极点配置与观测器的设计学习教案

1、会计学1极点配置极点配置(pizh)与观测器的设计与观测器的设计第一页，共104页。2022年6月21日u5.1 反馈控制结构反馈控制结构 u5.2 系统的极点配置系统的极点配置u5.3 状态解耦状态解耦 u5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法 u5.5 带状态观测器的反馈系统带状态观测器的反馈系统 u5.6 MATLAB在控制系统综合在控制系统综合(zngh)中中的应用的应用 第第5章章 极点配置极点配置(pizh)与观测器与观测器的设计的设计第1页/共103页第二页，共104页。2022年6月21日l综合与设计问题，即在已知系统结构和参数综合与设计问题，即在已知系统结构和参数( (

2、被控系统数学模型被控系统数学模型) )的基础上，的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。l一般说来，这种控制规律常取反馈形式。一般说来，这种控制规律常取反馈形式。l经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置闭环极点，经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了利用输出反馈以外，更主以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供更多的校正信息。要是利用状态反馈配置极点，它能提供更多的校正信息。l由于状态反馈

3、提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要用可测量的由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要用可测量的输入输出重新构造输入输出重新构造(guzo)(guzo)状态观测器得到状态估计值。状态观测器得到状态估计值。l状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的主要内容。状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的主要内容。第2页/共103页第三页，共104页。2022年6月21日 xAxBuyCxDuu=V - Kx则闭环系统则闭环系统(xtng)的结构的结构(jigu)如图如图 5-1 所示。所示。给定系统给定系统在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控

4、制律状态反馈状态反馈第3页/共103页第四页，共104页。2022年6月21日状态状态(zhungti)空间表达式为：空间表达式为：()()() xAxBuAxB VKxABK xBVyCxDuCxD VKxCDK xDV第4页/共103页第五页，共104页。2022年6月21日输出输出(shch)反馈反馈0D xABHC xBVyCx当当时，输出反馈系统动态时，输出反馈系统动态(dngti)方程为方程为第5页/共103页第六页，共104页。2022年6月21日状态状态(zhungti)反馈系统的性质反馈系统的性质 定理定理5-1 5-1 对于任何常值反馈阵对于任何常值反馈阵K K，状态反馈系

5、统能，状态反馈系统能控的充分控的充分(chngfn)(chngfn)必要条件是原系统能控。必要条件是原系统能控。 证明证明(zhngmng) (zhngmng) 对任意的对任意的K K阵，均有阵，均有0IIABKBIABKI上式中等式右边的矩阵上式中等式右边的矩阵 0IKI，对任意常值都是非奇异的。，对任意常值都是非奇异的。因此对任意的因此对任意的 和和K K，均有，均有 IABKBIABrankrank说明，状态反馈不改变原系统的能控性说明，状态反馈不改变原系统的能控性 第6页/共103页第七页，共104页。2022年6月21日：120311xxu 12yx完全完全(wnqun)(wnqun

6、)能控能观，引入反馈能控能观，引入反馈3 1uxV 例例 系统系统(xtng)(xtng)K：120001xxv 12yx不难判断，系统不难判断，系统K仍然是能控的，但已不再仍然是能控的，但已不再能观测。能观测。K则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为第7页/共103页第八页，共104页。2022年6月21日定理定理(dngl) 5-2 (dngl) 5-2 给定系统给定系统DuCxyBuAxx:kxvu通过状态反馈通过状态反馈任意配置极点的充任意配置极点的充完全能控完全能控。要条件要条件能控系统的极点能控系统的极点(jdin)(jdin)配置配置 所谓所谓极点配置极点配置

7、，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。希望的动态性能。第8页/共103页第九页，共104页。2022年6月21日证证: : 只就单输入系统只就单输入系统(xtng)(xtng)的情况证明本定理的情况证明本定理 充分性：因为给定系统充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换能控，故通过等价变换 Pxx 必能将它变为能控标准形必能将它变为能控标准形 :xAxbuycxdu这里，这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有为非奇异的实常量等价变换矩

8、阵，且有111110aaaPAPAnn， 第9页/共103页第十页，共104页。2022年6月21日100Pbb111nncPcdd 引入状态引入状态(zhungti)(zhungti)反馈反馈uvKx12nKkkk则闭环系统则闭环系统 K的状态空间表达式为的状态空间表达式为 :K()()xA bK xbvycdK xdv第10页/共103页第十一页，共104页。2022年6月21日其中其中(qzhng)(qzhng)，显然有，显然有112101()1nnnAbKakakak系统系统K的闭环特征方程为的闭环特征方程为0)()()(121211kaskaskasnnnnnn第11页/共103页第

