储油罐的变位识别与罐容表标定

1、清华大学清华大学 姜启源姜启源rxdtdx数学建模竞赛赛题讲评全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2010年年33省省/市市/区区(含港澳含港澳)的的1197校校17317队队 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织. 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月). 全国高校规模最大的学科竞赛全国高校规模最大的学科竞赛庆祝全国大学生数学建模竞赛举办庆祝全国大学生数学建模竞赛举办20年年数学建模竞赛数学建模竞赛 (Mathematical Contest in Modeling) )简介简介内容内

2、容 赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式形式 3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛 可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论件、互联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争

3、标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性结果的正确性，表述的清晰性年份年份A题题B题题C题题D题题2004 奥运会临时超市奥运会临时超市网点设计网点设计电力市场的输电力市场的输电阻塞管理电阻塞管理饮酒驾车饮酒驾车公务员招聘公务员招聘2005 长江水质的评价长江水质的评价和预测和预测DVD在线租赁在线租赁雨量预报方雨量预报方法的评价法的评价DVD在线租在线租赁赁2006 出版社的资源配出版社的资源配置置艾滋病疗法的艾滋病疗法的评价和疗效的评价和疗效的预测预测易拉罐形状易拉罐形状和尺寸的最和尺寸的最优设计优设计煤矿瓦斯和煤矿瓦斯和煤尘的监测煤尘的监

4、测与控制与控制2007 中国人口增长预中国人口增长预测测 乘公交，看奥乘公交，看奥运运手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 体能测试时体能测试时间安排间安排 2008 数码相机定位数码相机定位高等教育收费高等教育收费标准探讨标准探讨地面搜索地面搜索NBA赛程的赛程的分析与评价分析与评价2009 制动器试验台的制动器试验台的控制方法分析控制方法分析眼科病床的合眼科病床的合理安排理安排卫星和飞船卫星和飞船的跟踪测控的跟踪测控会议筹备会议筹备2010 储油罐的变位识储油罐的变位识别与罐容表标定别与罐容表标定上海世博会影上海世博会影响力定量评估响力定量评估输油管的布输油管的布置置学生宿舍设学生宿舍设计

5、方案评价计方案评价 题目的特点题目的特点题目来源题目来源: : 实际研究课题的简化、改编；有实际背实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容方法；专科题目力求少用大学数学内容解题所用的数学方法尽量多元化、综合化解题所用的数学方法尽量多元化

6、、综合化可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献兼顾数据的处理与数据的收集兼顾数据的处理与数据的收集基础性基础性实践性实践性综合性综合性开放性开放性挑战性挑战性储油罐的变位识别储油罐的变位识别与罐容表标定与罐容表标定全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2010年年A题题 题目题目 题目的背景与分析题目的背景与分析 问题（问题（1）的通常做法）的通常做法 问题（问题（2）的通常做法）的通常做法 一种建立储油量模型的新方法一种建立储油量模型的新方法 对学生论文的评述对学生论文的评述 题目的启示题目的启示 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油

7、罐，并且一般都有通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的与之配套的“油位计量管理系统油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表罐容表（即罐内油（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等

8、变化位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定标定。图。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐是罐体横向偏转变位的截面示意图。体横向偏转变位的截面示意图。题题 目目油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图图1 储油罐正面示意图储油

9、罐正面示意图油位探针油位探针 地平线图图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口水平线图图3 储油罐截面示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

10、容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小的小椭圆型储油罐椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件附件1所示。请所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。（2）对于图）对于图1所示的所示的实际储油罐实际储油罐，试，

11、试建立罐体变位后标定罐建立罐体变位后标定罐容表的数学模型容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请）之间的一般关系。请利用罐利用罐体变位后在进体变位后在进/出油过程中的实际检测数据出油过程中的实际检测数据（附件（附件2），根据你），根据你们所建立的数学模型们所建立的数学模型确定变位参数确定变位参数，并给出罐体变位后油位，并给出罐体变位后油位高度间隔为高度间隔为10cm的的罐容表标定值罐容表标定值。进一步利用附件。进一步利用附件2中的实际中的实际检测数据来分析检验你们检测数据来

