课件--点和直线对称问题做好的教学内容

1、课件-点和直线对称问题做好的例例1. 已知点已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点：中点坐标公式的运用解题要点：中点坐标公式的运用AC(x,y)ByxO得得C(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2练习：点练习：点P（x，y）关于点）关于点M（a，b）的对）的对称点称点Q的坐标。的坐标。例例2.已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,4)，直线，直线l 的方的方 程为程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l 的的 对称点对称点A的坐标。的坐标。 二、点关于直线对称二、点关

2、于直线对称解题要点：解题要点： k kAA = -1 AA中点在中点在l 上上 AAyxO-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0(x，y)(2，6)l解：解：练习练习:已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,3)，则，则A关于关于x轴、轴、y轴、轴、 原点原点、直线直线 y=x、y=-x、y=x+1的对称点分别是的对称点分别是_ _ _ _ _ _(-4，-3) (4，3)(4，-3)(3，-4) (-3，4)(2，-3)A(-4,3)xyo_,轴轴对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于（点点xyxP_,轴轴对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于（点点yyxP_,

3、坐坐标标是是）关关于于原原点点对对称称的的点点的的（点点yxP_,）对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于点点（点点bayxP_,对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于直直线线（点点xyyxP _,对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于直直线线（点点mxyyxP _,对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于直直线线（点点xyyxP _,对对称称的的点点的的坐坐标标是是）关关于于直直线线（点点mxyyxP 小结：小结：),(yx ),(yx ),(yx )2 ,2(ybxa ),(xy),(xy ),(mxmy ),(mxmy 例例3.求直线求直线l 1 : : 3x-y-4=0关

4、于点关于点P(2,-1)对称对称的直线的直线l 2的方程。的方程。三、直线关于点对称三、直线关于点对称解题要点：解题要点： 法一：法一： l2上的任意一点的上的任意一点的对称点在对称点在l 1上上; 法二法二： l1l2 , ,点斜式点斜式； 法三：法三： l1l2点点P到两直线等距。到两直线等距。解解: 设设A(x，y)为为l2上任意一点上任意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在l1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0 A（x,y）l2l1yxOPA(4-x,-2-y)常用结论常用结论:0CByAxl的方程为设直线0)(CyBAx

5、0)(CByxA1. 直线关于原点的对称直线的方程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5.直线关于直线直线关于直线y= -x的对称直线的方程为的对称直线的方程为0CAyBx0)()(CxByA0)()(CybxA练习练习: :直线直线2x+3y-6=02x+3y-6=0关于点关于点(1,-1)(1,-1)的对的对称直线方程称直线方程例例4. 试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线l2:

6、3x-y-1=0对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。 四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称思考：若思考：若l1/l2, 如何求如何求l1 关于关于l2的对称直线方程？的对称直线方程？l1l2lP解：解： 7x+y+6=0yxO例例4. 试求直线试求直线l1:x-y+2=0关于直线关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称L2L1L解：设解：设L方程为方程为x-y+m=0则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求mxoy解法一：1ll2l0143042yxyx

7、由)23(1，交点与得Ell23yx上也在直线，则2)23(lE，的斜率为设直线kl2)2()43(1)2(43)43(1)43(kk即12，的角到等于的角到则由题知：2211llll12tantan112 k)3(112)2(2xyl 的方程为：故直线.016112yx即E.014304221的方程对称的直线：关于直线：求直线lyxlyxl：例2，上取一点：在直线) 02(0421Ayxl1ll2lE解法二：.A)(00yxBlA，的对称点关于设0143042yxyx由)23(1，交点与得Ell23yx上也在直线，则2)23(lE0120422334200000yxxy则)5854(，B.B

8、5433)58(2)2(2xyl的方程为：故直线.016112yx即.014304221的方程对称的直线：关于直线：求直线lyxlyxl：例2解法三：1ll2lE)()(2yxPlPlyxP，的对称点关于上任一点，为直线，设.P.P01242354yyxxxxyy则258724256247yxyyxx上：在直线，042)(1yxlyxP04287242562472yxyx.0161122的方程为所求直线即lyx的方程线所在直线立即反射，求反射光直线射入，遇到：光线沿直线练习lyxlyxl042:01:121变式训练：和直线变式训练：和直线3x-4y+5=0关于关于y=x对称对称的直线的方程为的

