大学物理第14章电流和磁场

1、1第十四章第十四章 电流和磁场电流和磁场2 前三章介绍了前三章介绍了静止电荷间相互作用的规律静止电荷间相互作用的规律，引入了电场概念，并用静止电荷受的力定义了引入了电场概念，并用静止电荷受的力定义了电场强度电场强度。 本章将讨论本章将讨论运动电荷间相互作用的规律运动电荷间相互作用的规律。首。首先介绍先介绍电流电流的概念及相关物理图像；然后介绍的概念及相关物理图像；然后介绍运动电荷或电流之间的相互作用力运动电荷或电流之间的相互作用力-磁力磁力；磁力；磁力是通过磁场发生的，因此进一步介绍是通过磁场发生的，因此进一步介绍磁场磁场的相的相关图像和基本规律；进而介绍关图像和基本规律；进而介绍磁场对电流的

2、作磁场对电流的作用力规律用力规律。3内内 容容14.1 电流和电流密度电流和电流密度14.3 稳恒（恒定）电流稳恒（恒定）电流14.2 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式14.4 磁场力和磁感应强度磁场力和磁感应强度14.5 毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律14.6 安培环路定理安培环路定理4 14-1 电流和电流密度电流和电流密度 一、电流一、电流1. 电流的形成电流的形成 电流的形成是由于电荷的定向移动造成的电流的形成是由于电荷的定向移动造成的。要想维持电荷的定向移动需要两个条件。要想维持电荷的定向移动需要两个条件。（1）体系内必须存在大量能自由运动的电荷）体系内必须存在大量能自由运动的电荷

3、 载流子（内因）载流子（内因）（2）必须有维持电荷作定向移动的电场（外因）必须有维持电荷作定向移动的电场（外因）金属导体：金属导体： 自由电子自由电子电解质溶液：正、负离子电解质溶液：正、负离子导电气体导电气体 ： 正、负离子和自由电子正、负离子和自由电子5 注意注意：（2）一般认为，正电荷定向运动引起的电流与等）一般认为，正电荷定向运动引起的电流与等量负电荷沿反方向运动引起的电流是等效的，习量负电荷沿反方向运动引起的电流是等效的，习惯上惯上规定正电荷运动的方向为电流的方向规定正电荷运动的方向为电流的方向，并把，并把负电荷的反向运动等效为正电荷的运动。负电荷的反向运动等效为正电荷的运动。（1）

4、静电场不能在导体中维持电流，因为随着）静电场不能在导体中维持电流，因为随着电荷的定向移动，导体达到静电平衡。因此维持电荷的定向移动，导体达到静电平衡。因此维持电流的场必须为电流的场必须为非静电场非静电场。62. 电流强度电流强度I (electric current) 单位时间内通过导体任意截面的电荷量单位时间内通过导体任意截面的电荷量 电流强度电流强度IQtdd 电流强度是标量，有正、负之分，是代数量。所谓电电流强度是标量，有正、负之分，是代数量。所谓电流强度的正、负，是指电流的流向有正、反两个方问。流强度的正、负，是指电流的流向有正、反两个方问。电电流的方向性与矢量的方向性是有根本区别的。

5、流的方向性与矢量的方向性是有根本区别的。电流是对一电流是对一个曲面而言的，只有两个方向，即意味着电荷要么从曲面个曲面而言的，只有两个方向，即意味着电荷要么从曲面的这一侧流向那一侧，要么从那一侧流向这一侧，只有这的这一侧流向那一侧，要么从那一侧流向这一侧，只有这两种可能性；而矢量是对一个点而言的，因而有无限多个两种可能性；而矢量是对一个点而言的，因而有无限多个可能的方向。可能的方向。 习惯上把正载流子的流动方向代表电流强度的方向。习惯上把正载流子的流动方向代表电流强度的方向。7A10mA10A163I 单位单位A (安培安培)，常用毫安，常用毫安(mA)、微安、微安( A) 二、二、 电流密度电