9、十二页，共104页。2022年6月21日同时，由指定的任意同时，由指定的任意 n个期望闭环极点个期望闭环极点 n*2*1*,可求得期望可求得期望(qwng)(qwng)的闭环特征方程的闭环特征方程0)()(*11*1*2*1*nnnnnasasassss通过比较系数通过比较系数(xsh)(xsh)，可知，可知 *1*212*11nnnnakaakaaka第12页/共103页第十三页，共104页。2022年6月21日由此即有由此即有1*11*12*1aakaakaaknnnnn又因为又因为(yn wi)(yn wi)1uvKxvKP xvKxKKP所以所以(suy) (suy) 第13页/共10

10、3页第十四页，共104页。2022年6月21日1111,nnnnKaa aaaaK1KKP *1nisIABKfss第14页/共103页第十五页，共104页。2022年6月21日3100110001rankrank2bAAbb解：解：因为因为例例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为uxx001110011000 xy110求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵 K，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 2*131*3 , 2j系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能能配置闭环特征值。配置闭环特征值。任意任意第15页/共103页第十六页，共

11、104页。2022年6月21日1) 1) 由由得得2) 2) 由由得得3)3)det()detssIAsssss32001102011,.aaa123210*,.aaa123488*()()()()()()sssssjsjsss 1233221313488, ,kaa aa aa3322118 7 2第16页/共103页第十七页，共104页。2022年6月21日4)4)5)5)6)6)aaQbAbA ba2121110012112110011210110100001100100PQ11121001110011100121001872011233121kkP第17页/共103页第十八页，共104

12、页。2022年6月21日解法解法2 2：直接法：直接法解：设所需的状态反馈增益解：设所需的状态反馈增益(zngy)(zngy)矩阵矩阵k k为为因为经过状态反馈因为经过状态反馈 后，闭环系统后，闭环系统(xtng) (xtng) 特征多项式为特征多项式为的的kkkk123uvkx detf ssIAbkdetsskkks 123000001001100000110skskkskkk32112123221第18页/共103页第十九页，共104页。2022年6月21日比较两多项式同次幂的系数，有比较两多项式同次幂的系数，有 ：8, 812 , 42321211kkkkkk得：得： 即得状态反馈即得

13、状态反馈(fnku)(fnku)增益矩阵为增益矩阵为: : 与解法与解法1 1的结果的结果(ji gu)(ji gu)相同相同求得闭环期望求得闭环期望(qwng)(qwng)特征多项式为特征多项式为 fsssjsjsss 3221313488,kkk123233k 233第19页/共103页第二十页，共104页。2022年6月21日例例5-3 5-3 设被控设被控(bi kn)(bi kn)系统传递函数为系统传递函数为 32( )11( )(6)(12)1872C sR ss sssss要求性能指标为：超调量：要求性能指标为：超调量： ；峰值；峰值(fn zh)(fn zh)时间时间： ；系统

14、带宽：；系统带宽： ；位置误差；位置误差 。试。试用极点配置法进行综合。用极点配置法进行综合。 %5% stp5 . 010b0pe 解解 （1 1）原系统能控标准）原系统能控标准(biozhn)(biozhn)形动态方程为形动态方程为11223312301000010072181100 xxxxuxxxyxx 对应特征多项式为对应特征多项式为 321872sss第20页/共103页第二十一页，共104页。2022年6月21日综合考虑响应速度和带宽要求，取综合考虑响应速度和带宽要求，取 。于是，闭环主导。于是，闭环主导(zhdo)(zhdo)极点为极点为 ，取非主导，取非主导(zhdo)(zh

15、do)极点为极点为（2 2）根据技术指标确定希望）根据技术指标确定希望(xwng)(xwng)极点极点 系统系统(xtng)(xtng)有三个极点，为方便，选一对主导极点有三个极点，为方便，选一对主导极点 ，另外一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：另外一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：12,s s21%e21pnt22412244bn将已知数据代入，从前将已知数据代入，从前3 3个指标可以分别求出：个指标可以分别求出： 0.707,9.0n9.0b10n1,27.077.07sj 100103ns第21页/共103页第二十二页，共104页。2022年6月21日

