导数与生活中的优化问题及综合应用

1、会计学1导数与生活中的优化问题及综合应用导数与生活中的优化问题及综合应用第1页/共45页考向 1 利用导数解决实际生活中的优化问题【典例1】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值.(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润f(x)最大.ax 3第2页/共45页【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点(5,11),将其代入

2、可求得a的值.(2)利润为f(x)=(每件产品的售价-每件产品的成本)销量,表示出函数解析式后,可借助导数求最值.第3页/共45页【规范解答】(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,所以a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) +10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3xf(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是( )(A)f(a)eaf(0) (B)f(a)eaf(0)(C)f(a) (D)f(a) af 0e af 0e第10页/共45页(2)(2012辽宁高考)设f(x)=ln(

3、x+1)+ +ax+b(a,bR,a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线 在(0,0)点相切.求a,b的值;证明:当0 x2时，f(x)0，g(x)在R上为增函数，又a0.g(a)g(0)，即即f(a)eaf(0). xf xe， xx2xxf x ef x ef x f xee a0f af 0,ee第13页/共45页(2)由yf(x)过(0,0)点，得b1.由yf(x)在(0,0)点的切线斜率为又得a0.32，x 0 x 0113y(a)ax 122 x 1 ，第14页/共45页方法一：由基本不等式，当x0时， x11x2，故记h(x) 则2 (x 1)1xx 11.2 9xf xx 6，

4、 221154h xx 1 2 x 1x 62x 1542 x 1x 6 第15页/共45页令g(x)(x6)3216(x1)，则当0 x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)内是减函数，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是减函数，又h(0)0，得h(x)0.于是当0 x2时，f(x)f(b)的形式.(2)对形如f(x)g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x).(3)对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x).【提醒】解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数

5、或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论.第19页/共45页2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)结论.第20页/共45页【变式训练】设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证:当aln2-1且x0时,exx2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xR知f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0,得x=ln2,于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表.x x(-,ln2)(-,ln2)ln

6、2ln2(ln2,+)(ln2,+)f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)单调递减单调递减2(1-ln2+a)2(1-ln2+a)单调递增单调递增第21页/共45页故f(x)的单调递减区间是(-,ln2),单调递增区间是(ln2,+),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为2(1-ln2+a).第22页/共45页(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln2-1时,g(x)的最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.于是当aln2-1时,对任意x(0,+)

7、,都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+),g(x)0.即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.第23页/共45页考向 3 利用导数研究函数的零点【典例3】(1)方程x3-3x=k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是.(2)(2012福建高考)已知函数f(x)=axsinx- (aR),且在0, 上的最大值为 ,求函数f(x)的解析式;判断函数f(x)在(0,)内的零点个数,并加以证明.32232第24页/共45页【思路点拨】(1)设f(x)=x3-3x-k,利用导数求出f(x)的极值,由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解.(2)利用导数求出f(x)在0

8、, 的最大值,据此求出a的值;先根据零点存在性定理,判断出根的存在情况,再利用函数的单调性证明.2第25页/共45页【规范解答】(1)设f(x)=x3-3x-k,则f(x)=3x2-3,令f(x)=0得x=1,且f(1)=-2-k,f(-1)=2-k,又f(x)的图象与x轴有3个交点,故 -2k2.答案:(-2,2)2 k 02 k 0, ，第26页/共45页(2)由已知f(x)a(sinxxcosx)，对于任意x(0， )，有sinxxcosx0.当a0时，f(x) ，不合题意；当a0，x(0， )时，f(x)0，从而f(x)在(0， )内单调递减，又f(x)在0， 上的图象是连续不断的，故

9、f(x)在0， 上的最大值为f(0) ，不合题意；232222232第27页/共45页当a0，x(0， )时，f(x)0，从而f(x)在(0， )内单调递增，又f(x)在0， 上的图象是连续不断的，故f(x)在0， 上的最大值为f( )，即 ，解得a1.综上所述，得f(x)xsinx .2222233a22232第28页/共45页f(x)在(0，)内有且只有两个零点.理由如下：由知，f(x)xsinx ，从而有f(0) 0. 0，又f(x)在0， 上的图象是连续不断的.所以f(x)在(0， )内至少存在一个零点.又由知f(x)在0， 上单调递增，故f(x)在(0， )内有且仅有一个零点.323

10、23f( )222222第29页/共45页当x ，时，令g(x)f(x)sinxxcosx.由g( )10，g()0，且g(x)在 ，上的图象是连续不断的，故存在m( ，)，使得g(m)0.由g(x)2cosxxsinx，知x( ，)时，有g(x)0，从而g(x)在( ，)内单调递减.当x( ，m)时，g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在( ，m)内单调递增，22222222第30页/共45页故当x ，m时，f(x)f( ) 0，故f(x)在 ，m上无零点；当x(m，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在(m，)内单调递减.又f(m)0，f()0，且f(x)在m，

11、上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点.22232第31页/共45页【互动探究】在本例题(1)中,若改为“方程只有一个实数根”,其他条件不变,求k的取值范围.【解析】要使原方程只有一个实数根,只需2-k0,解得k2或k0).则f(x)=3ax2+2bx+c.方程f(x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)0即b23ac时,f(x)0恒成立,f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=0有唯一一个实根.第33页/共45页(2)当0即b23ac时,方程f(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1m).

12、当m0时,方程f(x)=0有唯一一个实根;当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;当m0时,方程f(x)=0有三个实根;当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;当M0时,方程f(x)=0有一个实根.第34页/共45页【变式备选】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.第35页/共45页【解析】(1)f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0,故当a0时,由f(x)0解得x ;由f(x)0解得- x0时,f(x)的单调递增区间为(-,- ),( ,+);f(

13、x)的单调递减区间为(- , ).aaaaaaaa第36页/共45页(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).第37页/共45页第38页/共45页第39页/共45页第40页/共45页【规范解答】(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=1

14、1,所以a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) +10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x6.从而f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).a22x 32x 3第41页/共45页【规范解答】(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,所以a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) +10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x6.从而f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).a22x 32x 3第42页/共45页方法一：由基本不等式，当x0时， x11x2，故记h(x) 则2 (x 1)1xx 11.2 9xf xx 6， 221154h xx 1 2 x 1x 62x 1542 x 1x 6 第43页/共