概率的概念学习教案

1、会计学1概率概率(gil)的概念的概念第一页，共55页。).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数发发称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件次试验中次试验中在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下定义(dngy) AnA(A)事事件件 出出现现的的次次数数试试验验总总次次数数nnf 第1页/共54页第二页，共55页。试验序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.

2、21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例(shl) (shl) 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次, , 各做各做 7 7 遍遍, , 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. .处波动较大处波动较大在在21波动(bdng)最小随n的增大(zn d), 频率 f 呈现出稳定性处波动较小处波动较小在在21第2页/共54页第三页，共55页。实验者德 摩根蒲 丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 20481061

3、0.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005()f H的的增增大大n1.2第3页/共54页第四页，共55页。 Afn , 的频率的频率正面向上正面向上出现出现从上表中可以看出从上表中可以看出 , 次次但总的趋势是随着试验但总的趋势是随着试验的不同而变动的不同而变动虽然随虽然随 n . 5 . 0 这个数值上这个数值上数的增加而逐渐稳定在数的增加而逐渐稳定在 可见，在大量重复的试验中，随机事件出现可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性的频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性. 我我们们(w men)

4、可以用大量试验下频率的稳定值来描述可以用大量试验下频率的稳定值来描述事件发生的可能性，得到概率的统计定义事件发生的可能性，得到概率的统计定义.第4页/共54页第五页，共55页。1. 概率概率(gil)的统的统计定义计定义 在相同的条件下重复进行n次试验，其中事件(shjin)发生了nA 次，当试验次数充分大时，事件(shjin)的频率nA /n将稳定在某一个常数p附近，则称此常数p为事件(shjin)出现的概率，记作()P Ap 注：注：当试验次数当试验次数n充分大时，根据频率的稳定性，可以充分大时，根据频率的稳定性，可以用频率近似的代替概率，即用频率近似的代替概率，即( )AnP An 0(

5、 )1, ()0, ()1P APP 显显然然，第5页/共54页第六页，共55页。注意注意(zh y)：（1）理解频率与概率的区别）理解频率与概率的区别(qbi)与联与联系系 概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只是随概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只是随机性很大的表面现象。机性很大的表面现象。（2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限）频率稳定于概率，但并非以概率为极限（3）统计定义的局限性）统计定义的局限性 试验试验n+1次所计算的频率并不一定比次所计算的频率并不一定比n次试验更加接次试验更加接近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变以及完近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变

6、以及完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。第6页/共54页第七页，共55页。 鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们往往鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们往往依照长期积累的关于依照长期积累的关于“对称性对称性”的实际的实际(shj)经验，经验，提出模型直接计算概率。这类模型称为等可能试验概提出模型直接计算概率。这类模型称为等可能试验概型。型。古古典典概概型型样样本本空空间间有有限限集集等等可可能能试试验验概概型型几几何何概概型型样样本本空空间间无无限限集集第7页/共54页第八页，共55页。（1 1）古典）古典(gdin)(gdin)试

7、试验概型验概型 若随机(su j)试验具有如下两个特征： 中基本事件总数n有限有限性每个基本事件发生的可能性相同等可能性 12=,n 1()()ijPPn则称该试验为古典型随机试验。2. 概率的古典定义概率的古典定义第8页/共54页第九页，共55页。（2 2）古典）古典(gdin)(gdin)定定义义 设古典型试验E的样本空间中所含基本事件数为n，A为任意(rny)一个事件，若设事件A包含的基本事件数为m，则A发生的概率为( )=事事件件包包含含样样本本点点数数包包含含样样本本点点总总数数AnmAP Ann 第9页/共54页第十页，共55页。1211 0( )1,()1,()0; ()( )(

8、 );( ()( )( ) ,()()A BABnnniiiiP APPABP ABP AP BnnnP ABP AP BnnA AAPAP A 古古典典定定义义满满足足：两两两两互互斥斥注：利用该定义计算注：利用该定义计算(j sun)时应考察有限性和等可时应考察有限性和等可能性这能性这两个条件两个条件第10页/共54页第十一页，共55页。例1 一付扑克牌54张，任取一张，求它是黑桃的概率(gil)。解: 以每一张扑克牌为基本(jbn)事件，所以设A表示“任取一张是黑桃”，注：注：若以花色为基本事件，共若以花色为基本事件，共5种花色，即种花色，即此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。此种