6、流密度1、引入、引入 电流强度电流强度虽然能够描述电流的强弱，但只能反虽然能够描述电流的强弱，但只能反映通过导体截面的整体电流的特征，而不能描述映通过导体截面的整体电流的特征，而不能描述导体中每一点的电流情况。导体中每一点的电流情况。 为了细致地描述导体内部各点的电流分布情况，为了细致地描述导体内部各点的电流分布情况，我们引入一个新的物理量我们引入一个新的物理量电流密度矢量。电流密度矢量。8nSIjddcosddddSISIjSIjddcosId dSd dSd d nn 导体中任意一点的电流密度矢量的导体中任意一点的电流密度矢量的大小大小等于通等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度过该

7、点并垂直于电流的单位截面的电流强度，方，方向与正载流子在该点的流动方向相同。向与正载流子在该点的流动方向相同。 2、 电流密度矢量电流密度矢量jdcosdj SIddIjS 写成通式：写成通式：ddIjS 9 由电流密度的定义知，通过导体中任一曲面由电流密度的定义知，通过导体中任一曲面S的电的电流流I为：为：SSjId与电通量定义式相比较，与电通量定义式相比较，I 与与 j 的关系也是一个通量与的关系也是一个通量与其矢量场的关系。其矢量场的关系。 SSEde 通过任一面元单位面积的电流强度等于该处电流通过任一面元单位面积的电流强度等于该处电流密度矢量沿该面元法向的分量。密度矢量沿该面元法向的分

8、量。 电流密度的单位是电流密度的单位是A m-2 ddIjS 10 在有电流的导体中，每一点都具有一定大小和方在有电流的导体中，每一点都具有一定大小和方向的电流密度矢量，构成了矢量场，称为向的电流密度矢量，构成了矢量场，称为电流场电流场。 引入引入电流线电流线形象描述电流场中电流的分布，规定形象描述电流场中电流的分布，规定: （1）曲线上每点的切线方向都与该点的电流密度矢）曲线上每点的切线方向都与该点的电流密度矢量的方向相同；量的方向相同；（2）电流线的密度等于）电流线的密度等于J.11121314讨论：讨论： 该式说明：电阻该式说明：电阻R与其长度与其长度l成正比，与其横截面成正比，与其横截

9、面积积S成反比。成反比。 （1）1;1lsR时， 导体材料的电阻率是单位长度单位导体材料的电阻率是单位长度单位横横截面积材截面积材料的电阻料的电阻.（2）当导体）当导体横横截面积或电阻率不均匀时，导体的电截面积或电阻率不均匀时，导体的电阻用积分表示阻用积分表示ldlRs15例例1：一块扇形碳制电极厚为一块扇形碳制电极厚为t，电流从半径为，电流从半径为r1的端的端面面S1流向半径为流向半径为r2 的端面的端面S2 ，扇形张角为，扇形张角为 ， 求：求：S1和和S2之间的电阻。之间的电阻。rtrSlRddd21drrrtrR12lnrrtRr1r2 tS1S2解解：1617通过该闭合曲面的电流强度

10、通过该闭合曲面的电流强度I一、电流的连续性方程一、电流的连续性方程14.3 稳恒（恒定）电流稳恒（恒定）电流18电流连续性方程的积分形式电流连续性方程的积分形式 tqSjSddd该式是电荷守恒定律在电流问题中的表现。该式是电荷守恒定律在电流问题中的表现。 该式表明，电流线终止或发出于电荷发生变化的该式表明，电流线终止或发出于电荷发生变化的地方，地方，其含义为：如果闭合面其含义为：如果闭合面S内正电荷积累起来，内正电荷积累起来，则流入则流入S面的电流线多于流出的电流线，所多余的面的电流线多于流出的电流线，所多余的电流线终止于正电荷积累的地方。电流线终止于正电荷积累的地方。1920物理意义：物理意

11、义：电流线连续地穿过闭合曲面所包围的体电流线连续地穿过闭合曲面所包围的体积，因此稳恒电流的电流线不可能在任何地方中断，积，因此稳恒电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是它们永远是闭合曲线闭合曲线。21222324补充补充电动势电动势1. 电源的作用电源的作用+ 要想维持电路有稳恒电流。在放电过程中，必要想维持电路有稳恒电流。在放电过程中，必须不断的把正电荷从负极板移动到正极板。这个须不断的把正电荷从负极板移动到正极板。这个过程靠静电场是不能完成的，必须有过程靠静电场是不能完成的，必须有非静电力非静电力把把正电荷从负极搬到正极，才能在导体两端维持有正电荷从负极搬到正极，才能在导体两端维持有

