复变函数与积分变换第五章学习教案

1、会计学1复变函数与积分复变函数与积分(jfn)变换第五章变换第五章第一页，共45页。& 1. 留数的定义& 2. 留数定理(dngl)& 3. 留数的计算规则第1页/共44页第二页，共45页。的奇点所围成的区域内含有)(zfC0zC设C为区域D内包含的任一条正向简单闭曲线0z)(fdzzc未必为0,0,z所围成的区域内解析在)(Cf=0z.的某去心邻域(ln y):0( )f zz在在00zzR 解解析析D内的Laurent展式:)(zfRzz 00在第2页/共44页第三页，共45页。12 = =ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 = =CCn

2、nzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(0(P49例3.3)0 (柯西-古萨基本定理)i 201010)()()(czzczzczfnn = = nnzzczzc)()(001第3页/共44页第四页，共45页。定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0去心邻域(ln y)内的罗朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 。由留数定义(dngy), Res f (z), z0= c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc = = = 故故1Laurentc 是是积积分分过

3、过程程中中唯唯一一残残留留下下来来的的系系数数, ,zzficCd )(211 = = 即即综上，的系数(xsh)01)( zz展式中负幂项Laurent第4页/共44页第五页，共45页。000( ),( )0,f zzf zzzzR 设设函函数数以以有有限限点点 为为孤孤立立奇奇点点 即即在在点点的的某某去去心心邻邻域域内内解解析析 则则称称积积分分记作为 f (z)在 的0z),(Re0zzfs。01( ),:, 0;2Cf z dzCzzRi = 定义(dngy)留数,注1c = =dzzfizzfsC = =)(21),(Re0 第5页/共44页第六页，共45页。二、利用(lyng)留

4、数求积分1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ., zn 外处处(chch)解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则12Res ( ),nkkif z z= = = dzzfc )(Dz1z2z3znC1C2C3CnC第6页/共44页第七页，共45页。证明(zhngmng)zzfizzfizzfinCCCd )(21d)(21d )(2121 两边同时除以 得，i 2如图, 由复合闭路(b l)原理= = zzfCd)( 1)(CdzzfdzzfC 2)(dzzfnC )(12Res ( ),Res ( ),Res ( ),nf z zf z z

5、f z z= = zzfCd )(12i12Res ( ),.nkkif z z= = = dzzfc )(即即求沿闭曲线(qxin)C积分求C内各孤立奇点处的留数.注1第7页/共44页第八页，共45页。(1) 如果0z为)(zf的可去奇点, 0Res ( ),0.f z z= =一般规则(guz)说明：2. 留数的计算(j sun)规则成Laurent级数求.1 c(2) 如果0z为的本性奇点, )(zf)(zf展开则需将(3) 如果0z为的极点, )(zf则有如下(rxi)计算方法：1) 应用Laurent展式2) 求n级极点的一般方法(求导运算)第8页/共44页第九页，共45页。1) 应

6、用(yngyng)Laurent展式例5.151Re ,0.zesz 求求解5511zezz = =2345(12!3!4!5!zzzzz) 1 43211 11 11 11,2!3!4!5!zzzz=;0z 511Re ,0.4!zesz = =所所以以第9页/共44页第十页，共45页。如果 为 的 级极点, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz = = 规则(guz)2那末(n m).()(lim),(Res000zfzzzzfzz = =如果 为 的一级极点, 那末0z)(zf规则(guz)12) 求n级极点的一般方法（当 m=1

7、时就是规则1)第10页/共44页第十一页，共45页。规则(guz)3 如果,0)(,0)(,0)(000 = = zQzQzP设,)()()(zQzPzf= =)(zP及)(zQ在0z都解析，那末0z为的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf = = 且有解2coszzz= =因因为为的的一一级级极极点点, ,Re ,cos2zsz 所所以以2|(cos )zzz= = =2sin()2= = .2= = 例2Re ,.cos2zsz 求求第11页/共44页第十二页，共45页。 = = 22)1(25:zdzzzz计算计算例3解102)1(25)(2= = = = = =