9、直线的方程为( )A、3x+4y-5=0 B、3y+4x+5=0 C、3x-4y+5=0 D、-3y+4x-5=0D五、反射问题五、反射问题AB(5，8) (x，y)yxO A (10，-2)l(-2，4)y-4 22=-1x-2 2y+4 22-7=0AB：2x+y-18=0l：2x-y-7=0P(254，112)AP：2x-11y+48=0A.8507yx242. 5所所在在的的直直线线方方程程），求求入入射射线线和和反反射射线线，（反反射射，若若反反射射线线通通过过点点：），经经过过直直线线，（光光线线通通过过例例BlA 6(1)(21)5mmxmym例 、求证：不论 为什么实数，直线都

10、通过一定点。六、定点问题六、定点问题七七 、最值问题、最值问题例例7.已知已知P在在x轴上，轴上，A(-3，1) ，B(7，2)且且PA+PB最小，则最小，则P的坐标是的坐标是_BAPyx(-3，-1)(7，2)3x-10y-1=0y=0(13，0)M MA-MB 最大最大= AB O(13,0)AP练习练习: 已知已知P在在x轴上，轴上，A(-3，1) ，B(5，-3)且且PA+PB最小，则最小，则P的坐标是的坐标是_ 最小值是最小值是_ A(-3,1)B(5,-3)Pyxx+2y+1=0y=0(-1，0)45A(-1，0)MO变式训练：在直线变式训练：在直线l:3x-y-1=0l:3x-y

11、-1=0上找一上找一点点P,P,使它到使它到A(4,1),B(0,4)A(4,1),B(0,4)两点的距离两点的距离之才差最大之才差最大轴对称应用轴对称应用例：已知例：已知ABC的顶点的顶点A（4, 1）,B（4, 5）,角角B的内角平分线的内角平分线BE所在直线的方程为所在直线的方程为 ，求，求BC边所在直线方程。边所在直线方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE解决三角形中的角平分线问题解决三角形中的角平分线问题变式：变式：ABC的一个顶点是的一个顶点是A（3，-1），）， B, C的内角平分线所在的直线方程分的内角平分线所在的直线方程分别为别为x=0和和y=x,

12、求顶点求顶点B、C坐标坐标。xyOxy 0 xA（3,-1）A1(-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+5x+y+1=0：一条光线经过点一条光线经过点P（2，3），射到直线），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点上，反射后，穿过点Q（1，1），求），求光线的入射线和反射线的方程。光线的入射线和反射线的方程。xyOP(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx解决物理光学方面的问题解决物理光学方面的问题例例3：光线从点光线从点P（3，4）射出，到达）射出，到达x轴上轴上的点的点Q后，被后，被x轴反射到轴反射

13、到y轴上的点轴上的点M ，又被，又被y轴轴反射，这时反射光线恰好经过点反射，这时反射光线恰好经过点D（1，6），），求求QM所在直线方程。所在直线方程。xOP(-3,4)D(-1,6)yD(1,6)P(-3,-4)MQ例例4：已知已知x,y满足满足x+y=0，求，求的最小值。的最小值。2222)3()2()1()3( yxyx解决求最值的有关问题解决求最值的有关问题M(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=xP练习：练习：1、已知直线、已知直线 3xy4=0 关于关于 x 轴对称的直轴对称的直线方程为线方程为 _；关于原点对称的直；关于原点对称的直线方程为线方程为 _；关于直线；关于

14、直线 y = x 对对称的直线方程为称的直线方程为 _.2、点、点P (2 , 1 ) 关于直线关于直线 x + 2y 2 = 0 的的对称点为对称点为 _3、若直线、若直线 y = mx + 2 和直线和直线 y = 3x + n 关于直关于直线线 y = x 对称，则对称，则 m = _，n = _.3xy4 = 03xy4= 0 x3y + 4 = 0)519,52(316 4、直线、直线 3x 2y + 1 = 0 关于直线关于直线 2x 2y = 1 = 0 对称的直线方程是对称的直线方程是 _5、直线、直线l：x + 2y 2 = 0 交交 y 轴于轴于 B 点，光点，光线自点线自点 A (1，4 ) 射到射到 B 点，经过直线点，经过直线l反反射，则反射光线所在直线方程为射，则反射光线所在直线方程为_4x-6