx22 t t+ + - - t t+ +

36、 + + - - 以以s、t为坐标轴，那么恣意为坐标轴，那么恣意a斜截面上的应力斜截面上的应力sx、txy为：为：以以) 为半径的圆。为半径的圆。 2xy2yxyx2/ )(0,2/ )(t t+ + - - + + 为为圆圆心心，以以2.应力圆的绘制：应力圆的绘制： 定坐标及比例尺；定坐标及比例尺； 取取x面，定出面，定出D( )点；取点；取y面，定出面，定出D( )点；点； xyx,t t yxy,t t 连连DD交交s轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心，DD1为直径作圆；为直径作圆； xxxxtxytxytyxtyxtxytxytyxtyxyyyyO t txyn C2020A1sB

37、1 s22(,t)E(,t)EG1tG2 t D(sy, tyx)BAD(sx, txy)tt3.应力圆的运用应力圆的运用 点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；应力； 角度对应关系：应力圆上半径转过角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转，单元体上坐标轴转过过a; 旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向一样；一样； 求外法线与求外法线与x轴夹角为轴夹角为a斜截面上的应力，只需以斜截面上的应力，只需以D为起点，为起点，按按a转动方向同向转过转动方向同向转

38、过2a到到E点，点，E点坐标即为所求应力值。点坐标即为所求应力值。 用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确，确定定D转过的角度；转过的角度；D转至转至s轴正向轴正向A1点代表点代表s所在主平面，其转过所在主平面，其转过角度为角度为2 ，转至，转至s轴负向轴负向B1点代表点代表s所在主平面；所在主平面；*0 确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点点为为t，纵轴坐标最小的，纵轴坐标最小的G2点为点为t，作用面确定方法同主应力。，作用面确定方法同主应力。求：求：1)a=30o斜

39、截面上的应力；斜截面上的应力； 2)主应力及其方位；主应力及其方位； 3)极值剪应力。极值剪应力。 Ot tD(30,-20)D(-40,20)C60o(29.8,20.3)MPa3 .20MPa8 .29oo3030 t t ，35.3-45.3MPa3 .450MPa3 .35321- - ，29.8ooo*019 .142/8 .29x 轴轴夹夹角角：与与403020单位：单位：MPax tt40.3-40.3MPa3 .40 t tt t 例例9-3 用应力圆法重解例用应力圆法重解例9-1题。题。 1.三向应力形状应力圆：三向应力形状应力圆： 平行平行s3斜截面上应力由斜截面上应力由s

40、1、s2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行s2斜截面上应力由斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行s1斜截面上应力由斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，恣意斜截面上的应力点落在阴影区内。由弹性力学知，恣意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力形状下的应力圆一、三向应力形状下的应力圆2.三向应力形状下的最大剪应力三向应力形状下的最大剪应力23113max - - t t t t tmax所在平面与所在平面与s1和和s3两个主平面夹角为两个主平面夹角为45o。 二、例题二、例题 3322

41、1122331122113333C1C31122Ot t t12t12t23t23t13t13C2 例例9-4 试确定左图所示应力形状的试确定左图所示应力形状的主应力和最大剪应力，并确定主平主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：解： 给定应力形状中有一个主给定应力形状中有一个主应力是知的，即应力是知的，即sz=90MPa。因。因此，可将该应力形状沿此，可将该应力形状沿z方向投方向投影，得到平面应力形状，可直接影，得到平面应力形状，可直接求主应力及其方位。求主应力及其方位。 sx=300MPa，sy=140MPa，txy

42、=-150MPa，因此：，因此：MPa50390170220)150()2140300(214030022minmax - -+ +- - + + 根据根据s1、s2、s3的陈列顺序，可知：的陈列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa xzyxzy90300150140Ay140y140txy150txy150 x300 x300A视视22y31o31o11x33主应力方位：主应力方位： o0o0o0yxxy0121231622815140300150222tg + + - - - - - - - t t- - 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角最大剪应力所在平面

43、法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或-14o。 MPa170250390231max - - - - t t单元体内的最大剪应力：单元体内的最大剪应力： 一、广义虎克定律一、广义虎克定律1.有关概念：有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示；表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：广义虎克定律： 推导方法：叠加原理推导方法：叠加原理主应变与主应力关系：主应变与主应力关系： + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e + + n n- -

44、e e+ +e e+ +e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e)(E1)(E1)(E1213 3333132 2222321 1111普通情况：普通情况： t t t t t t + + n n- - e e + + n n- - e e + + n n- - e eG/G/G/)(E1)(E1)(E1zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx，1122331111I2222II33III11I1122II2211方向上的应变：方向上的应变：22方向上的应变：方向上的应变：33方向上的应变：方向上的应变：EEE1312111 n n- - e e n

45、 n- - e e e e EEE2322212 n n- - e e e e n n- - e e E E E 3332313 e e n n- - e e n n- - e e III33 + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e + + n n- - e e+ +e e+ +e e e e)(E1 )(E1 )(E1 213333313222223211111用应变表示应力：用应变表示应力： t t t t t te en n+ + +e e+ +e e+ +e en n- -n n+ +n n e en

46、n+ + +e e+ +e e+ +e en n- -n n+ +n n e en n+ + +e e+ +e e+ +e en n- -n n+ +n n zxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGG1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E，上式中：上式中： )1(2EGn n+ + 二、例题二、例题 例例9-5 在一体积较大的钢块上有不断径为在一体积较大的钢块上有不断径为50.01mm的凹座，的凹座，凹座内放置不断径为凹座内放置不断径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱遭到的钢制圆柱如图，圆柱遭到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。的