数理方程与特殊函数杨春29学习教案

1、会计学1数理方程数理方程(fngchng)与特殊函数杨春与特殊函数杨春29第一页，共63页。2本次课主要(zhyo)内容格林函数(hnsh)、贝塞尔函数(hnsh)、勒让得多项式习题课(一)、Green函数(hnsh)问题(二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题第1页/共63页第二页，共63页。3(一)、Green函数(hnsh)问题1、三个格林公式(gngsh)第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数(do sh)，它们在V中有二阶偏导，则：SVVu v dSuvdVu vdV 第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y

2、, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVu vv udSu vv u dV 第2页/共63页第三页，共63页。4设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式(gngsh)条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuu MudSudVrnnrr第三(d sn)格林公式：M0MSVxyz第3页/共63页第四页，共63页。5例1、写出稳态场方程(fngchng)洛平问题的解。要求(yoqi):(1)掌握三个公式的推导；(2)稳态场方程(fngchng)洛平问题的解。解:(1)泊松方程洛平问题为：(,), (,)(,), (,)

3、, (xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuxyzuxyzn 连 续 ）连 续 ）011111()( )( )( )44SVu MMMdSf M dVrn rr 第4页/共63页第五页，共63页。6拉普拉斯方程(fngchng)洛平问题为：0 , (,)(,) , (,) , (x xy yz zSSSuuuuxyzVuxyzuxyzn 连续）连续）0111()()()4Su MMMdSrnr例2、求拉普拉斯方程(fngchng)洛平问题的解0 , (,)1 ,0SSuxyzVuun第5页/共63页第六页，共63页。7解：由第三(d sn)格林公式：0011()4MMSu MdSn r

4、( , , ),( , , )( , , ),0SSux y zx y zVuux y zn 例3、求拉普拉斯方程(fngchng)洛平问题的解解：由第三(d sn)格林公式：0001111()( , , )44MMMMSVu MdSx y z dVn rr第6页/共63页第七页，共63页。82、调和函数要求(yoqi):(1)掌握概念和性质的证明；(2 ) 性质的应用(yngyng)(极值原理)(),()Suf MMVuM例4、求证(qizhng)泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。证明：泊松方程狄氏问题为：(a ) 解的唯一性证明：设定解问题有两个解u1与u2,则：第7页/共63页第八页

5、，共63页。9令:U=u1-u2,则：11(),()Suf MMVuM22(),()Suf MMVuM0,0SUMVU由极值(j zh)原理有： ，即0U 12uu(b ) 解的稳定性证明(zhngmng)：设在S上给定了函数(hnsh) 使得： 且： ,* 11(),()Suf MMVuM22(),*()Suf MMVuM*第8页/共63页第九页，共63页。10令:U=u1-u2,则：0,*SUMVU由极值(j zh)原理有： 即证明了稳定性。U3、泊松方程狄氏问题(wnt)格林函数要求(yoqi):(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式(3) 特

6、殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？第9页/共63页第十页，共63页。11答: (1)泊松方程(fngchng)狄氏问题格林函数定义为：(a) 若G(M,M0)满足(mnz)：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 则称G(M,M0)为定义(dngy)在VS上的三维狄氏格林函数。(b) 若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SLG M MMMM MDG M M 则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。(2) 物理意义是:第10页/共63页第十一页，共63页。12(a) 物理(wl)

7、意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理(wl)意义是：空间中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4r； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电(dodin)壳内M0处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。（b) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势(dinsh)为G(M,

8、M0),其大小为G(M,M0)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。第11页/共63页第十二页，共63页。13例6、三维泊松方程狄氏格林函数(hnsh)的性质是什么？答：三维泊松方程(fngchng)狄氏格林函数的性质主要有：(1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程(fngchng)。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。(2) 在边界上格林函数恒等于零。(3) 在区域V内，有：001

9、0(,)4M MG MMr(4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即 );();(1221MMGMMG第12页/共63页第十三页，共63页。14例7、三维泊松方程狄氏问题(wnt)解的积分表达式是什么？答：000(,)()(,)SVG M Mu MudSG M MfdVn例8、二维泊松方程狄氏问题(wnt)解的积分表达式是什么？0()(,)LDGuMd SG fxy dn 答：例9、教材重点(zhngdin)介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？采用什么方法求？第13页/共63页第十四页，共63页。15答: (1)球域、半空间；圆域、半平面(pngmin)、第一象限。平面(pn

