线性代数6.1特征值与特征向量

1、第第6章章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化6.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化6.2 相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化6.3 向量空间的正交性向量空间的正交性6.1 特征值与特征向量特征值与特征向量6.1 特征值与特征向量特征值与特征向量6.1.1 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义6.1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质这一章主要讨论：对一个这一章主要讨论：对一个 ，如何求，如何求一个可逆的一个可逆的 具有尽可能简具有尽可能简单的形式。即矩阵相似化简的问题，这是在矩单的形式。即矩阵相似化简的问题，这是在矩阵理论和工程技术等方面都有广泛应用的一个阵理

2、论和工程技术等方面都有广泛应用的一个问题。问题。An阶阶方方阵阵APPPn1 ，使使阶阶方方阵阵说明：说明：1.1.特征值针对方阵有意义，特征向量是非零向量；特征值针对方阵有意义，特征向量是非零向量；2.2.一个特征值对应着无穷多个特征向量一个特征值对应着无穷多个特征向量( (不唯一不唯一) )；3.3.一个向量最多是一个特征值的特征向量。一个向量最多是一个特征值的特征向量。6.1.1 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义6.1 设设A是是n阶矩阵，如果存在数阶矩阵，如果存在数 及非零列及非零列向量向量 ，使得，使得A =，则称则称 是矩阵是矩阵A的一个特征值，的一个特征值，

3、称为称为A的属于特的属于特征值征值 的特征向量。的特征向量。例例如如 设设 ，由于，由于 ，故，故 300030003AIA3 任取任取 ，有，有3)0(RX XXIAX33 由定义由定义1，数，数3是是 的特征值，任意一个三维非的特征值，任意一个三维非零向量都是零向量都是 的对应特征值的对应特征值3的特征向量。的特征向量。满足满足A=kIn的矩阵的矩阵A称为数量矩阵。称为数量矩阵。AA例例 6.2 设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足A2 =A 证明证明A的特征的特征值为值为1或或0。证明证明 设设A 的特征值为的特征值为 ，则存在非零向量则存在非零向量 ,使使A =,故故=A = A2 =A(A

4、)= A = 2 ,故故( 2- ) =0,由由0，故，故 2- =0，即，即 =0或者或者 =1. 对一般的方阵对一般的方阵A而言，而言，Ax= x 是绝大多数非零是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵向量难以满足的方程，仅从矩阵A不容易直接不容易直接看出它的特征值和特征向量。为此，将定义中看出它的特征值和特征向量。为此，将定义中的的A =变形为：变形为： ( I-A) =0则上述齐次线性方程组有非零解的充要条件是则上述齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即系数行列式为零，即特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的计算若若A是一个是一个n阶不可逆矩阵，则线性方程组阶不可逆矩

5、阵，则线性方程组Ax=0有非零解有非零解x0 。 故不可逆矩阵必有零特征值故不可逆矩阵必有零特征值 。0 AI 记记nnnnnnnnnnbbbaaaaaaaaaAIf 111212222111211)(称称 的特征多项式。的特征多项式。 AAIf为矩阵为矩阵 )( )0fIA称为矩阵称为矩阵A的特征方程的特征方程定理定理6.1 设设 是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 An（1） 0为为 的一个特征值当且仅当的一个特征值当且仅当 是是 的特征多项式的特征多项式A0 AAIf )(的一个根；的一个根；（2） 为为 的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量当且仅当的一个特征向量当且仅当 A0 为齐次线性方

6、程组为齐次线性方程组 的一个非零解。的一个非零解。 0)(0 xAI 因为因为f( )是是n次多项式，它在复数域内必有次多项式，它在复数域内必有n个根，个根，它们就是矩阵它们就是矩阵A在复数域内的在复数域内的n个特征值，即有个特征值，即有求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ;,0det . 2 21的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AAIn .,0 , . 3 的的特特征征向向量量就就是是对对应应于于的的非非零零解解求求齐齐次次方方程程组组对对于于特特征征值值iiixAI 1计算矩阵计算矩阵A的特征多项式的特征多项式例例6.16.1求

7、求 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 466353331A解解 )4()2(4663533312 AI由由 ，得，得0 AI 42321 ，当当 ，即，即 0)2(221 XAI时，时， 000666333333X则则r(A)=1，同解方程为，同解方程为 ，分别以，分别以 0321 xxx代入得解代入得解TTTxx)1,0(,)0,1(),(32 TTkkX），），101(011(211 因此，上式在因此，上式在 关于关于 的全体特征向量。的全体特征向量。Akk时给出时给出不同时为不同时为与与0212 此时的此时的 二重根，基础解系中有两个二重根，基础解系中有两个解解A是是2 TT），

8、），101(011( 为为时，（时，（当当0)443 XAI 000066393333X同样可求解得同样可求解得 TkX）， 211( 440 的全体特征向量。的全体特征向量。关于关于给出给出Ak只对应一个线性无关的特征向量只对应一个线性无关的特征向量 。 T）， 211(例例6.2 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。110010002A解解2-110010( -1) (2)00-2IA12312，由由 ，得，得0IA当当 ，即，即121()0IA X时，010000000010X 则则r(I-A)=2，求解得基础解系为，求解得基础解系为属于特征值属于特征值1的全部特征向量

