概率论与数理统计JA(48,5-6)1

1、第一章 概率论的基本概念上节课内容复习：上节课内容复习：;1)(20 SP;)(010AP )()()(2121APAPAAP则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,3201AA概率的定义及性质：概率的定义及性质：;0)(1 P性质性质则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若性性质质,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn 第一章 概率论的基本概念)(3ABPBA 性性质质)(6AP性性质质)(5AP性质性质)(7BAP性性质质)(8CBAP性性质质);()(APBP ;1 ;)(1AP ;)()()(ABPBPAP )()()()()()()(ABCPBCP

2、ACPABPCPBPAP )(4ABP 性性质质);()(ABPBP 性质性质 9有有个事件个事件对任意对任意,21nAAAn niiAP1 niiAP1 njijiAAP1 nkjikjiAAAP1 nnAAAP2111 nkAP )(第一章 概率论的基本概念.中中基基本本事事件件总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SA 实际推断原理：实际推断原理：小概率事件在一次试验中几乎是不小概率事件在一次试验中几乎是不发生的。发生的。3 3 条条 件件 概概 率率一一 条条 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 定定 理理三三 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式目目 录录 索索 引引第一章

3、概率论的基本概念3条件概率一、条一、条 件件 概概 率率 条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件它所考虑的是事件 B 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 A 发生的概率。发生的概率。第一章 概率论的基本概念3条件概率设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且0)( BP则称事件则称事件A在在“事件事件B已发生已发生”这一附加条件下的这一附加条件下的概率为在事件概率为在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A的条件概率，的条件概率，简称为简称为A在在B之下的条件概率，记为之下的条件概率，记为 BAP1）条

4、件概率的定义：）条件概率的定义：例例 1 两台车床加工同一种零件共两台车床加工同一种零件共100个，结果如下个，结果如下 合格品数合格品数 次品数次品数 总计总计第一台车床加工数第一台车床加工数 30 5 35第二台车床加工数第二台车床加工数 50 15 65总总 计计 80 20 100第一章 概率论的基本概念3条件概率设设A= 从从100个零件中任取一个是合格品个零件中任取一个是合格品 B=从从100个零件中任取一个是第一台车床加工的个零件中任取一个是第一台车床加工的 解：解： 3530 BAP ,10080 AP ,10080 AP ,10030 ABP . )|(,),(,BAPABP

5、BPAP求求： ,10035 BP注：注：由例由例1可以看出，事件可以看出，事件A在在“事件事件B已发生已发生” 这附这附 加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的 第一章 概率论的基本概念 BPABPBAP 但有但有称为在事件称为在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A的条件概率，的条件概率，简称为简称为A在在B之下的之下的条件概率条件概率。 0 BP设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且 BPABPBAP 则则因此，有下面的因此，有下面的定义：定义：2）条件概率的性质：）条件概率的性质： 0)1( BAPA，有有

6、非非负负性性：对对任任意意事事件件 ；规规范范性性：1)2( BSP则则两两两两互互不不相相容容，事事件件可可列列可可加加性性：如如果果随随机机nAAA21)3(第一章 概率论的基本概念3条件概率 11nnnnBAPBAP因此条件概率也是概率，它也具备概率的其它性质。因此条件概率也是概率，它也具备概率的其它性质。例例 2 已知某家庭有已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率孩，求该家庭至少有一个男孩的概率 而而 BP 86 ABP BAP 所求概率为所求概率为解：解：设设 B= 3个小孩至少有一个女孩个小孩至少有一个女孩 A= 3个小孩至

7、少有一个男孩个小孩至少有一个男孩 第一章 概率论的基本概念 768786 BAP所所以以 878111 BP BPABP 3条件概率二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义由条件概率的定义 APABPABP 我们得我们得 ABPAPABP 这就是两个事件的这就是两个事件的乘法公式乘法公式第一章 概率论的基本概念3条件概率1）两个事件的乘法公式：）两个事件的乘法公式：2）多个事件的乘法公式）多个事件的乘法公式个个随随机机事事件件，且且为为，设设nAAAn21 0121 nAAAP 则有则有 nAAAP21这就是这就是n个事件的个事件的乘法公式乘法公式 第一章 概率论的基本概念3条件概率 1AP

8、12AAP 213AAAP 121 nnAAAAP例例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解解 次次都都未未取取出出黑黑球球取取了了设设nB niiAi，次次取取出出白白球球第第21 则则,21nAAAB 由乘法公式，我们由乘法公式，我们有有第一章 概率论的基本概念 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11

9、 n3条件概率 例例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为 7/107/10 , ,若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次。求透镜落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”

10、，有有)()(321AAAPBP 第一章 概率论的基本概念)|()|()(213121AAAPAAPAP .2003)1091)(1071)(211 ( 3条件概率三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式;, 2 , 1,=njijiAAji .21SAAAn 定义定义 设设 S 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间， 为为 E 的一组事件。若满足的一组事件。若满足 (1) (2) 则称则称 为样本空间为样本空间 S 的一个有限划分的一个有限划分. nAAA,21nAAA,21第一章 概率论的基本概念3条件概率1 1）全）全 概概 率率 公公 式：式：设随机事件设随机事件的的是

11、是样样本本空空间间 SAAAn,21 两两两两互互不不相相容容；nAAA,121 ; 21SAnkk ;, 2, 103nkAPk .1 nkkkABPAPBP则有则有第一章 概率论的基本概念3条件概率一一个个有有限限划划分分，即即SAnA1A2.BA1BA2.BAn =21nBABABAB全概率公式的证明：全概率公式的证明：由条件：由条件：nkkASB1 得得 nkkBAB1 而且由而且由两两互不相容，两两互不相容，nAAA,21也也两两两两互互不不相相容容；得得BABABAn,21A1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABABS第一章 概率论的基本概念3条件概率全概率公式的证明