16、3 3） 确定状态确定状态(zhungti)(zhungti)反馈矩阵反馈矩阵 232()(100)(14.1100)114.1151010000IAbKsssssss 100000151072114.1 1810000143896.1K 232( )(100)(14.1100)114.1151010000vvyuKKGsssssss001lim( )lim1( )0peuyussesGsGss0lim( )1yusGs10000vK 状态反馈系统的期望状态反馈系统的期望(qwng)(qwng)特征多项式为特征多项式为由此，求得状态由此，求得状态(zhungti)(zhungti)反馈矩阵为反

17、馈矩阵为 （4 4）确定输入放大系数）确定输入放大系数状态反馈系统闭环传递函数为：状态反馈系统闭环传递函数为： 因为因为所以所以，可以求出，可以求出第22页/共103页第二十三页，共104页。2022年6月21日 其中，其中， 的特征值不能任意的特征值不能任意(rny)(rny)配置。配置。对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。系统传递函数的零点。(2) (2) 若系统是不完全能控的，可将其状态方程变若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：换成如下形式：(3)(3) 讨论讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递状态反馈不改

18、变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。公因子被对消所致。(1)(1)1111121222200 xxAAbuxxA A22第23页/共103页第二十四页，共104页。2022年6月21日例例 某位置某位置(wi zhi)(wi zhi)控制系统（伺服系统）简化线路如下控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流通过霍尔电流传感器测得电枢电流 ，即，即 。已知折算到电。已知折算到电动机轴

19、上的粘性摩擦系数动机轴上的粘性摩擦系数 、转动惯量、转动惯量 ；电；电动机电枢回路电阻动机电枢回路电阻 ；电枢回路电感；电枢回路电感 ；电动势系数；电动势系数为为 、电动机转矩系数为、电动机转矩系数为 。选择。选择 、 、 作为状态变量。将系统极点配置到作为状态变量。将系统极点配置到 和和 ，求，求K 阵。阵。TGTGKuDim/(rad/s)N1 f2mkg1DJ1DRH1 . 0DLV/(rad/s)1 . 0eKm/AN1 mKoDi31j10第24页/共103页第二十五页，共104页。2022年6月21日第25页/共103页第二十六页，共104页。2022年6月21日解解 1. 建立系

20、统状态建立系统状态(zhungti)空间模空间模型型)(oiKuoAAuKuAPDuKu DDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx 为恒定的负载转矩为恒定的负载转矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy第26页/共103页第二十七页，共104页。2022年6月21日2. 计算计算(j sun)状态反馈矩阵

21、状态反馈矩阵9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系统能控所以系统能控计算出状态反馈矩阵计算出状态反馈矩阵 1 . 02 . 14210KKKK状态反馈系统的状态图如图（状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）所示（没有画出 ）。）。FT经过经过(jnggu)结构变换成（结构变换成（d）图所示的状态）图所示的状态图图10K因为位置主反馈因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：，其他参数的选择应该满足：440PAKKKKP12 . 1KK P21 . 0KK 验证验证(ynzhng)：求图（：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极）系统的传递函数

22、，其极点确实为希望配置的极点位置。点位置。第27页/共103页第二十八页，共104页。2022年6月21日镇定镇定(zhndng)(zhndng)问题问题l 定义定义: :若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实部，若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实部，即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。l 镇定问题镇定问题(wnt)(wnt)是一种特殊的闭环极点配置问题是一种特殊的闭环极点配置问题(wnt)(wnt)。定理定理5-3 5-3 线性定常系统采用状态线性定常系统采用状态(zhungti)(zhungti)反馈可镇定的充

23、要条件反馈可镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。是其不能控子系统为渐进稳定。u对能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇定。对能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇定。u对满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性结构分对满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性结构分解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反馈阵，最后再解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反馈阵，最后再转换为原系统的状态反馈阵。转换为原系统的状态反馈阵。第28页/共103页第二十九页，共104页。2022年6月21日例5-4 已知系统(xtng)的状态方程为要求用状态(zhungti)反馈

24、来镇定系统。 解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统特征值为5，符合可镇定条件。故原系统可用状态(zhungti)反馈实现镇定，镇定后极点设为 100102010050u xx能控子系统方程能控子系统方程(fngchng)为为101021uu CCCCCxA xbxu CCVK x12kkCK引入状态反馈引入状态反馈，设，设1,222sj 第29页/共103页第三十页，共104页。2022年6月21日状态状态(zhungti)(zhungti)反馈系统特征方程为反馈系统特征方程为21212()(3)220sskkskkCCCIAb K 121320kk CK 013200 CKK比较