9、解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。54n 13An 13( )54AnP An黑黑，红红，梅梅，方方，王王 1设设 表表示示“黑黑桃桃”，则则AAn 1( )5AnP An第11页/共54页第十二页，共55页。 若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色(hus)为基本事件数求解均正确。即以张数为基本(jbn)事件：以花色为基本事件：131( )524AnP An1( )4AnP An第12页/共54页第十三页，共55页。1、选择适当(shdng)的样本空间满足有限与等可能利用古典定义解题利用古典定义解题(ji t)(ji t)的基本步骤：的

10、基本步骤：2、计算样本点数量，利用公式解题。第13页/共54页第十四页，共55页。3. 概率概率(gil)的几的几何定义何定义（1 1）几何）几何(j h)(j h)试验试验概型概型 若随机试验具有如下两个特征：中基本事件总数无限不可数无限性每个基本事件发生的可能性相同均匀性则称该试验为几何型随机试验。第14页/共54页第十五页，共55页。（2 2）几何）几何(j h)(j h)定义定义 设几何型试验E的样本(yngbn)空间可用一有界区域描述，其中部分区域可描述A事件所含样本(yngbn)点数量，则A发生的概率为( )( )()事事件件对对应应子子集集的的几几何何度度量量整整个个空空间间的的

11、几几何何度度量量L AAP AL第15页/共54页第十六页，共55页。注：试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的随机注：试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于(yuy)等等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无限集度可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位置形状无关。量（长度、面积等）的比较，并且与区域位置形状无关。1211 0( )1,()1,()0; ()( )( ); ,()()几几何何定定义义同同样样满满足足：两两两两互互斥斥nnniiiiP APP

12、ABP ABP AP BA AAPAP A 第16页/共54页第十七页，共55页。三大定义三大定义(dngy)的的局限：局限：统计统计(tngj)定义定义大量重复试验、破坏性试大量重复试验、破坏性试验验古典定义古典定义样本空间有限等可能样本空间有限等可能几何定义几何定义样本空间无限等可能样本空间无限等可能 鉴于此，数学家总结三者共性，提炼概率与事件间函数对应的本质以及诸多共同性质，于1933年，由苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.第17页/共54页第十八页，共55页。4. 概率概率(gil)的公理化定义的公理化定义 ,( ),0,1设设

13、试试验验 的的样样本本空空间间为为以以 中中所所有有随随机机事事件件的的集集合合为为定定义义域域, ,定定义义一一个个函函数数对对于于任任意意的的事事件件总总能能与与内内确确定定常常数数对对应应, ,且且满满足足：EEP AA 12110( )1,()1,()0,()()非非负负规规范范性性： 可可列列可可加加性性：两两两两互互斥斥nnniiiiP APPA AAPAP A ( )P AA则则称称函函数数为为事事件件 的的概概率率。思考思考(sko)：函数的定义域与值域是什么？：函数的定义域与值域是什么？第18页/共54页第十九页，共55页。性质(xngzh)1()0,()1PP 注意：不可能

14、事件注意：不可能事件(shjin)的概率为的概率为0，但概率，但概率为为0的事件的事件(shjin)不一定为不可能事件不一定为不可能事件(shjin)；必然事件；必然事件(shjin)的概率为的概率为1，但概，但概率为率为1的事件的事件(shjin)不一定是必然事件不一定是必然事件(shjin)。性质212111211 ()( )( ); ,()(),()()两两两两互互斥斥两两两两互互斥斥nnniiiiniiiiABP ABP AP BA AAPAP AA AAPAP A 第19页/共54页第二十页，共55页。性质(xngzh)3,()( )().若若为为两两个个任任意意的的随随机机事事件件

15、，则则A BP ABP AP AB证明证明(zhngmng)(),()又又AABABABAB ( )()()()( )()P AP ABP ABP ABP AP AB性质4,( )( ),()( )( ).若若为为两两个个随随机机事事件件, ,则则A BABP AP BP BAP BP A ( )1( ).设设是是的的对对立立事事件件，则则AA P AP A性质5第20页/共54页第二十一页，共55页。性质(xngzh)6(),()( )( )().加加法法公公式式 对对于于任任意意两两事事件件有有A BP ABP AP BP AB证明证明(zhngmng)AB由图可得由图可得(),ABABA