12、分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性模型的正确性与方法的可靠性。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:1

13、1:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。附件附件1 实验数据实验数据流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集2020149.09149.092624.30 60311.4

14、3 2010-08-01 08:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.0570.052606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量i。 50360.816

15、0.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性补充进油附件附件2 检测数据检测数据来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题. （2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于结果，属于“反问题反问题”。题目背景题目背景问题分析问题分析问题由两部分组成：问题由两部分组成：（1

16、）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于表，属于“正问题正问题”。02004006008001000120005001000150020002500300035004000hvalpha=0alpha=4.1问题（问题（1）的通常做法）的通常做法 根据附件根据附件1 的实验数据画出罐体不变位（的实验数据画出罐体不变位（=0）和）和罐体变位（罐体变位（=4.1

17、0）时油位高度）时油位高度h和储油量和储油量V的曲线的曲线.实验数据实验数据表表明，在同样明，在同样的油位高度的油位高度h下，下，罐体罐体变位时储油变位时储油量量V减少减少.zx0z=HabS(H)12222bzaxz=H下的面积下的面积 bHbbHabHbbaHabHS,sin2)(122油位高度油位高度h时时坐标坐标y处处z=H LybhLybhH0,20,tan)(1LybhhyS0,20),(油位高度油位高度h时坐标时坐标y处的截面面积处的截面面积 罐体变位罐体变位时油位高度时油位高度h和储油量和储油量(体积体积)V的数学模型的数学模型化重积分为定积分化重积分为定积分zyxhyH0L1

18、L油位计油位计L2V(h,)z=Htan0:211LhhD,tan/,),()(1101hLydyhyShVytan2:1212LbhhhDLdyhyShV0),()(bhhD2:23tan/ )2(,),()(1222hbLydyhySabyhVLy),(, 0)0(10LdyhySV,),()2(11abLdyhySabLbVLLLybhhyS0,20),(高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位计02040608010012000.511.522.533.544.5hvalpha=0alpha=4.1高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型 V

19、(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74 =4.10的罐容表的罐容表(部分部分)按照模型讨论变位对罐容表的影响按照模型讨论变位对罐容表的影响与实验数据表与实验数据表示的影响一致示的影响一致.变位后储油量变位后储油量平均约小平均约小200L.00.20.40.60.811.21.4012345hv模 型实 验0.40.50.60.70.80.911.10.511.

20、522.533.54hv模 型实 验模型结果与实验数据的比较模型结果与实验数据的比较 =4.10 =0模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位高度高度h下，下，储油量储油量V的实验数据均比模型结果小的实验数据均比模型结果小.可以有各种解释可以有各种解释.是否要修正、怎样修正模型？是否要修正、怎样修正模型？问题（问题（2）的通常做法）的通常做法1. 罐体变位罐体变位,时油位高度时油位高度h和储油量和储油量V的数学模型的数学模型hD1D2D3整体整体考虑考虑hVxy0z 写出左右球面、圆柱面及油位高度写出左右球面、圆柱面及油位高度h的的油平面方程油平面方

21、程. 将罐体分为将罐体分为3个区域：个区域：D1,D2,D3 在在3个区域中分别写出体积的重积分，个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对并化为（对z的）定积分的）定积分.油平面油平面rhLyrhH20,tan)(1222rzxrhrhh20),cos1 (cos将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑）考虑z=H下的面积下的面积 rHrrHrHrHrHS,sin2)(12222zx0rhhz=H截面面积截面面积S (y,h,) 圆柱体体积圆柱体体积V1 (h,) 0 xzyD1D2D3h将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑将罐体分为圆柱体和