25、对应比较对应(duyng)(duyng)项系数，可项系数，可得得为为5 5的特征值无须配置的特征值无须配置(pizh)(pizh)，所以原系统的状态反馈阵可写为，所以原系统的状态反馈阵可写为2222248sjsjss期望的特征多项式为期望的特征多项式为第30页/共103页第三十一页，共104页。2022年6月21日问题问题(wnt)(wnt)的提出的提出考虑考虑(kol)MIMO(kol)MIMO系统系统在在 (0)0 x的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数可用传递函数 ( )G s描述：描述： 1( )( ) ( )()( )y sG s u sC s

26、IABu s x AxBuyCx：第31页/共103页第三十二页，共104页。2022年6月21日可写为可写为式中每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少式中每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少(dusho)个输入所控制，我们称这种交互作用的现个输入所控制，我们称这种交互作用的现象为耦合。象为耦合。11111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )rrrrmmmmrry sgs u sgs u sgs u sy sgs u sgs u sgs u sysgs u s

27、gs u sgs u s1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s第32页/共103页第三十三页，共104页。2022年6月21日显然，经过解耦的系统可以看成是由显然，经过解耦的系统可以看成是由m m个独立单变量个独立单变量(binling)(binling)子系统所组成。子系统所组成。解耦控制问题解耦控制问题: :寻找寻找(xnzho)(xnzho)一个输入变换矩阵和状态反馈一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对增益矩阵对如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个(y (y )输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。输入的控

28、制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。, ,使得使得闭环系统的传递函数阵闭环系统的传递函数阵1122( )000( )0( )00( )mmgsgsG sgsLK、第33页/共103页第三十四页，共104页。2022年6月21日11( )gs22( )gs( )ppgs1u2upu1y2ypy第34页/共103页第三十五页，共104页。2022年6月21日状态状态(zhungti)(zhungti)解耦解耦 利用状态利用状态(zhungti)(zhungti)反馈实现解耦控制，通常反馈实现解耦控制，通常采用状态采用状态(zhun

29、gti)(zhungti)反馈加输入变换器的结构形反馈加输入变换器的结构形式式 状态状态(zhungti)反馈阵反馈阵 输入变换阵输入变换阵 第35页/共103页第三十六页，共104页。2022年6月21日状态解耦问题可描述为：状态解耦问题可描述为：对多输入多输出系统（设对多输入多输出系统（设D=0D=0）设计）设计(shj)(shj)反馈解耦控制律反馈解耦控制律 uKxLV()xABK xBLVyCx1( )()sKLGC sIABKBL使得使得(sh de)(sh de)闭环系统闭环系统的传递函数矩阵的传递函数矩阵(j zhn)(j zhn)为对角形为对角形第36页/共103页第三十七页，

30、共104页。2022年6月21日实现解耦控制实现解耦控制(kngzh)(kngzh)的条件和主要结论的条件和主要结论定义两个特征定义两个特征(tzhng)量并简要介绍它们的一些性质。量并简要介绍它们的一些性质。1) 1) 解耦阶系数解耦阶系数(xsh) (xsh) min( )iisdG1中各元素分母与分子多项式幂次之差中各元素分母与分子多项式幂次之差( )isG( ) sGi式中式中为被控系统传递函数矩阵为被控系统传递函数矩阵中的第中的第个行向量。个行向量。2311(1)(2)(1)(2)( )1(1)(2)(1)(2)sss ssssssssssG例例解耦阶系数为解耦阶系数为 12min1

31、 2 10min2 1 10dd ，第37页/共103页第三十八页，共104页。2022年6月21日2 2、可解耦性矩阵、可解耦性矩阵(j zhn) (j zhn) 12mEEEE1lim( )idiisssEG其中其中(qzhng) (qzhng) 定理定理 5-4 5-4 系统在状态系统在状态(zhungti)(zhungti)反馈反馈下实下实E现现解耦控制的充要条件是为解耦控制的充要条件是为非奇异。，即非奇异。，即uLvKxdet0E 第38页/共103页第三十九页，共104页。2022年6月21日例例5-4 5-4 给定给定( (i dni dn) )系统系统 其中其中(qzhng):

32、(qzhng):其传递函数矩阵其传递函数矩阵(j zhn)(j zhn)为为 : :得到得到 : :xAxBuyCx000101123A100001B21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss110001C1111222122min 1min1 2 10min 1min2 1 10dddddd ，第39页/共103页第四十页，共104页。2022年6月21日故该系统可以通过状故该系统可以通过状态态(zhungti)(zhungti)反反馈实现解耦控制馈实现解耦控制112lim( )lim1 0311(1)(2)(1)(2)