10、gmin)上的求法类似。求三维空间中区域(qy)VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).(2) 采用镜像法例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式第14页/共63页第十五页，共63页。16答: (1)球域00011111(,)44RG M Mrrrrr20100rRrrr(2)上半空间(kngjin)0

11、10111(,)4M MM MG MMrr2222220000001114()()()xxyyzzxxyyzz第15页/共63页第十六页，共63页。17(3) 上半平面(pngmin)狄氏问题的Green函数 0101111(,)22MMMMG M MLnLnrr(4) 圆域上狄氏问题(wnt)的Green函数 100011(,)lnln22MMMMrRG MMrr(5) 第一象限上狄氏问题(wnt)的Green函数 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyy

12、xxyyxxyy 第16页/共63页第十七页，共63页。18例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题(wnt)解的积分表达式解：(1) 球域内泊松方程狄式问题(wnt)解的积分表达式：由于泊松方程(fngchng)狄氏问题的解为：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn在球面上SSGGnr第17页/共63页第十八页，共63页。19在球域上，由于(yuy)：00011111(,)44RG M Mrrrrr2222000111111442cos2cosRrrrrrrrrr224202002001111442cos2cosRrRRrrrrrrrr第

13、18页/共63页第十九页，共63页。20220322200142cosSRrGnRRrRr 所以(suy)：所以(suy)，球域上狄氏问题的解为：220032220001()42cos(,)SVRru MdSRRrRrG M MfdV第19页/共63页第二十页，共63页。21(2) 上半空间(kngjin)狄式问题的解000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn泊松方程(fngchng)狄氏问题的解为：01003314MMMMzzzzGGnzrr 由于(yuy)：0322200014()zxxyyz第20页/共63页第二十一页，共63页。22.00003.22220000,

14、1,2( , , ) (,)Vx y zu xyzdxdyxxyyzf x y z G M Mdxdydz 所以上半空间(kngjin)泊松方程狄氏问题的解为：而上半空间(kngjin)拉氏方程狄氏问题的解为：.00003.2222000,1,2x y zu xyzdxdyxxyyz 第21页/共63页第二十二页，共63页。23(3) 上半平面内泊松方程(fngchng)狄式问题解的积分表达式：GGny 022001()yxxy 0022001()( )( , )()Dyu MxdxGf x y dxxy所以(suy)得：拉氏方程(fngchng)狄氏解为： 0022001()( )()yu

15、Mxdxxxy第22页/共63页第二十三页，共63页。24例11*、求上半平面(pngmin)上拉氏方程狄氏解，边界条件为： 解：由公式(gngsh)：00,0(, 0 ),0 xuxux00220000220001()( )()1()yu Mxdxxxyyudxxxy第23页/共63页第二十四页，共63页。2500220001()uydxxxy0002200011()1u ydxxxyy000002200001()()1yxxu ydyxxyy00001arctanxxuy00001arctanxxuy000arctan2uxy(4) 圆域上狄氏问题(wnt)的解 第24页/共63页第二十五

16、页，共63页。26解：LRGGnr因为(yn wi)：2202200122cosRrR RRrr 例12、求圆域上泊松与拉氏方程(fngchng)狄氏解。0()(,)LDGu MdSG fxy dn 所以(suy)：LRGGnr220022001()(,)22cosLDRru MdSG fxy dR RR rr所以，狄氏解为：第25页/共63页第二十六页，共63页。2700222222220000cosx xy yxyxyxyxy所以(suy)：由于(yuy)：00cosO MO MO MO M所以(suy)，在极坐标系下，有：0coscos()222002200001()()( ,)22co

17、s()DRru MdGfrrdrdRRrr 从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 第26页/共63页第二十七页，共63页。28例13、求圆域上拉氏方程(fngchng)狄氏解。(1)、解法(ji f)1:(格林函数法)0,1(1,)( )uru ( )cosa (2)、( )cosba 选极坐标系，设圆内M0(r0,0),则：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 220200001cos*212cos()radrr第27页/共63页第二十八页，共63页。29

18、利用函数(hnsh)幂级数展开可得：采用(ciyng)级数展开法计算积分*220200001cos*212cos()raIdrr200021000112cos()12cos()mmrrmrr所以(suy)，得：220200001cos*212cos()raIdrr200011cos12cos()2mmarmd22000011coscoscos()2mmaadrmd 第28页/共63页第二十九页，共63页。3020001coscos()mmarmd2200000011coscoscoscossinsinmmmmaarmm drmmd 2000coscoscosard 20001coscoscos