8、zzzzzzzf和和一一个个二二级级极极点点极极点点的的内内部部有有一一个个一一级级在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 = = = = =zzzzfzfszz1由由规规则则)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 = =zzzzdzdzfsz2由由规规则则22lim)25(lim211= = = = =zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2= = = = = =zfsizfsidzzfz 第12页/共44页第十三页，共45页。2:14= = zcdzzzc正向正向计算计算例2解内内，都都在在圆圆周周个个一一级级极极点点有有cizf , 1:4)(32(

9、)13( )44P zzQ zzz=由由规规则则0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214= = = = = = iizfsizfszfszfsidzzzc 故故第13页/共44页第十四页，共45页。.2:,d)1(sin22正向正向计算计算= = zCzzzzC思考题思考题答案(d n)22sin 1.i 第14页/共44页第十五页，共45页。 = =13coszdzzz计算计算例3解的的三三级级极极点点有有一一个个0cos)(3= = =zzzzfiizfsidzzzz = = = = = = =)21(20),(Re2cos132320021Re ( ),

10、0lim( )(31)!11lim(cos )22zzds f zz f zdzz= = = = = 由由规规则则第15页/共44页第十六页，共45页。)(tanNnzdznz = = 计算计算例4解), 2, 1, 0(21,20coscossintan = = = = = = = =kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 = = = = = =kzkzzz 1,32zk= = 为为一一级级极极点点 由由规规则则 得得), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 = = = = = = =kzzkzskz 第16页/共44页第十七页，共45页。 ninik

11、zsizdznknz422,tanRe2tan2121 = = = = = = = = 故由留数定理(dngl)得：第17页/共44页第十八页，共45页。A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开(zhn ki)来求留A数，不要死套规则。6sin)()()(zzzzQzPzf = = =,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三级级零零点点是是由由于于zpzzpzpzppzzz= = = = = = = = = = = = = =如是f (z)的三级极点(jdin)。630sin1sin2Re,0lim(31)!zzzzzszz= = 由由规规则则第18页/共

12、44页第十九页，共45页。:)(级级数数展展开开作作若若将将Laurentzf! 510 ,sinRe6 = = zzzs = = = = zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-该方法较规则(guz)2更简单！第19页/共44页第二十页，共45页。 = = 665506sinlim)!16(10 ,sinRezzzzdzdzzzszA(2) 由规则2 的推导(tudo)过程知，在使用规则2A时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更A简单。如! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 = = = = = =zzzdzdzz第20

13、页/共44页第二十一页，共45页。注意积分路线(lxin)取顺时针方向1 = =c1),(Res = = czf说明(shumng)记作 = = Czzfizfd)(21),(Res1.定义(dngy)设函数)(zf在圆环域 zR内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，1( )d2Cf zzi 称称积积分分的的值值为为( )f z 在在点点的的留留数数，=Czzfid)(21第21页/共44页第二十二页，共45页。.1z.2z.kz .证 = = nkkzzfzf1),(Res),(Res = = CCzzfizzfid)(21d)(211. 0= =由留数定义(dngy)有:(绕

14、原点的并将kz内部的正向简单闭曲线)C包含在 2. 定理如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零.)(zf证毕第22页/共44页第二十三页，共45页。说明(shumng): 由定理得,),(Res),(Res1 = = = =zfzzfnkk = = = =nkkCzzfizzf1),(Res2d )(留数定理(dngl).),(Res2 = =zfi计算(j sun)积分计算无穷远点的留数.zzfCd)( 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)第23页/共44页第二十四页，共45页。规则(guz)4

15、= = 0 ,11Res),(Res2zzfzf说明: 定理5.2和规则(guz)4提供了计算函数沿闭曲线 = = 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.第24页/共44页第二十五页，共45页。现取正向简单(jindn)闭曲线C为半径足够大的正向(zhn xin)圆周 :. = =z,1 = =z令令, iireez= = =并设并设,1 = = =r那末那末于是(ysh)有 = = Czzfizfd)(21),(Res = =20d)(21 iiieefi证.d12120 = = iireirefi第25页/共44页第二十六页，共45页。

