数学分析之十一章反常积分学习教案

1、会计学1数学分析数学分析(sh xu fn x)之十一章反常之十一章反常积分积分第一页，共61页。一、一、 引例引例(yn l)二、两类反常积分二、两类反常积分(jfn)的定义的定义第1页/共61页第二页，共61页。一一. 引入引入例：曲边梯形”的面积。，右边所围成的“开口轴及直线求曲线1,12xxxy0 xy1b2x1y 解：由于这个图形不是封闭的解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形曲边梯形(txng),而在而在x轴的正方轴的正方 向是开口的，即这时的积向是开口的，即这时的积 分区间为分区间为1，+），），bxdxxAbbb1111, 1121的面积为则故显然(xinrn)当b改变时，曲边梯

2、形的面积也随之改变，1)11 (lim1lim21bdxxbbbb时，即故则所求曲边梯形(txng)的面积为1第2页/共61页第三页，共61页。二、两类反常积分二、两类反常积分(jfn)的定的定义义.定义定义(dngy)1:设函数(hnsh) f (x)在区间a, +)上连续, 取b a,如果极限babdxxf)(lim存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间a, +)上的无穷限反常积分, 记作 即 ,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)(1)第3页/共61页第四页，共61页。这时也称无穷(wqing)积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称无穷(wqing)积分 发散, 这时

3、记号 不再表示数值了。例如(lr)：oyxb211xy1第4页/共61页第五页，共61页。类似地, 设函数 f (x)在区间(q jin)(, b上连续, 取a 0.如果极如果极限限 存在(cnzi),则称此极限为无界函数 f (x)在(a, b上的反常(fnchng)积分. (4)这时也称反常积分 收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散.第15页/共61页第十六页，共61页。类似地, 设函数(hnsh) f (x)在区间a, b)上连续, 而在点 b 的左邻域内无界, 取 0. 存在(cnzi),则定义如果(rgu)极限 (5)否则, 就称反常积分 发散.badxxf)(第16页/

4、共61页第十七页，共61页。设函数(hnsh) f (x)在区间a, b上除点c (a c b)外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义积分 都收敛(shulin), 则定义(6)否则(fuz), 就称反常积分 发散.badxxf)(第17页/共61页第十八页，共61页。所以, x=a为被积函数的无穷(wqing)间断点. 于是(ysh):oyxaa a1221xay图5-7-1)0( :4022axadxa计算反常积分例第18页/共61页第十九页，共61页。且由于(yuy) . :5112的收敛性讨论反常积分例xdx第19页/共61页第二十页，共61页。当q 1时, 收敛(shul

5、in); 当q 1时, 发散. 证: 当q = 1时 )( :6baqaxdx证明反常积分例第20页/共61页第二十一页，共61页。当q 1时, 因此, 当q 1时,反常积分(jfn) 收敛, 其值为 当q 1时, 广义积分(jfn) 发散. 第21页/共61页第二十二页，共61页。例例7 7 计算计算(j sun)(j sun)反常积分反常积分.ln21 xxdx解解 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原反常故原反常(fnchng)积积分发散分发散.第22页/共61页第

6、二十三页，共61页。.)0(110的收敛性讨论瑕积分pdxxp例8.解解: ),10(1,ln, 1),1 (111110upupupdxxpp被积函数(hnsh) f在(0,1 上连续,x = 0 是瑕点.由于.且瑕积分收敛时故当，p10;111lim11010upuppdxxdxx.1瑕积分发散于时当，P第23页/共61页第二十四页，共61页。.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点解解 3032)1( xdx 103132)1()(xdx 1032)1( xdx 10032)1(limxdx3 3132)1( xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1( xdx).21(

7、33 例例9 9 计算反常计算反常(fnchng)(fnchng)积分积分第24页/共61页第二十五页，共61页。注意注意(zh y)反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间(q jin)上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。反常反常(fnchng)积分中，积分中，N-L公式，换元积分公式、公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。的是极限值

8、。第25页/共61页第二十六页，共61页。如如 无穷无穷(wqing)限积分限积分 aaFFdxxf)()()( bFbFdxxf)()()( aavduauvudv)(再如再如 瑕积分瑕积分(jfn)0()()( aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfba bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()() 0() 0()(aFcFcFbF babavduabuvudv0)(第26页/共61页第二十七页，共61页。 02)1)(1(1无关并求其值无关并求其值与与 dxxxI 例例10 证明证明(zhngmng)证证dxxxI 02)1)(1(1 dxxx 1012)1)(1(