9、为的全部特征向量为1 111(1 0 00Tkkk，）1=(1 0 0T，）从以上的例子可以看出从以上的例子可以看出，A 的一个特征值对应的一个特征值对应有无穷多个特征向量，那么，有无穷多个特征向量，那么，A的一个重特征的一个重特征值有多少个线性无关的特征向量值有多少个线性无关的特征向量 ？322)0IA X当时，（为110001000000X 基础解系为基础解系为 ，属于特征值，属于特征值2的全部特的全部特征向量为征向量为2=(0 0 1)T，222=(0 0 1) ,0Tkk，例例6.3 设设A为为n阶矩阵，试证齐次线性方程组阶矩阵，试证齐次线性方程组Ax=0有非有非零解的充分必要条件是零

10、解的充分必要条件是A有零特征值有零特征值.证证 设设Ax=0有非零解，故有非零解，故 A =0，从而，从而 0I-A =0，即，即0是是A的特征值。的特征值。 反之，设反之，设0是是A的特征值，则的特征值，则 0I-A =0，故，故 -A =0，所以所以 A =0，于是齐次线性方程组，于是齐次线性方程组Ax=0有非零解。有非零解。 0111aaaAIfnnnA .的的特特征征多多项项式式求求AT解解 AIfTAT TAI ( )AIAf.有完全相同的特征值有完全相同的特征值与与从而从而AAT补充例补充例1 设设A是是n阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为定理定理6.2 设设 是是n阶方

11、阵阶方阵A的特征值，对应的特征向的特征值，对应的特征向量为量为 ，则则6.1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质(4)若若 (x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0，则，则 ( )为为 (A)的特征值。的特征值。以上各矩阵特征值对应的特征向量与以上各矩阵特征值对应的特征向量与A对应的特征对应的特征向量向量 相同。相同。(1)对正整数对正整数m, m是是Am的的的特征值。的特征值。(2)对对非零常数非零常数k，k 是是kA 的特征值。的特征值。 (3)若若A可逆，则可逆，则0，且，且1/ 是是A-1 的特征值。的特征值。证明证明 1AA AAA 22A mmA 用数学归纳法

12、得用数学归纳法得 m是是Am的的的特征值，的特征值， 是是Am对应于特征值对应于特征值 m的特征向量。的特征向量。可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,3 可逆时可逆时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA.), 00, 0(矛矛盾盾，可可得得由由若若 xAx AXX是21,当当 对应于对应于 的特征向量时，的特征向量时， 它们的它们的任何非零线性组合：任何非零线性组合： i 的特征向量。的特征向量。 iAXkXk 关于关于仍是仍是)0(2211 该性质可用数学归纳法推广为：该性质可用数学归纳法推广为：矩阵矩

13、阵 个特征向量个特征向量 的任何非零线性组合的任何非零线性组合 的特的特征向量。征向量。mAi的的关于特征值关于特征值 mXXX,21imiiiAXk 关于关于还是还是 10 在此，我们重点关注矩阵在此，我们重点关注矩阵 的特征向量的线性的特征向量的线性相相 关性。关性。A性质性质定理定理6.3 设设 个特征值为个特征值为 ，则，则naAnnnij的的阶方阵阶方阵 )(n ,21（1） An 21（2） nnnaaa 221121 证明证明 （1）当）当 的特征值时，的特征值时， Anii是是，, 2 , 1 的特征多项式可表示为：的特征多项式可表示为： AnnnnnnAI 2112121)1

14、()()()()( nnnnAAA 2121|)1(|)1(0 ，得，得令令（2）因为）因为nnnnnnaaaaaaaaaAI 212222111211的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项：其中一项：)()(2211nnaaa 由行列式定义由行列式定义 ， 展开式中的其余项至多包含展开式中的其余项至多包含 个主对角线上的元素，因此特征多项式个主对角线上的元素，因此特征多项式中含中含 的项只能在主对角线元素乘积项的项只能在主对角线元素乘积项中出现，故可以有中出现，故可以有2 n1 nn 与与AaaaAInnnnn)1()(12211 将它与前面

15、一式比较，即得：将它与前面一式比较，即得： niiiniia11 这也称为方阵这也称为方阵 ，即，即 )(AtrA的迹，记为niiiniiaAtr11)(推论推论6.16.1 n n阶方阵阶方阵A A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A A的的n n 个特征值个特征值 均非零均非零.证明证明定理定理6.4设设 1, 2, m是是n阶矩阵阶矩阵A的的m个互不相同的个互不相同的特征值，特征值， 1 , 2, m为与其对应的特征向量，则为与其对应的特征向量，则 1 , 2, m线性无关线性无关. 注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向

16、量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值 即有即有的特征向量的特征向量的的的属于特征值的属于特征值同时是同时是如果设如果设因为因为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x则则.与与定定义义矛矛盾盾121212121212 ,.6.4ststA 设是方阵 的两

17、个不同的特征值与分别对应于的线性无关的特征向量，则线推性无关论1(1,1,1) ,(1,1,2,1)1.TTAnAXA设 是 阶方阵，各行元素之和都是 ，证明必有一组解，或必有特补征值充例.AXAX),(XxaxaxaxaxaxaxaxaxaTnnnnnnnnn1111111221122221211212111有特征值有特征值，则，则即即，所以有一组解所以有一组解证：证： ., 0det,2, 0A3Idet :4 2 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAIAAAT1 设三阶方阵设三阶方阵 的三个特征值分别为的三个特征值分别为2,3,7，求行列式求行列式 。AIA 563363616115 IA1.1.解解 当当 的特征值时，知的特征值时，知 )5()5()15(IAIAi 矩阵矩阵的特征值，即的特征值，即为