19、mmarmm d 00cosar当 时：( )cosba 22002000011()()212cos()ru Mdrr 第29页/共63页第三十页，共63页。31而：22020000220200001212cos()1cos212cos()rbdrrradrr220200001212cos()rbdrr20001112cos()2mmbrmd22000011cos()2mmbbdrmdb所以(suy)，有：0000( ,)cosu rbar第30页/共63页第三十一页，共63页。32( , )( ) ( )uR 1、分离(fnl)变量：0112 RRR2RRR 代入方程(fngchng)得：整

20、理(zhngl)后可令比值为：解法2:(分离变量法)第31页/共63页第三十二页，共63页。33200RRR 得两个(lin )常微分方程如下：2、求解固有(gyu)值问题 20第32页/共63页第三十三页，共63页。34(1) 0时，令=2 得： sincosba结合周期条件(tiojin)，只能取正整数。于是得固有值：21,2,)n n（固有(gyu)函数为： cossin(1,2)nnnanbnn第33页/共63页第三十四页，共63页。353、求欧拉方程(fngchng)的解20(0)RRRR (1)、对应(duyng)于0= 0的解为：0()lnRCD由有限性得：D=0,于是(ysh)

21、有：0()RC第34页/共63页第三十五页，共63页。36(2)、对应(duyng)于n= n2(n=1,2.)2(1)0D DRDRn R作变换(binhun)：=et 得：22n Rdt2d R即 ：()nnnnnRCD由有限性得：Dn=0,于是(ysh)有：()nnnRC第35页/共63页第三十六页，共63页。374、求定解()(0,1, 2,)nnnRCn一般(ybn)解为：10sincos2),(nnnnnbnaau由边界条件(1)得：01coscossin2nnnaaanbn第36页/共63页第三十七页，共63页。38所以，比较(bjio)系数得：010,1,0(1),0nnaaa

22、nb( , )cosu ra所以(suy)，(1)的解为：由边界条件(2)得：01coscossin2nnnabaanbn所以，比较(bjio)系数得：012 ,1,0(1),0nnab aanb所以，(2)的解为：( , )cosu rba第37页/共63页第三十八页，共63页。39(5) 第一象限上狄氏问题(wnt)的Green函数为： 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy 例13、求第一(dy)象限上拉氏方程狄氏解。解：假定(jid

23、ng)定解问题为：01020(0,0)( ),( )xyuxyuyux第38页/共63页第三十九页，共63页。40由于(yuy)1:0Lx 其中(qzhng)：GGnx 0()(,)LDGu MdSG fxy dn LGdSn 1212LLGGdSdSnn 2:0Ly 对于(duy)L1:对于L2:GGny 第39页/共63页第四十页，共63页。4100yyGGny 对于(duy)L2:0022220000221144()()yyxxyxxy 0022220000221144()()yyxxyxxy022001()yxxy 00 xxGGny 022001()xyyx 第40页/共63页第四十

24、一页，共63页。42所以(suy)，拉氏解为：000012002222000011( , )( )( )()()xyu x yydyxdxy yxx xy例14、求上半圆域上狄氏问题(wnt)格林函数格林函数(hnsh)满足的定解问题为：200,()()(1)0(2),0(3)RGMMGG 第41页/共63页第四十二页，共63页。43M0M1M1M0Mxy设想在 放置(fngzh)电量为0的电荷000(,)M (1)对于(duy) 在 放置电量为-0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。0,100(,)M(2)若要同时使(2)满足(mnz)，对于圆周边界来说，M0的对称点为：

25、第42页/共63页第四十三页，共63页。44在M1放置电量(dinling)为 的电荷00R对于(duy) M1的对称点为：0,100(,)RM100(,)RM置电量(dinling)为 的电荷00R四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：00110001111(,)lnln221111lnln22M MM MM MM MGMMRR第43页/共63页第四十四页，共63页。454、三种(sn zhn)典型方程的基本解问题要求: (1) 知道三种典型方程的基本(jbn)解的定义、基本(jbn)解表达式；(2)能利用基本(jbn)解求相应的定解问题。例16、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本

26、解；并求出 的一个特解。0()Mu答: (1)方程 的解称为泊松方程 的基本解。(,)uxyz (,)ufxyz (2) 基本解为：1,04Urr第44页/共63页第四十五页，共63页。46(3) 特解应该为基本(jbn)解与函数f的卷积。设U*为特解，则有：300000()1()1*44(,)RMMUUfdMrr M M注：平面(pngmin)泊松方程基本解为：11ln,02Urr例17、叙述热传导方程柯西问题(wnt)基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题(wnt)：20, (,0 )()txxtua uxR tux答: (1) 定解问题：第45页/共63页第四十六页，共6