9、1 21II dxxxI 1021)1)(1(1 )1(tx 令第27页/共61页第二十八页，共61页。dtttt 12)1)(1( 21III dxxxdxxxx 1212)1)(1(1)1)(1( 41112 dxx第28页/共61页第二十九页，共61页。四四. 小结小结(xioji)(1) 无穷(wqing)积分和瑕积分的定义;(2) 无穷积分(jfn)和瑕积分(jfn)收敛与发散的定义;(3) 无穷积分的计算：(i).求出函数f(x)的原函数F(x).)(limxFx时，则求出上限为(ii).)(limxFx时，则求出上限为第29页/共61页第三十页，共61页。一一. . 无穷积分无穷

10、积分(jfn)(jfn)的性质的性质二二. . 无穷积分无穷积分(jfn)(jfn)收敛的判别法收敛的判别法第30页/共61页第三十一页，共61页。一一. 无穷积分无穷积分(jfn)的性质的性质性质性质(xngzh)则为任意常数都收敛与若，k，kdxxfdxxfaa2121,)()(且也收敛，dxxfkxfka)()(2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk.)()()()(22112211性质性质(xngzh)b，auaf上可积在任何有限区间若,且同敛散与则，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa第31页/共61页第三十二页，共61页。性质性质(

11、xngzh)，dxxf，uafa收敛且上可积在任何有限区间若)(,且必收敛则，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa注注.)()(为绝对收敛称收敛时当aadxxf，dxxf性质说明绝对收敛(shulin)的级数自身一定收敛(shulin)但自身收敛(shulin)的级数不一定绝对(judu)收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛第32页/共61页第三十三页，共61页。二二. 无穷无穷(wqing)积分收积分收敛的判别法敛的判别法，比较，比较(bjio)原则原则:)(收敛的充要条件是无穷积分adxxf便有只要, 021GuuaG.)(21uudxxf，柯西准则，柯西准则(zhnz)，g

12、fa积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在),且满足),),()(axxgxf第33页/共61页第三十四页，共61页。，比较，比较(bjio)原则原则，gfa积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在),且满足),),()(axxgxf则;)()(收敛则收敛若dxxf，dxxgaa.)()(发散则发散若aadxxg，dxxf推推论论(tuln)aadxxgdxxf，ci;)()(0)(同敛散与时当且上可积都在任何有限区间和设, 0)(,x，guagfcxgxfx)()(lim;)()(0)(收敛则收敛若时当dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(发散则发散若时当dxxf，dxxg，

13、ciiiaa第34页/共61页第三十五页，共61页。，柯西判别，柯西判别(pnbi)法法，ua，aaf上可积且在任何有限区间定义在设,)0)(,.)(limxfxpx1( ), ,)1( );paf xxapf x dxx则 当且0时收敛 发散时且当.)(1),1)(dxxfpaxxxfap推推论论(tuln)且上可积且在任何有限区间定义在设，ua，af,),( )1,0( );aipf x dx 则当0时收敛 ( )1,0( ).aiipf x dx 当时发散第35页/共61页第三十六页，共61页。，狄利克雷判别，狄利克雷判别(pnbi)法法若uadxxfxF)()(，a上有界在),上在),

14、)(axg则时单调趋于当，x0.)()(收敛adxxgxf，阿贝尔判别，阿贝尔判别(pnbi)法法若adxxf)(则上单调有界在收敛，ax，g),)(.)()(收敛adxxgxf第36页/共61页第三十七页，共61页。解：解：例例1.讨论收敛性，讨论收敛性，021sindxxx), 0,111sin22xxxx由于收敛且21102dxx根据(gnj)比较原则.绝对收敛021sindxxx第37页/共61页第三十八页，共61页。例例2.讨论下列无穷讨论下列无穷(wqing)积分积分的收敛性，的收敛性，0521.1)2(;) 1 (dxxxdxexx解解(1)：都有由于,R, 0limlim22x

15、xxxexexx根据(gnj)柯西判别法1dxexx.都收敛R解解()：11lim5221xxxx由于根据(gnj)柯西判别法0521dxxx.发散第38页/共61页第三十九页，共61页。例例3解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较根据比较(bjio)原则，原则，.1134的收敛性的收敛性判别无穷积分判别无穷积分 xdx.1134收敛收敛无穷积分无穷积分 xdx第39页/共61页第四十页，共61页。例例43/221.1xdxx判别无穷积分的收敛性解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根据极限判别法，所给广义积分根据极限判别法，所给广义积分(jfn)发散发散