16、B(),ABAB 且且()( )().故故 P ABP AP BAB又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ()( )( )().P ABP AP BP AB第21页/共54页第二十二页，共55页。推广推广 三个事件三个事件(shjin)和的情况和的情况123()P AAA).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件(shjin)和的情况12()nP AAA njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 第22页/共54页第二十三页，共55页。 例

17、例2 某工厂职工可以订阅两种读物某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志报纸和杂志(zzh)，其中订阅报纸的概率为，其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志，订阅杂志(zzh)的概率为的概率为0.2, 两种都订阅的概率为两种都订阅的概率为0.1. 求求解解 事件事件A , B分别表示分别表示“订阅报纸订阅报纸(bozh)和订阅杂志和订阅杂志”(1)()( )()0.70.10.6P ABP AP AB(1) 订阅报纸而不订阅杂志订阅报纸而不订阅杂志(zzh)的概率的概率; (2) 至少订阅一种读物的概率至少订阅一种读物的概率; (3) 两种读物都不订阅的概率两种读物都不订阅的概率.(2)()( )(

18、)()0.8P ABP AP BP AB (3)()()0.2P ABP AB 第23页/共54页第二十四页，共55页。()()()()( )()0.50.30.2P ABCP ABP ABCP ABP CABCC由由此此：例例3 ,()0.7,()0.4,()0.5()AC BC P AP ACP ABP ABC 设设，求求()( )()( )( )( )( )()0.70.40.3P ACP AP ACP AP CACCP CP AP AC解解：（）故故：第24页/共54页第二十五页，共55页。2( )0.5,()0.2,( )0.4(),(),(),()P AP ABP BP ABP A

19、BP ABP AB. . 求求：3. ( )0.4,( )0.3,()0.6,()P AP BP ABP AB求求1. 在在10到到99的所有两位数中任取的所有两位数中任取1个数字，求其能被个数字，求其能被2或者或者3整除整除(zhngch)的概率。的概率。2 1 2. 0.2,0.3,0.7,0.3 3. 0.33答答案案： . . 第25页/共54页第二十六页，共55页。 求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本(jbn)事件总数和对所求概率事件有利的事件个数在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的： (1) 加法原理加法原理(y

20、unl)：设完成一件事有：设完成一件事有k类方法，每类又分类方法，每类又分别有别有m1 , m2, mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有m1 + m2,+mk种方法种方法 (2) 乘法原理： 设完成一件事有n个步骤第一步有m1种方法、第二步有m2种方法，第n步有mn 种方法，则完成这件事共有m1 m2 mn种方法.第26页/共54页第二十七页，共55页。(3) 不同元素不同元素(yun s)的选排列的选排列 从从n个不相同的元素中无放回取个不相同的元素中无放回取k个的排列个的排列(k n)，称为从称为从n个不同元素中取

21、个不同元素中取k个元素的选排列个元素的选排列,共有共有 种。种。当当 n k 时，称时，称n个元素的全排列共有个元素的全排列共有n！种。种。knP 例如：从3个元素(yun s)取出2个的排列总数有6种236P!()()()()!121knnpn nnnknk第27页/共54页第二十八页，共55页。(4) 不同不同(b tn)元素的重复排列元素的重复排列例如(lr)：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k =3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能(knng)取法kn nnn 从从n个不同的元索中，有放回地取个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的

22、排个元素进行的排列，共有种（元素允许重复列，共有种（元素允许重复 ）。）。kn1kn n第28页/共54页第二十九页，共55页。(5) 不全相异元素不全相异元素(yun s)的排列的排列在在n个元素个元素(yun s)中，有中，有m类不同元素类不同元素(yun s)、每类各有每类各有k1, k2 , km 个，将这个，将这n个元素个元素(yun s)作全排作全排列，共有如下种方式：列，共有如下种方式：12!mnkkkk1个元素k2个元素km个元素n个元素(yun s)因为:12112!mmkkknn kkmnCCCkkk第29页/共54页第三十页，共55页。(6) 环排列环排列(pili) 从

