第八章 多元函数微分法及其应用(上)

1、1高等数学(下)同济大学第五版同济大学第五版 2第第八八章章 多多元元函函数数微微分分法法及及其其应应用用 前面讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法极其应用.主要讨论二元的情况. 第第一一节节 多多元元函函数数的的基基本本概概念念 一一、平平面面点点集集 n 维维空空间间 1. 1. 平面点集平面点集 平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作 P),(),(具有性质yxyxE . 例如,平

2、面上一原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为 222),(ryxyxC. 3 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx点点0P的的去去心心邻邻域域, ,记记作作),(0PU, ,即即20200)()(0),(),(yyxxyxPU 4（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果

3、存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集5的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上

4、的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 6连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo70| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正

5、数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx8（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点9 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但

6、不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合102. n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称 n 元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为 n 维维空空间间，而而每每个个 n 元元数数组组),(21nxxx称称为为 n 维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第 i 个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 11),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxy

7、xyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为12 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. .二、多元

8、函数的概念二、多元函数的概念当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数13例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 14二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 15xyzoxyzsin 例如例如,图形如右

9、图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:16定义定义 1 1 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为 D, ,),(000yxP是其聚点，如果存在常数是其聚点，如果存在常数 A, 对于任意对于任意给定的正数给定的正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等，使得对于适合不等式式 20200)()(|0yyxxPP的一切的一切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyx

10、yx),(lim),(),(00. . （或（或)0(),( Ayxf, ,这里这里|0PP ）.三、多元函数的极限17说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限.（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似18证证例例2 2 求证求证 . 01sin)(lim2222) 0 , 0(),(yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成

11、立19解解222)0,0(),()sin(limyxyxyx,)sin(lim22222)0, 0(),(yxyxyxyxyx其中其中yxyxyx22)0, 0(),()sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim222)0 , 0(),(yxyxyxyxu2 例例3 3 求极限求极限 222)0,0(),()sin(limyxyxyx20例 4 2)0, 0(),()()cos(1limxyxyyx22)0,0(),()(2sin2limxyxyyx22)0,0(),()()2(2limxyxyyx21.例 5 xyxyxyyx11li

12、m)0, 0(),()11(2lim)0,0(),(xyxyxyxyyxxyxyyx112lim)0,0(),(1.21 在一元函数的极限中,0 xx 的方式可以任意；同理,在二元函数的极限中,),(),(000yxPyxP的方式更为复杂,它要求P以任何方式趋于0P时, ),(yxf均趋于A.因此,假如P以不同的方式趋于0P时,),(yxf趋于不同的极限,则说明),(yxf当0PP 时无极限.例 6 考察22),(yxxyyxf当)0 , 0(),(yx时的极限.解 沿x轴考察,0),(lim0 )0, 0(),(yxfyyx；沿y轴考察,0),(lim0 )0, 0(),(yxfxyx；但如

13、果沿射线)0( kkxy,则22 )0,0(),(limyxxykxyyx22220limxkxkxx012kk,因此,当)0 , 0(),(yx时,22yxxy无极限.22（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim),(),(00yxfyxyx存在，但两者不相等，此时也可断言存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：23 设设n元函数元函数

14、)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.四、多元函数的连续性定义定义3 324例例7 7 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin

15、33 2 25 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx26例例8 8 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续27闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连

16、续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理28例例9 9 求求.11lim)0, 0(),(xyxyyx解解 原式原式) 11(11lim)0, 0(),(xyxyxyyx111lim)0, 0(),(xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000

17、PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的29定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一的某一邻域内有定义，当邻域内有定义，当 y 固定在固定在0y而而 x 在在0 x处有增处有增量量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则存在，则称此极限为函数称此极限为函数

18、),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的偏导数，记为的偏导数，记为第二节 偏导数一、偏导数的定义及其计算法30同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y 的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.31如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域 D 内任一点内任一点),(yx处对处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导

19、数就是就是 x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量 x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量 y 的偏的偏导数，记作导数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.32偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzy

20、xfzz 33例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 34例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立35例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 36 yz yy

21、xxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在37例4 223arctan)2(),(yxxyxxyyxf,求) 1 , 2(yf .解 32), 2(yyfy,6) 1 , 2( yf.此题若先求出),(yxfy,再代入,则麻烦.38偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0

22、|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 39、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，404、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图41 偏偏

23、导导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对 x 轴轴的的斜斜率率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对 y 轴轴的斜率的斜率.几何意义几何意义: :42),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上

24、的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数43例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx44例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax

25、 45定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 7 7 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu46解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(2

26、22222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 例例 7 7 验验证证函函数数22ln),(yxyxu 满满足足方方程程. 02222 yuxu47),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得第三节 全微分48 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),

27、(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念49 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为全微分的定义全微分的定义)( oyBxAz ，其其中中BA,不不依依赖赖于于yx ,而而仅仅与与yx,有有关关, ,22)()(yx ，则则称称函函数数),(yxfz 在在点点

28、),(yx可可微微分分，yBxA 称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分，记记为为dz，即即 dz= =yBxA . . 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.50 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上,),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.51可微的条件定定理理1 1（必必要要条条

29、件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 52证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 53多元函数的各偏导数存在多元函数

30、的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 54如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 即当即当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 ,

31、 0(处不可微处不可微.说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在微分存在.55定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分 ( (证证略略) )习惯上，记全微分为yyzxxzzddd. 以上内容类似地可以推广到三元或三元以上的多元函数,如三元函数),(zyxfu 可微,则全微分为zzuyyuxxuudddd.56 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),

32、(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题57例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分58例例 2 2 计算函数计算函数yze

33、yxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 59多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导60全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),

34、(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 61例例 3 3 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 62证略证略第四节 多元复合函数的求导法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点 t 可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续

35、偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点 t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz uvtz63uvwxz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为xzdd类似地,若中间变量为三个,),(wvufz ,)(xu,)(xv,)(xw,则复合函数)(),(),(xxxfz的导数为xwwzxvvzxuuzxzdddddddd.64中间变量是多元函数的情况：中间变量是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导

36、数，且函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .65uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 66xwwzxvvzxuuzxz ,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz .类 似 地 , 设),(wvufz ,),(yxu,),(yxv,),(yxw,则复合函数),(),(),(yxyxyxfz的偏导数为67即即

37、,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似68例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzy

38、v 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 69例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 70 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f 具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 71 zx

39、w2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf ),(xyzzyxfw 72 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，仍有时，仍有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的

40、全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、全微分形式不变性73dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 74例例 4 4 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和 yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe所以所以750),(. 1 yxF第五节 隐函数的求导公式隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数

41、),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形76例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y

42、的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 77函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd78例例 2 2 已知已知xyyxarctanln

43、22 ，求，求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 注注: : 也也可可用用一一元元隐隐函函数数求求导导法法求求解解. .790),(. 2 zyxF二二元元隐隐函函数数存存在在定定理理 设函数),(zyxF满足:1) 0),(000zyxF；2) 在点),(000zyxP的 某一邻域内F具有 连续偏导数zyxFFF,；3) 0),(000zyxFz,则在点),(000zyxP的某一邻域内存在惟一的隐函数),(yxfz , 满 足0),(,yxfyxF( 当 然),(000yx

44、fz),且有连续的偏导数zxFFxz, zyFFyz.(证略)80推导: 0),(,),(yxfyxFzyxF,对x求偏导,得0 xzFFzx,而0zF zxFFxz.对y求偏导,得 0 yzFFzy,而0zF zyFFyz.81例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解法一解法一令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 82例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解法二 视z为yx,的二元函数),(yxzz ,方程两边关于x求偏导,得0422xzxzzx, zxxz2,上式两边再次关于x求偏导,02122222xzxzzxz,解得zxzxz21222322)2()2(zxz.83例例 4 4 设设 ),(xyzzyxfz ，求求xz ，