12、稳恒的电势差。稳恒的电势差。 提供非静电力的装置就是电源，提供非静电力的装置就是电源，如化学电池、硅太阳能如化学电池、硅太阳能电池、发电机等。电源是把能量转换为电能的装置。静电电池、发电机等。电源是把能量转换为电能的装置。静电力使正电荷从高电势到低电势。力使正电荷从高电势到低电势。电源的作用：使正电荷从电源的作用：使正电荷从低电势到高电势。低电势到高电势。 单位正电荷所受的非静电力，定义为非静电性电场的单位正电荷所受的非静电力，定义为非静电性电场的电场强度，用电场强度，用K K表示。表示。25 在电源内部，即内电路电荷同时受到恒在电源内部，即内电路电荷同时受到恒定电场和非静电性电场的作用，而在

13、外电定电场和非静电性电场的作用，而在外电路却只有恒定电场的作用。路却只有恒定电场的作用。lKqlEq-lKEq-lEqAddd)(d+遵从环路定理，上式化为遵从环路定理，上式化为 lKqAd 因此，在电荷因此，在电荷q沿电路运行一周的过程中，沿电路运行一周的过程中， 各种电场所各种电场所作的总功为作的总功为:2. 电源电动势电源电动势+26 电源的电动势电源的电动势 定义为单位正电荷沿闭合电路定义为单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功，表征运行一周非静电力所作的功，表征电源将其它形电源将其它形式的能量转变为电能的本领式的能量转变为电能的本领。lKqAdlKd 非静电性电场只存在于电源内

14、部，其方向沿电非静电性电场只存在于电源内部，其方向沿电源内部从负极指向正极。于是源内部从负极指向正极。于是 是标量，可取正、反两种方向。是标量，可取正、反两种方向。我们规定，从我们规定，从负极经电源内部到正极的方向为电动势的方向。负极经电源内部到正极的方向为电动势的方向。27讨论：讨论：1.如果电路中存在多个电源，如果电路中存在多个电源，其总电动势为其总电动势为ddddddABCDAABBCCDDAKlKlKlKlKlKl 1234 该式表明，在回路中存在多个电源的情况下，该式表明，在回路中存在多个电源的情况下，整个电路的总电动势必定等于各电源电动势的代整个电路的总电动势必定等于各电源电动势的

15、代数和。数和。 28 上式选定了电动势的标定方向是顺时针方向，如上式选定了电动势的标定方向是顺时针方向，如 图中环图中环形箭头所示。当然也可以选择逆时针方向为标定方向，这形箭头所示。当然也可以选择逆时针方向为标定方向，这时总电动势应为：时总电动势应为： 1234注意：电动势与电势差的区别注意：电动势与电势差的区别lKd：与非静电场相联系，反映非静电力：与非静电场相联系，反映非静电力的作功本领（把正电荷从负极板移动的作功本领（把正电荷从负极板移动到正极板）到正极板）+d-UEl：与静电场相联系，反映静电力的作：与静电场相联系，反映静电力的作功本领（把正电荷从正极板移动到负功本领（把正电荷从正极板

16、移动到负极板）极板）2914.4 磁场力和磁感应强度磁场力和磁感应强度 一、磁现象一、磁现象 磁现象的发现比电现象早很多。东汉王充磁现象的发现比电现象早很多。东汉王充“司南勺司南勺”，北宋沈括航海用指南针。北宋沈括航海用指南针。汉（公元前汉（公元前206公元公元220年）。磁勺是用天然磁体年）。磁勺是用天然磁体磨成，置于地盘中心圆内，勺头为磨成，置于地盘中心圆内，勺头为N，勺尾为，勺尾为S，静，静止时，因地磁作用，勺尾指向南方。止时，因地磁作用，勺尾指向南方。 301. 磁极及其相互作用磁极及其相互作用(1) 磁铁磁性最强区域称为磁铁磁性最强区域称为磁极磁极。磁铁指向北方的磁。磁铁指向北方的磁