23、n个不同元素(yun s)中，选出m个不同的元素(yun s)排成一个圆圈的排列，共有：(1)(2)(1)(1)!mnn nnnmCmm(7) 组合组合(zh)从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列个而不考虑其次序的排列（组合），共有（组合），共有 种种.mnC4123412311242343每个排列重复了4次4!4排列数为第30页/共54页第三十一页，共55页。. . )2(; )1(古典概型古典概型验称为等可能概型或验称为等可能概型或具有以上两个特点的试具有以上两个特点的试生的可能性相同生的可能性相同试验中每个基本事件发试验中每个基本事件发有限个元素有限个元素试验的样本

24、空间只包含试验的样本空间只包含古典(gdin)概型中事件概率的计算公式( ).mAP An 所所包包含含样样本本点点的的个个数数中中样样本本点点总总数数第31页/共54页第三十二页，共55页。 古典概型中主要介绍古典概型中主要介绍(jisho)(jisho)两大典型例题：两大典型例题：有有放放回回抽抽取取（一一）抽抽球球问问题题有有序序抽抽取取无无放放回回抽抽取取无无序序抽抽取取（一一把把抓抓） （二二）质质点点落落入入问问题题（生生日日、投投信信、分分房房问问题题）第32页/共54页第三十三页，共55页。（一）抽球（一）抽球(chu qi)(chu qi)问题（随机抽取问题（随机抽取问题）问

25、题）例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球，分析下列事件(shjin)概率：取取得得两两个个全全是是白白球球A 恰恰有有一一个个是是白白球球B 至至少少有有一一个个是是白白球球C 古典概型的等可能性决定了不能按照颜色划分样本空间，因此可将球编号，从而满足要求。第33页/共54页第三十四页，共55页。1 1、有放回抽取、有放回抽取(chu q)(chu q) 抽取问题抽取问题(wnt)(wnt)中的有放回抽取自然区分顺序，因中的有放回抽取自然区分顺序，因此样本空间的样本点总数为：此样本空间的样本点总数为：116636nC C11441166164(1) ( )369C CP AC C1111

26、24421166(884(2) ( )369）C CC CP BC C 例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球1111112442441166(328(3) ( )369C CC CC CP CC C + +）8,( )( )( )9或或而而ABCABP CP AP B 1122116684( )1( )11369或或C CP CP CC C第34页/共54页第三十五页，共55页。2 2、无放回抽取、无放回抽取(chu q)(chu q) 无放回抽取分为有序与无序无放回抽取分为有序与无序(w x)(w x)两种方式。两种方式。有序即每次取一，不放回；无序有序即每次取一，不放回；无序(w x

27、)(w x)即指一次性即指一次性取够，不放回。取够，不放回。116530nC C11431165612(1) ( )3015C CP AC C111124421165(888(2) ( )3015）C CC CP BC C 例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球1111112442431165(2814(3) ( )3015+ +）C CC CC CP BC C 14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 11211165214( )1( )113015或或C CP CP CC C（有序抽取）（有序抽取）第35页/共54页第三十六页，共55页。2 2、无放回抽取、无放

28、回抽取(chu q)(chu q)2615nC2042266(1) ( )15C CP AC1142268(2) ( )15C CP BC例4 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球1120424226(14(3) ( )15+ +）C CC CP CC14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 2226114( )1( )111515或或CP CP CC（无序（无序(w x)抽取）抽取） 我们发现不同方式下结果一致，但显然无序抽取要比有序抽取计算简单。第36页/共54页第三十七页，共55页。 重新整理无放回抽取的计算思路，并且发现，三个事件(shjin)均可转化成“恰有”

29、类型的事件(shjin)或运算，因此我们以第二个事件(shjin)“恰有一个白球”为例64白2红1白1红任取2球26C14C12C1142268( )15C CP BC传说传说(chunshu)中的中的“超几超几何概率何概率”模型模型第37页/共54页第三十八页，共55页。超几何(j h)概率：NMN-Mkn-k任取nnNCkMCn kNMC kn kMNMnNC CPC 条件：无放回抽取。目的：简化运算条件：无放回抽取。目的：简化运算特点特点(tdin)：分子分母组合对应项满足和：分子分母组合对应项满足和运算运算NMNM 设设有有个个元元素素分分为为类类与与类类（数数量量分分类类）, ,Nn