16、220111d2()iiifreirere = = = = = = 12d1121fi. )1(为正向为正向 = =内除在 1= =0= = 外无其他奇点 .0 ,11Res2 = =zzf证毕第26页/共44页第二十七页，共45页。例5 计算积分 Czzz,d14C为正向圆周:.2= =z函数14 zz在2= =z的外部, 除 点外没有其他(qt)奇点. Czzzd14 = =0 ,11Res22zzfi = =),(Res2zfi = =0 ,1Res24zzi. 0= =解 根据定理(dngl) 5.2与规则4: 第27页/共44页第二十八页，共45页。与以下解法(ji f)作比较 :被

17、积函数14 zz有四个一级极点i ,1都在圆周2= =z的内部 , 所以 Czzzd14 1),(Res 1),(Res2 = =zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由规则(guz)3 ,414)()(23zzzzQzP= = = 第28页/共44页第二十九页，共45页。 Czzzd14.0414141412= = = =i可见(kjin), 利用无穷远点的留数更简单.例6 计算积分 Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周 :.2= =z解 除 )3)(1()(1)(10 = =zzizzf被积函数点外, 其他奇点为.3, 1, i 第29页/共44页第三十页，共45页

18、。由于i 与 1在C的内部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi = =),(Res3),(Res2 = =zfzfi = =0)3(21210ii则),(Resizf ),(Res zf所以(suy) 1),(Reszf 3),(Reszf .0= =.)3(10ii = =第30页/共44页第三十一页，共45页。一概念-留数一定理-留数定理（计算闭路复积分）（重点）两方法-展开式和规则求留数三规则-求极点处留数 （ 难点 ）第31页/共44页第三十二页，共45页。 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理. 应重点(zhngdin)掌握计算留数的一

19、般方法,尤其是极点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复积分.第32页/共44页第三十三页，共45页。11.( )2Re ( ),nkkR x dxis R z z = = = ( )( )( )P xR xQ x= =12.( )2Re ( ),(0)ni xi zkkR x edxis R z ez= = 其中(qzhng) 注意: 对 的要求,分母Q(x)次数比分子P(x)至少高两次， 是函数 在上半平面内的有限个孤立奇点；( )R xkz( )R z 注意: 对 的要求,分母比分子至少高一次， 是函数 在上半平面内的有限个孤立奇点；( )R x( )R zkz第33页/共44页第三

20、十四页，共45页。思想(sxing)方法 :封闭路线(lxin)的积分 .两个(lin )重要工作:1) 积分区域的转化2) 被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条2013.(cos ,sin )2Re ( ),nkkRdis f z z = = = 注意：其中 是函数 在单位圆内的有限个孤立奇点。kz)(zf第34页/共44页第三十五页，共45页。 iez = =令令 ddiiez = =,ddizz= = )(21sin iieei = =,212izz = =)(21cos iiee = =,212zz = =当 历经变程2,0时, 20d)sin,(cos R1= =z的正方向绕

21、行一周.z 沿单位圆周第35页/共44页第三十六页，共45页。 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 = = = =zzfzd )(1 = = =z的有理函数(yu l hn sh) , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .包围(bowi)在单位圆周内的诸孤立奇点. .),(Res21 = = =nkkzzfi第36页/共44页第三十七页，共45页。.dsin21dsin0 xxxxxx = =例5.1 计算(j sun)积分.dsin0 xxx 分析(fnx) 所所以以是是偶偶函函数数 ,sinxxzzsin 某某封封闭闭曲曲线线 ,因zzsi

22、n在实轴上有一级极点(jdin), 0= =z应使封闭路线不经过奇点, 所以可取图示路线:第37页/共44页第三十八页，共45页。xyoRCrCrRr R 解 , 0dddd= = xxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封闭(fngb)曲线C: RrCrRCrR, 由柯西-古萨定理(dngl)得:ttexxerRitrRixdd = =,dxxeRrix = =，令令tx = =,2sinieexixix = =由第38页/共44页第三十九页，共45页。, 0dddsin2 = = rRCizCizRrzzezzexxxi知知szezzeRRCizCizdd seRRCyd1 = = = =0sin deR d220sin = =Re d22