16、例例5解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根据极限判别法，所给无穷积分根据极限判别法，所给无穷积分(jfn)发散发散.arctan1的收敛性的收敛性判别无穷积分判别无穷积分dxxx 第40页/共61页第四十一页，共61页。( ) ,)( )( )aaf xaf x dxf x dx 定理设函数在区间上连续，如果收敛；则也收敛证证).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收敛收敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxf

17、dxxdxxf 即即收敛收敛(shulin).第41页/共61页第四十二页，共61页。( ).af x dx定义 满足定理条件的广义积分称为绝对收敛( )af x dx绝对收敛的无穷积分必定收敛例例0sin( ,0).axebxdx a ba判别无穷积分都是常数的收敛性解解.,sin0收敛收敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给无穷积分所以所给无穷积分(jfn)收敛收敛.第42页/共61页第四十三页，共61页。第43页/共61页第四十四页，共61页。第44页/共61页第四十五页，共61页。 小结小结(xioji)一一. 无穷积分无穷积分(jfn)的性质的性

18、质二二. 无穷积分收敛无穷积分收敛(shulin)的判别法的判别法.柯西准则柯西准则.比较原则比较原则.柯西判别法柯西判别法.狄利克雷判别法狄利克雷判别法.阿贝尔判别法阿贝尔判别法第45页/共61页第四十六页，共61页。11.3瑕积分的性质瑕积分的性质(xngzh)与收敛判别与收敛判别瑕积分与无穷积分有平行(pngxng)的理论和结果 . 第46页/共61页第四十七页，共61页。一一. 瑕积分瑕积分(jfn)的性的性质质性质性质(xngzh)12( )( )bbaaf x dxf x dx当瑕积分与都收敛时1 12 2( )( ),bak f xk f x dx瑕积分也收敛且b1 122112

19、2( )( )( )( ).bbaaak f xk fx dxkf x dxkfx dx性质性质(xngzh)( , )fxaa b若 的瑕点为，c为任意常数c( )( ),baafx dxfx dx则 瑕 积 分与同 敛 态 且( )( )( ).bcbaacf x dxf x dxf x dx2112,ffxak k若 与 的瑕点同为，为任意常数则第47页/共61页第四十八页，共61页。性质性质(xngzh) , ( )au bfx dx上可积.则当收敛时，( ),af x dxb必收敛 且( )( ).bbaaf x dxf x dx注注( )( ).bbaaf x dxf x dx当收

20、敛时称为绝对收敛性质(xngzh)说明绝对收敛的级数自身一定收敛但自身收敛的级数不一定(ydng)绝对收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛( , fxafa b若函数 的瑕点为， 在的任一内闭区间第48页/共61页第四十九页，共61页。二二. 无穷积分无穷积分(jfn)收敛的判收敛的判别法别法( ):baf x dx a瑕积分为瑕点 收敛的充要条件是120,0,uua a只要便有.)(21uudxxf.柯西准则柯西准则(zhnz)第49页/共61页第五十页，共61页。，比较，比较(bjio)原则原则( )( );bbaag x dxf x dx若收敛 则收敛( )( ).bbaaf x

21、dxg x dx若发散 则发散推论推论(tuln)( )0( )( );bbaaicf x dxg x dx 当时与同敛态( ) 0,g x 又若且( )lim( )xaf xcg x ，则有( )0( )( );bbaaiicg x dxf x dx当时若收敛则收敛()( )( ).bbaaiiicg x dxf x dx 当时若发散则发散( , ,( , a bfgxaa b 设定义在上的两个函数 和瑕点同为都在任何区间 u,b上可积且满足( )( ),( , f xg xxa b第50页/共61页第五十一页，共61页。.柯西判别柯西判别(pnbi)法法( , () , ( , fa b

22、au ba b设 定义在为瑕点 且在任何区间上可积,lim()( ).pxaxaf x1( ),1( );()bpaf xpf x dxxa则 当且0时,收敛 1( ),1( ).()bpaf xpf x dxxa当且时,发散推推论论(tuln)( , , ,fa bau ba b设 定义于为瑕点 ，且在任何区间上可积,若( )1,0,( );baipf x dx 则当0时收敛 ( )1,0,( ).baiipf x dx 当时发散第51页/共61页第五十二页，共61页。例例1例例2第52页/共61页第五十三页，共61页。第53页/共61页第五十四页，共61页。第54页/共61页第五十五页，共61页。例例3.ln31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解的左邻域内无界的左邻域内无界被积函数在点被积函数在点1 x由洛必达法则由洛必达法则(fz)知知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根据柯西判别法极限形式根据柯西判别法极限形式(xngsh),所给广义积分发散所给广义积分发散.第55页/共61页第五十六页，共61页。例例4.1sin31的收敛