33、sssss sEsg sssss221(1)lim( )lim0 (2)(1)(2)1ssssEsgsssss10det001E 第40页/共103页第四十一页，共104页。2022年6月21日算法算法(sun f)(sun f)和推论和推论1 2 iidEip、 ，2) 2) 构成矩阵构成矩阵 ，若，若 非奇异，则可实现状态非奇异，则可实现状态EE反馈反馈(fnku)(fnku)解耦；否则，不能状态反馈解耦；否则，不能状态反馈(fnku)(fnku)解耦。解耦。3) 3) 求取矩阵求取矩阵 和和 , ,则则 就是所需的就是所需的KLuLvKx状态反馈控制律。状态反馈控制律。( )G s112

34、1pEELEE12111211pdddpc Ac AKEc A第41页/共103页第四十二页，共104页。2022年6月21日（4 4）在状态）在状态(zhungti)(zhungti)反馈反馈 下，闭环系下，闭环系统其传递函数矩阵为统其传递函数矩阵为: :uLvKx例例 给定给定( (i dni dn) )系统系统试求使其实现试求使其实现(shxin)(shxin)解耦控制的状态反馈控解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。制律和解耦后的传递函数矩阵。1211111( )1mdddssssKLG000100010012301xxu110001yx第42页/共103页第四十三页，共10

35、4页。2022年6月21日解：解：1) 1) 在前例在前例(qinl)(qinl)中已求得中已求得 2) 2) 因为因为 为非奇异的为非奇异的, ,所以所以(suy)(suy)可状态可状态反馈反馈(fnku)(fnku)解耦解耦. .3) 3) 因为因为所以有所以有121201 00 1ddEE12EEIE1111001dc Ac A2122123dc Ac A 1001 123KLEI第43页/共103页第四十四页，共104页。2022年6月21日001123uvx于是于是(ysh)(ysh)00110()0010000001xABK xBVxu110001yxK4) 4) 反馈后，对于闭环

36、系统反馈后，对于闭环系统 有有110()()10sG sKLC sIABKBLs ； ，第44页/共103页第四十五页，共104页。2022年6月21日推论推论(tuln)(tuln)：iEid1) 1) 能否态反馈实现解耦控制取决于能否态反馈实现解耦控制取决于 和和 。2) 2) 求得求得 ， ，则解耦系统的传递函数，则解耦系统的传递函数 矩阵即可确定。矩阵即可确定。id, ,im1 2 3) 3) 系统解耦后，每个系统解耦后，每个SISOSISO系统的传递函数均为系统的传递函数均为 重积分形式。须对它进一步施以极点配重积分形式。须对它进一步施以极点配 置。置。1id 4) 4) 要求系统能

37、控，或者至少能镇定否则要求系统能控，或者至少能镇定否则(fuz)(fuz)不能不能 保证闭环系统的稳定性。保证闭环系统的稳定性。第45页/共103页第四十六页，共104页。2022年6月21日器实现状态器实现状态(zhungti)(zhungti)重构重构引言引言(ynyn)：第46页/共103页第四十七页，共104页。2022年6月21日观测器的设计观测器的设计(shj)(shj)思路思路则称则称 为为 的一个状态观测器。的一个状态观测器。如果动态系统如果动态系统 以以 的输入的输入 和输出和输出 作作为其输入量能产生一组输出量为其输入量能产生一组输出量 渐近于渐近于 即即设线性定常系统设线

38、性定常系统 的状态向量的状态向量 不能直接检测不能直接检测 0 0 g g, 0limtxxxxyux（0),CBA第47页/共103页第四十八页，共104页。2022年6月21日定理定理(dngl) (dngl) 系统系统 其观测器极点可任意其观测器极点可任意配置的充要条件是系统完全能观测配置的充要条件是系统完全能观测 x AxBuyCx：证证: : 因为因为(yn wi)(yn wi)yCxyCxCAxCBu2(1)12(2) nnnnyCAxCBuCA xCABuCBuyCAxCABuCBu状态状态(zhungti)(zhungti)观测器的存在条件观测器的存在条件, ,A B C 第4

39、8页/共103页第四十九页，共104页。2022年6月21日2(1)(2)21 nnnnCyCAyCBuyCBuCABuCAxNxyCBuCABuCA即即uy、xxrankNn所以所以, ,只有当只有当 时，上式中的时，上式中的 才能有唯才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时一解即只有当系统是状态完全能观测时, ,状态向状态向量量 才能由才能由 以及它们的各阶导数的线性组以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。合构造出来。第49页/共103页第五十页，共104页。2022年6月21日( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx t全维状态全维状态(zhungti)(zhun