12、（续）全概率公式的证明（续）所以由概率的可加性，得所以由概率的可加性，得 nkkBAPBP1得得 得得，再由条件再由条件nkAPk, 2, 10 kkkABPAPBAP nkkknkkABPAPBAPBP11第一章 概率论的基本概念3条件概率全概率公式的使用：全概率公式的使用：我们把事件我们把事件B 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因因，看看作作该该过过程程的的若若干干个个原原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可

13、用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即即求求第一章 概率论的基本概念3条件概率 例例5 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、四名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率标的概率 解：解： 标标该该小小组组在在比比赛赛中中射射中中目目设设 B 4

14、321 ，级级射射手手参参加加比比赛赛选选 iiiA由全概率公式，有由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念 41iiABPiAPBP32. 020345. 020964. 020685. 0202 5275. 0 3条件概率2 2）贝叶斯（）贝叶斯（BayesBayes）公式公式 )|(BkAP第一章 概率论的基本概念3条件概率设随机事件设随机事件的的是是样样本本空空间间 SAAAn,21 两两两两互互不不相相容容；nAAA,121 ; 21SAnkk ;, 2, 103nkAPk 一一个个有有限限划划分分，即即则有：则有：)()(BPBkAPnknjjABPjAPkABPkAP, 2 ,

15、1,1)|()()|()( BayesBayes公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件B 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因因，看看作作该该过过程程的的若若干干个个原原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个个原因引起的概率，则用原因引起的概率，则用Bayes公式公式 BAPi即求即求第一章 概率论的基本概念3条件概率说明：说明：全概率公式

16、，全概率公式， BayesBayes公式中公式中 可以是可以是. n第一章 概率论的基本概念3条件概率例例 6 （艾滋病普查）（艾滋病普查） 有一种血液试验能检验出身体中艾滋病病毒的某种抗体的存有一种血液试验能检验出身体中艾滋病病毒的某种抗体的存在性在性. 可能会有两种误诊可能会有两种误诊. 首先，它可能对某些真有艾滋病的人首先，它可能对某些真有艾滋病的人作出没有艾滋病的诊断，这就是假阴性作出没有艾滋病的诊断，这就是假阴性. 其次，它也可能对某其次，它也可能对某些没有艾滋病的人误诊为患有艾滋病，这就是所谓的假阳性些没有艾滋病的人误诊为患有艾滋病，这就是所谓的假阳性. 假设该血液试验的灵敏度（即

17、真有病的人的试验结果假设该血液试验的灵敏度（即真有病的人的试验结果呈阳呈阳性的概率性的概率）为）为95%，因此，因此，5%的患有艾滋病的人的血液试验的患有艾滋病的人的血液试验结果将是结果将是假阴性假阴性. 美国是艾滋病较为流行的国家之一，保守估计大约每美国是艾滋病较为流行的国家之一，保守估计大约每1000人中就有一人人中就有一人受这种病的折磨受这种病的折磨.为了有效控制和减缓艾滋病的为了有效控制和减缓艾滋病的传播速度，几年前，美国有人就提议应在申请结婚登记的新传播速度，几年前，美国有人就提议应在申请结婚登记的新婚夫妇中进行艾滋病病毒的血液试验，该项普查计划一经提婚夫妇中进行艾滋病病毒的血液试验

18、，该项普查计划一经提 而接受血液试验的不带艾滋病病毒的人中而接受血液试验的不带艾滋病病毒的人中99%的试验结果的试验结果为为阴性阴性，这意味着血液试验结果为，这意味着血液试验结果为假阳性假阳性的概率为的概率为1%.第一章 概率论的基本概念3条件概率设设 A= 被检人带有艾滋病病毒被检人带有艾滋病病毒 ， D= 试验结果呈阳性试验结果呈阳性 后，就遭到了许多专家学者的反对，他们认为这后，就遭到了许多专家学者的反对，他们认为这是一项既费钱又费力，同时收效不大的计划，最终，此项计是一项既费钱又费力，同时收效不大的计划，最终，此项计划未被通过划未被通过.那么，到底专家的意见对不对？该普查计划该那么，到

19、底专家的意见对不对？该普查计划该不该被执行呢？不该被执行呢？假如该计划得以实施，而你又做了血液试验，并且试验结假如该计划得以实施，而你又做了血液试验，并且试验结果是阳性的，那么你真正得了艾滋病的可能性有多大呢？果是阳性的，那么你真正得了艾滋病的可能性有多大呢？由已知，得由已知，得001. 0)( AP 所以，由所以，由Bayes公式，得公式，得 DAP01. 0999. 095. 0001. 095. 0001. 0 087. 0 ,99. 0,95. 0 ADPADP DPDAP ADPAPADPAPADPAP 例例 6（续）（续）001. 0)( DP DAP167. 0 ,995. 0,999. 0 ADPADP第一章 概率论的基本概念3条件概率例例 6（续）（续）即使提高了试验的精度，降低了假阴性何假阳性出现的概率即使提高了试验的精度，降低了假阴性何假阳性出现的概率则则但对高危人群，即假如但对高危人群，即假如1 . 0)( DP ,99. 0,95. 0 ADPADP DAP913. 0 则则所以说在新婚夫妇中实行普查的意义不大，但在高危人群中所以说在新婚夫妇中实行普查的意义不大，但在高危人群中进行普查是很有效的进行普查是很有效的.例例 7 袋中有袋中有10个黑球，个黑球，5个白球现掷一枚均匀的个白球现掷一枚均匀的骰