角动量和角动量守恒定律

1、角动量、角动量守恒定律1、质点的角动量vmrPrL讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理和角动量守恒定律。一、质点的角动量定理和角动量守恒定律mvLL rrmv设质量为m的质点在时刻t以速度 运动，它对所取参考点O的角动量定义：vvmrPrL说明：说明：1）角动量为一矢量sinLrmv大小：mvLL rrmv方向：右手螺旋关系2）质点的角动量与位矢、动量有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。3）圆周运动质点对圆心的角动量2Lrmvmr大小：方向：垂直与圆周所在平面。2、质点的角动量定理在时间过程中力矩和角动量的关系。()dm vFd t()drFrm vd t因为：()

2、()()dddrrmvrmvmvdtdtdt设质量为m的质点，在合外力 作用下，其运动方程为：F质点对参考点O的位矢为 ，故以 叉乘上式两边，有：rr()0drmvvvdt其中：所以：()drFrmvdt作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律在形式上是相似的，MF上式还可写成：MdtdL合力 对参考点0的合力矩：FMrF()ddLMrmvdtdtLP力矩与作用时间的乘积，叫做冲量矩2121ttMdtLLL 质点的角动量定理质点的角动量定理： 对同一参考点0，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。2121ttMdtLLL 说明：说明：1）质点的

3、角动量定理来自于牛顿第二定律，因此适用范围为：质点，惯性系2）质点的角动量定理建立了角动量(状态量)和冲量矩(过程量)的关系。在某些情况下可以简化计算。3）质点的角动量定理计算冲量矩的力矩，和质点的角动量必须相对同一同一参考点。6 例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里cosmgRM 由质点的角动量

4、定理tLmgRddcosmgNB7tLmgRddcostmgRLdcosd考虑到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 1. 定轴转动刚体的角动量2iiiormL 即o对 的角动量：imiiiiovmrL方向：沿大小：2iiiiiioiormvmrLLo转轴 角速度刚体上任一质点 转轴与其转动平面交点 绕 圆周运动半径为 imzimoirivimor转动转动平面平面zi二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不 同的

5、圆周运动； (2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。刚体对 z 轴的总角动量为：22ii ii iiiiLLm rm rJ式中iiirmJ2刚体对轴的转动惯量=LJ刚体对轴的角动量为：2iiiormL 2、刚体的角动量定理对N个质点 组成的质点系(刚体)，由Nmmm,21tLFrMdd可得内外内外内外NNNMMtLMMtLMMtLdddddd222111两边求和得ddiiiiiiLMMt外内定义:质点系的角动量等于所有质点角动量的矢量和iiLLddiiiiLMMt外内因此:说明：1.在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩注意：作用于系统的外力矢量

6、和为零时，合力矩不一定为零如图的一对力偶，其矢量和为零，而合力矩不为零。2.一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力矩之和恒为零，即0 iiM内证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零0)( ijijijjiijjijijijijifrfrrfrfrfrfrM内ddiiiiLMMt外内于是：外外iiFrMtLidd质点系总角动量的时间变化率等于质点系所有外力矩的矢量和 (合外力矩 )ddddiiiiiiLLMMtt外内注意： 合外力矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。外M0 iiM内刚体可以视为质点系，因而质点系的角动量定理对定轴转动的刚体仍然适用。对于定轴转动

7、刚体：()dddMLJJJdtdtdt刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的一种特殊形式。积分：221121tLtLM dtdLLLL 对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。当转轴给定时，作用在刚体上所有外力的冲量矩等于刚体角动量的增量。叫做刚体角动量定理3、质点系(刚体)角动量守恒定律212211ttM dtJJ考虑到定轴转动刚体的角动量公式，刚体的角动量定理也可改写为：根据质点系的角动量定理：ddLMt外若合外力矩0M外则系统的角动量为一常矢量(不随时间变化)。=LL 末初角动量守恒定律条件条件结论结论讨论：1) 角动量守恒定律

8、是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。2) 角动量守恒定律的条件和结论即使用于单个质点，也适用于质点系，刚体，或者是若干质点和刚体组成的混合系统。3) 角动量守恒定律的0M有两种情况：0F0F通过参考点O，即F/F r5）单个质点角动量守恒的情况：匀速直线运动：对任意参考点而言角动量守恒。匀速率圆周运动：对圆心而言角动量守恒。质点在有心力的作用下运动：对有心力的中心而言角动量守恒。6）万有引力是典型的有心力。因此地球绕太阳的公转角动量守恒。4）对于不同的系统，判断角动量守恒的条件完全相同。差别在于系统角动量的计算公式不同。所有角动量必须相对同

9、一参考点。7）动量守恒的系统角动量必然守恒，反之则不一定。因此角动量守恒定律的使用范围比动量守恒定律更加广泛。18星系为什么是扁平的？粗略的解释：星系具有原始角动量L 星系在氧化的过程中可以认为角动量(近似)守恒因此在垂直角动量方向不能无限收缩。LJ不过在平行角动量方向缺不受这一限制。20 例：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m = 1 kg 的滑块，如图所示弹簧自然长度l0= 0.2 m，劲度系数k =100 Nm-1. 设t = 0时，弹簧长度为l0，滑块速度v0 = 5 ms-1，方向与弹簧垂直以后某一时刻，弹簧长度l =0.5 m 求该时刻滑块速度 的大小和夹角

10、vlvl00v21sin00lmlmvv20220)(212121llkmmvv12020sm4)(mllkvv30)arcsin(00llvv解：由角动量守恒和机械能守恒可得 lvl00v22 例2 一质量 的登月飞船, 在离月球表面高度 处绕月球作圆周运动.飞船采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知月球半径 ; 在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm

11、100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g23 解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g已知求 所需消耗燃料的质量 .m2421)(220vvvARmhRmBvv)(0 当飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里 , 飞船的质量减少了m 而为 , 并获得速度的增量 , 使飞船的速度变为 , 整个喷气过程动量守恒。vAvmu质量 从 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒m0

12、vAvBBvuvhORA0()mmu vv机械能守恒1122MMm mm mGGRhR22ABm vm v25例 一个物体可以绕定轴作无摩擦的匀速转动。当它受热或受冷（即膨胀或收缩）时，角速度是否改变？为什么？角动量守恒应用：当膨胀时， I I当收缩时：0043)(mvvvmfdt子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：Jdtflldtf因, 由两式得ff200314943MlJMlmvJlmv 这里解:以 代表棒对子弹的阻力,对子弹有:f例 、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为 ,质量为 。Ml014vv0,m

13、 vf Ml27 例 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒28l0712 v由角动量定理tItItLMddd)(ddd trmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvv

14、lg29例、体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端，他们由初速度为零向上爬，经过一段时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是A、甲先到达 B、乙先到达C、同时到达 D、谁先到达不能确定C正确30 例 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh 解 碰撞前 M 落在 A点的速度21M)2( ghv 碰撞后

15、的瞬间, M、N具有相同的线速度2lu m31 把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒21M)(2gh v2lu 22M11222122llmImum lmlvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得演员 N 以 u 起跳, 达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh例 .已知：两平行圆柱在水平面内转动，求：接触且无相对滑动时202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.12解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则：J1 + J2 系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正： 12211202101JJJJ接触点无相对滑动： 22211RR又： 3212111RmJ 4212222RmJ 联立1、2、3、4式求解，对不对？ o2F2o1.F1f1f212分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f20 )2(0