40、gti)观测器观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置同的模拟装置(1)(1)BBAACC+( )u txxyy第50页/共103页第五十一页，共104页。2022年6月21日( )x t从所构造的这一装置可以直接测量从所构造的这一装置可以直接测量。这种。这种开环状态估计器存在如下缺点：开环状态估计器存在如下缺点：每次使用必须重新确定原系统的初始状态并每次使用必须重新确定原系统的初始状态并 对估计器实施设置；对估计器实施设置；( )x tA在在 有正实部特征值时，有正实部特征值时， 最终总要趋向无最终总要趋向无 穷大。穷大。第51页/共10

41、3页第五十二页，共104页。2022年6月21日()xAxBuAxBuA xxAx0()()000( ) ( )( )oA t tA t tx ex tex tx t0)()( 00 xtxtx，偏差当0)()( 00 xtxtx，通常. 0txx特征值为负，不允许特征值为正，0.10.1tAe因此，要求 阵具有负根，且远离虚轴极点靠近虚轴近，如，衰减慢。定义定义(dngy)偏偏差差xxx如果如果(rgu)说明说明(shumng)第52页/共103页第五十三页，共104页。2022年6月21日()xAGC xBuGy(2)(2)闭环全维状态观测器。闭环全维状态观测器。 状态观测器的动态状态观测

42、器的动态(dngti)(dngti)方程方程可写为：可写为：第53页/共103页第五十四页，共104页。2022年6月21日定理定理 若若n n维线性定常系统维线性定常系统(xtng)(xtng)是状态完能观，是状态完能观，则存在状态观测器则存在状态观测器()xAGC xBuGyG可选择可选择(xunz)(xunz)矩阵矩阵 来任意配置来任意配置 的特征值。的特征值。()AGC(1)0tACx、 必须能观，要求对系数阵的配置才能实现。(2)0tx由于需要一个过程，故也称为渐进状态观测器或实用状态观测器。强调强调(qing dio)：第54页/共103页第五十五页，共104页。2022年6月21

43、日全维状态全维状态(zhungti)观测器设计方法观测器设计方法（1 1）设单输入系统）设单输入系统(xtng)(xtng)能观，通过能观，通过 ，将状态方程化为能观标准形。有，将状态方程化为能观标准形。有 线性变换阵线性变换阵P P可以可以(ky)(ky)由第由第3 3章式（章式（3-303-30）求出。）求出。 1xPx001122110001000100010001xxxnnaaauay第55页/共103页第五十六页，共104页。2022年6月21日（2 2）构造）构造(guzo)(guzo)状态观测器。状态观测器。 令令 ，得到，得到(d (d do) do) ()uyxAGC xbG

44、011TngggG00112211010100010001AGCnnagagagag其闭环特征方程为其闭环特征方程为1111100()()()()0IAGCnnnnssagsag sag第56页/共103页第五十七页，共104页。2022年6月21日设状态观测器期望的极点设状态观测器期望的极点(jdin)(jdin)为为 ，其特征多项式记为，其特征多项式记为 令同次幂的系数令同次幂的系数(xsh)(xsh)相等，即得相等，即得 3 3）令）令 ，代回到式（，代回到式（5-335-33）中就得到）中就得到(d (d do)do)系统的状态观测器。系统的状态观测器。 12,ns ss*1*1101

45、( )nnnKinissssasa sa*00112211Gnnaaaaaaaa1GP G第57页/共103页第五十八页，共104页。2022年6月21日11002120 xxuyx 解：解：1 1、判断系统、判断系统(xtng)(xtng)能观测性能观测性例例 给定系统的状态给定系统的状态(zhungti)(zhungti)空间表达式为空间表达式为试设计试设计(shj)(shj)一个全维状态观测器，使一个全维状态观测器，使其极点为其极点为1010、101002CrankQrankCA所以系统使状态能观测的，可构造能任意所以系统使状态能观测的，可构造能任意配置极点的状态观测器。配置极点的状态观