27、3页。4720, (,0 )()txxtua uxR tux的解，称为如下(rxi)定解问题的基本解。20, (,0 )()txxtua uxR tux(2) 基本(jbn)解为：2241(, )2xatUx teat(3) 定解为基本(jbn)解与初始函数的卷积。设u为定解，则有：22()41( , )*( )2sxa tu x tUs edsat第46页/共63页第四十七页，共63页。48注：二维、三维类似(li s)。20(1), (0,0 )(0, )0,( , )00txxtxua uAxl tlutu l tu例18、叙述热传导方程混合问题(wnt)基本解的定义；写出其基本解；在此

28、基础上求出如下定解问题(wnt)：200()()(0, )( , )0( , 0)0 xxua uxxtttutu l tu x答: (1) 定解问题(wnt)第47页/共63页第四十八页，共63页。49的解称为如下定解问题(wnt)的基本解20(, ), (0,0 )(0, )0,( , )00txxtua ufx txl tutu l tu(2) 基本(jbn)解为：(3) 定解与基本(jbn)解的关系为：22202()00012( , ;,)sinsinnattLnnxnxUx t xtelll00000000( , )( , ;,)(,)tLu x tUx t xtfxtdx dt 第

29、48页/共63页第四十九页，共63页。5022202()00000012sinsin(1)natttLLnnxxnxeAdx dtllll 22222332121sinnatlnAlnxenal例20、叙述波动方程柯西问题基本(jbn)解的定义；写出其基本(jbn)解。22002() (),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uxxttxttu xux 答: (1) 定解问题(wnt)第49页/共63页第五十页，共63页。51的解称为如下定解问题(wnt)的基本解(2) 基本(jbn)解为：(3) 定解与基本(jbn)解的关系为：00000000( , )( , ;,)(,)tLu

30、 x tUx t xtfxtdx dt 222( , ),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uf x tx y zttu xux 0000121( , ;,)sin()sinsinnnananxU x t xtttxanlll第50页/共63页第五十一页，共63页。52例21、叙述波动方程混合问题(wnt)基本解的定义；写出其基本解。答: (1) 定解问题(wnt)22002()()(0, )( , )0( ,0)( ,0)0 xxtua uxxtttutu l tu xux 的解为有界波动(bdng)方程问题222(,)(0 ,)( ,)0(, 0 )(, 0 )0 x xtu

31、aufx ttutul tuxux 的基本解。第51页/共63页第五十二页，共63页。53(2) 基本(jbn)解为：(3) 定解与基本(jbn)解的关系为：00000000( , )( , ;,)(,)tLu x tUx t xtfxtdx dt 0000121( , ;,)sin()sinsinnnananxU x t xtttxanlll例22、用格林函数(hnsh)法求定解问题2(0,0 )(0 ,)( ,)0(, 0 )(, 0 )0ttx xtuauxxl tutul tuxux解：对应的基本解为：0000121( , ;,)sin()sinsinnnananxU x t xttt

32、xanlll第52页/共63页第五十三页，共63页。5400000000( , )( , ;,)(,)tlu x tUx t xtfxtdx dt 0000000121sin() sinsintlnnananxttxx dx dtanlll 0000000121sin() sinsintlnnananxttxx dx dtanlll 313312(1)1cossinnnlntnxnll(二)、贝塞尔函数(hnsh)问题 主要要求(yoqi): (1) 贝塞尔方程的通解形式；(2) 贝塞尔函数(hnsh)表达式及其主要性质；(3) 贝塞尔函数的递推公式及正交定理、函数展开定理。第53页/共63页

33、第五十四页，共63页。55例23、写出贝塞尔方程的标准形式(xngsh)和通解形式(xngsh)解: (1) 贝塞尔方程(fngchng)的标准形式为：(2) 贝塞尔方程的通解(tngji)形式：22222()0,()d ydyxxxnynRCdxdx或)()(xBYxAJynn00( ),( )(nnxxLimY xLimJxC 常数）例24、写出n阶第一类贝塞尔函数的级数形式、母函数表达形式。220( )( 1)2! (1)nmmnnmmxJxmnm第54页/共63页第五十五页，共63页。561()2( )xznznneJx z例25、计算(j sun)：12( )Jx12( )Jx例25、写出贝塞尔函