22、球缺，球缺部分单独考虑 精确计算球缺部分体积精确计算球缺部分体积V2 将倾斜角将倾斜角的油平面的油平面近近似为水平面（似为水平面（=0）计算）计算球缺部分体积球缺部分体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算圆柱，一起计算.用各种方法得到罐体体积用各种方法得到罐体体积V (h,) ,一般是积分表达式一般是积分表达式, 给定给定, 可以数值计算可以数值计算油位高度油位高度h时的储油量时的储油量V.问题（问题（2）的通常做法）的通常做法2. 根据储油量的数学模型根据储油量的数学模型V (h,)和实测数据（附和实测数据（附件件2）辨识

23、罐体变位参数）辨识罐体变位参数,流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i =0=0）2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1=1hiViuiVi =Vi (hi, 0,0)不能用！不能用！应该用数据应该用数据ui , hi与模型与模型V (h,) 辨识参数辨识参数,确定确定,应应使使储油量的改变储油量的改变Vi 与与出油量出油量ui 相吻合！相吻合！),(),(),(1i

24、iihVhVV辨识准则辨识准则niiiuVQ12),(),(),(),(),(1iiihVhVViiiniiiiihhhhuhVQ112,),(),(确定确定,使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照, 的可能范围划分区间，逐步搜索的可能范围划分区间，逐步搜索. 直接利用直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序的非线性曲线拟合程序 lsqcurvefit辨识方法辨识方法辨识结果辨识结果ui , hi取进油前的取进油前的300组数据组数据)(3 . 4),1 . 0(1 . 2000h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/

25、cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17 =2.110, =4.310的修正罐容表的修正罐容表(部分部分)00.511.522.5301234567x 104油 位 高 度 值 h储油量值显 示 的 储 油 量 曲 线实 际 的 储 油 量 曲 线罐体变位后罐体变位后显示显示储油量储油量与与实际储实际储油量油量的比较的比较模型及结果检验模型及结果检验 取进油后的取进油后的300组数据检验辨识结

26、果组数据检验辨识结果, , 的灵敏性检验的灵敏性检验020406的灵敏度的灵敏度00 . 201 . 202 . 2的灵敏度的灵敏度纵向倾斜角纵向倾斜角比比横向偏转角横向偏转角 对罐容量的影响显著得多！对罐容量的影响显著得多！ 一种建立模型一种建立模型V (h,) 的新方法的新方法xy0zhhYZX0绕绕x轴转动轴转动绕绕z轴转动轴转动cossin0sincos0001,11TzyxTZYXcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,21TTTzyxTZYXT2T1= T1T2 ?1000cossin0sincos,22TzyxTZYXhYZX0VVcoscos

27、sinsinsinsincoscossincos0sincos,TzyxTZYXxy0zhLdh-r油浮子坐标油浮子坐标 (0, h-r, L/2-d)过油浮子的油平面方程过油浮子的油平面方程sin)2/(coscos)(sincoscossincosdLrhzyxCY 坐标坐标变换变换xy0zhrsRV222222222sin)2/(coscos)(sincoscossincos:ryxyxRszyxRsdLrhzyxD油位高度油位高度h的的储油区域为储油区域为DDzyxDzyxhzyxI),( , 0),( , 1),(EdxdydzhzyxIhV),(),(RszRsryrrxrE,:油

28、位高度油位高度h时的储油量时的储油量V定义示性函数定义示性函数利用利用MATLAB的三重积分程序计算储油量的三重积分程序计算储油量triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2-d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,-(s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2)被积函数被积函数 function

29、在长方体中的三重积分在长方体中的三重积分:用于用于function 是示性函数是示性函数 I(x,y,z)的情况的情况: 计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响. 在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负为负(正负无关正负无关). 1）罐体变位后储油量的计算（重积分）：）罐体变位后储油量的计算（重积分）： 两端有油和一端有油区域的划分；两端有油和一端有油区域的划分； 积分限的确定；积分限的确定； 积分顺序的选择。积分顺序的选择。对学生论文缺陷的评述对学生论文缺陷的评述2）用所谓）用所谓“等效高度等效高度”：得出不变位时高度与体积：得出不变位时高度与体积的关系的关系V(h)；变位后根据；变位后根据(主主)截面面积不变得到等效截面面积不变得到等效高度与原高度的关系高度与原高度的关系h =f(h)；将它代入原式；