46、测器。第58页/共103页第五十九页，共104页。2022年6月21日2 2、设状态、设状态(zhungti)(zhungti)观测器为观测器为xAGC xbuGyyCx121122112002201 2111202202gAGCggggg 3 3、实际状态、实际状态(zhungti)(zhungti)观测器特征多项观测器特征多项式式2112( )()(32)(242)fIAGCggg第59页/共103页第六十页，共104页。2022年6月21日*012( )()()(10)(10)20100f21ggG系数对应相等与)()(ff1002422023211ggg325.821gg4 4、观测器

47、期望、观测器期望(qwng)(qwng)特征多特征多项式项式5 5、求、求6 6、状态、状态(zhungti)(zhungti)观测器为观测器为18108.564213220 xxuyyx 第60页/共103页第六十一页，共104页。2022年6月21日第61页/共103页第六十二页，共104页。2022年6月21日例例 给定系统给定系统(xtng)(xtng)的状态空间表达式为的状态空间表达式为uxx001110011000 xy110设计一个全维状态设计一个全维状态(zhungti)(zhungti)观测器，观测器，并使观测器的极点为并使观测器的极点为*15 *2,344j 第62页/共1

48、03页第六十三页，共104页。2022年6月21日解解: : 系统完全能观测的，可构造任意配置系统完全能观测的，可构造任意配置(pizh)(pizh)特征值全维状态观测器。特征值全维状态观测器。1)1)由由 , ,得得32det()2TsIAsss123210aaa，2) 2) 观测器的期望观测器的期望(qwng)(qwng)特征多项式为特征多项式为 得得*32122()()()(5)(44)(44)1372160sssssjsjsss *1231372160aaa，3)3)123*332211 160 71 11TGgggaaaaaa第63页/共103页第六十四页，共104页。2022年6月

49、21日4)4)2112101112121010101210021100111100011CaaQCAaCA5)5)111110222024PQ6)6)1118022216071 110118020312001231TTGG PG ，第64页/共103页第六十五页，共104页。2022年6月21日得全维状态得全维状态(zhungti)观测器观测器()000801801102001 102001131031xAGC xBuGyxuy 080801801192002003032031xuy 第65页/共103页第六十六页，共104页。2022年6月21日其模拟其模拟(mn)结构如图为结构如图为第66

50、页/共103页第六十七页，共104页。2022年6月21日 利用利用y y直接产生部分状态变量，降低观测器直接产生部分状态变量，降低观测器的维数。若输出的维数。若输出(shch)m(shch)m维，则需要观测的维，则需要观测的状态为状态为(n-m)(n-m)维。即观测器的维数少于状态维数维。即观测器的维数少于状态维数 简化结构简化结构（一）建模（一）建模观测器部分对应的关键是求出为为个输出维系统，完全能观测已知222121)(XCmnmCmmCCCCmnCxyBuAxxnm降维状态降维状态(zhungti)(zhungti)观测器设计观测器设计第67页/共103页第六十八页，共104页。202

51、2年6月21日xCyuBxAxAAAPAPAA111122122BBPBB121 1、把状态方程、把状态方程“一分为二一分为二(y (y fn wi r)”fn wi r)”n mn mCCCCCPII11112111200系统方程(fngchng)变换为式中,rankPnxPx取线性变换线性变换矩阵矩阵(j zhn) 第68页/共103页第六十九页，共104页。2022年6月21日mn mCCCCCPCCII111112120011111221221122221xAxAxB uxAxAxB uyx12,xyx上式 可由 直接获得 不必再通过观测器只要求估计 的值。或：或：第69页/共103页

52、第七十页，共104页。2022年6月21日uByAywuByAu111221:令）维当然能观测。维完全能观测，输出输入维子系统上式是mnnwuAAmn(,), 1 ,()(12222122222xAwuxAx则有）（2xuBxAyAxuBxAyAy22222121212111xy 由2 2、建立需被观测、建立需被观测(gunc)(gunc)部分的状态方程部分的状态方程第70页/共103页第七十一页，共104页。2022年6月21日3 3、降维观测器的实现、降维观测器的实现(shxin)(shxin)的观测器方程为子系统), 1 ,(1222AA22212222122212111()()()xA

53、GAxuGwAGAxA yB uG yA yB uGyBuxGCAx由观测器方程第71页/共103页第七十二页，共104页。2022年6月21日为了为了(wi le)消去消去 作变换作变换y 22122111212()() ()() zAGAz GyAGAyBGB uxz Gy以上以上(yshng)(yshng)两式为降维观测器的状态方程两式为降维观测器的状态方程,zxGy zxGy22令令代入式（代入式（5-445-44）中可得到）中可得到(d do) (d do) 第72页/共103页第七十三页，共104页。2022年6月21日1111120n myCCCxP xzGyI原系统原系统(xt