30、现现从从个个元元素素中中任任取取 个个元元素素（不不放放回回）, ,nkM试试求求 个个元元素素中中恰恰好好有有 个个类类元元素素的的概概率率. .0,1,min( ,)klln M 第38页/共54页第三十九页，共55页。例5 一批产品有12件，其中4件次品，8件正品(zhngpn)，现从中任取3件，求取出的3件中含有次品的概率.解：设解：设 0,1,2,3iAii取取出出的的三三件件中中恰恰有有 件件次次品品 A 取取出出的的三三件件中中含含有有次次品品123,AAAA则则123( ) =()P AP AAA 另解另解( )1( )P AP A两两互斥，两两互斥，123,A A A且且 1

31、2213048484831241()=55C CC CC CC 123= ()()()P AP AP A034831241155C CC第39页/共54页第四十页，共55页。1 袋中有10个球，编号110，从中任取3球，不放回.求：最小号码是5的概率； 最大号码是7的概率。练习练习(linx)2 某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆，其中桶油漆，其中10桶白漆，桶白漆，4桶黑桶黑 漆，漆，3桶红漆，在搬运中所有标签桶红漆，在搬运中所有标签(bioqin)脱落，交货人随意脱落，交货人随意将油漆发给顾客将油漆发给顾客. 问一个订了问一个订了4桶白漆桶白漆3桶黑漆桶黑漆2桶红漆的顾桶红漆的顾客，能

32、按所订颜色如数得到所订货的概率客，能按所订颜色如数得到所订货的概率.答案答案112521. ; 2. .1282431第40页/共54页第四十一页，共55页。（二）生日（二）生日(shng ri)(shng ri)问题（分房问题）问题（分房问题）特点(tdin)：（1）每个人的生日有 种可能；（2）任意一天可以容纳很多人的生日。例6 房内有500人，问至少一人生日是10月1日的概率。解：因每人生日都有365种可能，故设A：至少一人生日在10月1日，则P(A)=P(至少一人生日在10月1日)=1-P(大家生日都不在10月1日)500500500364364=1=10.746.3653655003

33、65n 第41页/共54页第四十二页，共55页。u分析分析(fnx)此问题可以用投球(tu qi)入盒模型来模拟500个人500个小球365天365个盒子相似地有分房问题与投信问题相似地有分房问题与投信问题 信件 邮筒人 房子u特点：特点：每一个元素面对多个选择，一次只能主动选择一种；每一种选择被动的可以容纳多个元素。u关键：关键：主主动动因因素素样样本本点点数数量量的的确确定定：被被动动元元素素第42页/共54页第四十三页，共55页。解：每球都有N种放法，（1）当n=N时，每盒恰有一球， n个球共 n! 种放法，设A表示(biosh)“每盒恰有一球”，则!( );nnP AN n个球共 种放

34、法，nN例7 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。第43页/共54页第四十四页，共55页。例7 设有n个球，随机(su j)地放入N个盒子中，试求：（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率(gil)；（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。解: （2）当nN时，盒多球少，先从N个盒中任取n个，再在取出的n个盒中每盒放一个，共 n! 种放法，设B表示“任意n个盒中各有一球”，则!( ).nnNNnnC nPP BNN共有 种可能，nNC第44页/共54页第四十五页，共55页。例8 将3个球随机(su j)放

35、入4个杯子中，求杯子中球数最多为1，2，3的概率各是多少？解：设A，B，C分别表示(biosh)杯中球数最多为1，2，3，于是放球过程所有可能结果为34n 3433!3( )48CP A 341( )416P C 9( )1( )( )16P BP AP C第45页/共54页第四十六页，共55页。例9 将 15 名新生（其中3名是优秀生）随机地分配到三个班级中, 其中一班4人，二班5人，三班6人.求 (1) 每一个(y )班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个(y )班级的概率是多少? 解：15名新生按要求(yoqi)分配到三个班级中的分法总数:45615116

36、C C C15!=.4!5!6!(1) 每一个班级(bnj)各分配到一名优秀生的分法共有34512953!(3! 12!) (3!4!5!).C C C种种第46页/共54页第四十七页，共55页。因此(ync)所求概率为13! 12!15!3!4!5!4!5!6!p 24.91 (2)2123()()()0.07473pP AP AP A31,2,3iAii表表示示 名名优优秀秀生生被被分分到到 班班 ， = =15645611211615116()P AC C CC C C 4264562128615116()P AC C CC C C 4534563128315116()P AC C CC C C 第47页/共54页第四十八页，共55页。练习练习1 1 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , , 即都等于即都等于 1/