54、ng)(xtng)状态变量估计值状态变量估计值5 5、降维状态、降维状态(zhungti)(zhungti)观测观测器结构图器结构图12xyxzGyx4 4、变换、变换(binhun)(binhun)后系统状态变量的估计值为后系统状态变量的估计值为第73页/共103页第七十四页，共104页。2022年6月21日第74页/共103页第七十五页，共104页。2022年6月21日*( )()( )()()n mfIAGAf22121由G求出（二）设计（二）设计(shj)1 1、 实际降维状态观测器的特征实际降维状态观测器的特征(tzhng)(tzhng)多项式多项式和希望观测器特征和希望观测器特征(

55、tzhng)(tzhng)多项式的系数应相等多项式的系数应相等。 01001000010,010611615xxu yx 例 已知试设计降维观测器，并使它的极点位于 处2 2、求出降维观测器状态方程、求出降维观测器状态方程第75页/共103页第七十六页，共104页。2022年6月21日12100010CCCn mCCPI121000100001P11000100011111221220100016116AAAPAPAA解：（解：（1 1）系统）系统(xtng)(xtng)完全能观，且完全能观，且n=3,m=2,n-n=3,m=2,n-m=1,m=1,只要一维观测器。只要一维观测器。（2）（3）

56、第76页/共103页第七十七页，共104页。2022年6月21日12001 BBPBB1100010CCP3 3）求观测器反馈）求观测器反馈(fnku)(fnku)阵阵G,G,设设 12,G Tg g降维观测器的特征降维观测器的特征(tzhng)(tzhng)方程式为方程式为22121220( )()( 6 ,)61IAGA f sssg gsg期望期望(qwng)(qwng)的特征方程式为的特征方程式为 *( )55fsss （）所以有所以有 即即 10g 01G 设设，有，有265g21g 第77页/共103页第七十八页，共104页。 2212211121112212()()()()( 6

57、 1)(01)(61100(1 0)566zAGAzGAGABGB uyyzuyyzxxu yy122yyzzy12xyxGyx1122yyzyxPxx（5 5）变换）变换(binhun)(binhun)后系统状态变量的估计值为后系统状态变量的估计值为原系统原系统(xtng)(xtng)状态变量估计值状态变量估计值（4 4）求降）求降(qi jin(qi jin) )维观测器状态方程维观测器状态方程第78页/共103页第七十九页，共104页。2022年6月21日第79页/共103页第八十页，共104页。2022年6月21日5.5 5.5 带状态观测器的状态反馈带状态观测器的状态反馈(fnku)

58、(fnku)闭环闭环系统系统两个问题：两个问题：（1 1）在状态反馈系）在状态反馈系统中，用状态估计统中，用状态估计值值是否要重新计算状是否要重新计算状态反馈增益态反馈增益(zngy)(zngy)矩阵矩阵K K？)()( ttxx（2 2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分）当观测器被引入系统后，状态反馈部分 是否会改变已经设计是否会改变已经设计(shj)(shj)好的观测器的极点配置？好的观测器的极点配置？)( tKxvu第80页/共103页第八十一页，共104页。2022年6月21日第81页/共103页第八十二页，共104页。2022年6月21日由以上由以上3 3式可得到带状态式可得到带状

59、态(zhungti)(zhungti)观测器的观测器的状态状态(zhungti)(zhungti)反馈闭环系统状态反馈闭环系统状态(zhungti)(zhungti)空间表达式空间表达式()xAxBKxBvxGCxAGCBK xBvyCx全维状态全维状态(zhungti)观测器观测器：()AGCBGyxxu设受控系统能控能观，其状态设受控系统能控能观，其状态(zhungti)空空间表达式为间表达式为xAxBuyCx设状态反馈控制律为：设状态反馈控制律为：uvKx第82页/共103页第八十三页，共104页。2022年6月21日构造构造2n2n维复合维复合(fh)(fh)系统：系统：0 xABKx

60、BvGCABKGCxBxxyCx定义定义(dngy)(dngy)误差误差xxx()()()()()xAxBuA GC xBuGCxA GC xxAxB vKxAxBvBK xxABK xBKxBv第83页/共103页第八十四页，共104页。2022年6月21日写成矩阵写成矩阵(j zhn)(j zhn)形式为形式为00 xABKBKxBvAGCxx 若被控若被控(bi kn(bi kn) )系统（，）系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行进行分离分离(fnl)