17、极为极为磁北极或磁北极或N极极；指向南方的为；指向南方的为磁南极或磁南极或S极；极；(2)同号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引；同号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引；(3)磁铁可以被分解的很小，并且每个小磁铁都具有磁铁可以被分解的很小，并且每个小磁铁都具有N和和S极，这说明极，这说明磁极不能单独存在磁极不能单独存在. 磁现象与电现象有很多类似，在自然界有独立存磁现象与电现象有很多类似，在自然界有独立存在的电荷，却至今没找到独立存在的磁荷，即所谓在的电荷，却至今没找到独立存在的磁荷，即所谓“磁单极子磁单极子”。 寻找寻找“磁单极子磁单极子”是当今科学界面临的重大课题是当今科学界面临的重大课题之一。之

18、一。 31 1820年奥斯特年奥斯特发现电流的磁效应后，人们才认识发现电流的磁效应后，人们才认识到磁与电的密切联系；到磁与电的密切联系； 2. 一切磁现象起源于电流一切磁现象起源于电流同年，安培发现了磁铁对电流的作用；同年，安培发现了磁铁对电流的作用； 1821年，安培发现了电流与电流之间也能发生相年，安培发现了电流与电流之间也能发生相互作用；互作用；另外，运动的电荷也存在磁效应另外，运动的电荷也存在磁效应32 上述实验表明，电流与电流之间，磁铁与电流之上述实验表明，电流与电流之间，磁铁与电流之间都存在相互作用，这种相互作用的力称为间都存在相互作用，这种相互作用的力称为磁力。磁力。磁力是通过磁

19、场来传递的磁力是通过磁场来传递的 同电荷周围有电场一样，磁铁和电流周围存在同电荷周围有电场一样，磁铁和电流周围存在磁场磁场磁铁磁铁电流电流磁磁 场场磁铁磁铁电流电流333. 物质磁性的起源物质磁性的起源安培分子电流假说安培分子电流假说 （1822） 一切磁现象都起源于电流，一切物质的磁性都起一切磁现象都起源于电流，一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流。源于构成物质的分子中存在的环形电流。这种环形这种环形电流称为电流称为分子电流分子电流。 分子电流相当于一个分子电流相当于一个基元磁基元磁体体，其磁场在轴线上的方向，其磁场在轴线上的方向用右手定则来判断：用右手定则来判断：INS 安

20、培分子电流假说安培分子电流假说与近代关于原子和分子结构与近代关于原子和分子结构的认识相吻合。原子是由原子核和核外电子组成的认识相吻合。原子是由原子核和核外电子组成的，电子的绕核运动就形成了经典概念的电流。的，电子的绕核运动就形成了经典概念的电流。 344. 磁现象的讨论方法磁现象的讨论方法点电荷点电荷库仑定律库仑定律电场强度电场强度电流元电流元安培定律安培定律磁感应强度磁感应强度351. 电流元电流元 任意形状、大小的电流都是若干个电任意形状、大小的电流都是若干个电流元组成的。流元组成的。IIdla. 电流强度与线元的乘积：电流强度与线元的乘积：Idlb. 矢量性：电流元的方向为矢量性：电流元

21、的方向为 的方向的方向dlc. 与运动电荷等效与运动电荷等效dqIdldlvdqdtd. 非独立性非独立性反映了电流元与电流元之间的磁相互作用力。反映了电流元与电流元之间的磁相互作用力。二、安培定律二、安培定律362. 安培定律安培定律 电流元与电流元之间的相互作用力，其电流元与电流元之间的相互作用力，其大小大小与两与两电流元的乘积成正比，与距离的平方成反比电流元的乘积成正比，与距离的平方成反比;方向：方向：根据右手螺旋定则来判断。根据右手螺旋定则来判断。1210221123121210122312()4()4I dlI dlrd FrI I dldlrr 710410 T m A（真空中的磁

22、导率）（真空中的磁导率）11I dl22I dl 12r12dF3721201 2121321()4I I dldlrdFr大小：大小：012211212212sinsin4I I dl dldFr1是是 与与 的夹角的夹角11Idl12r2是是 与与22I dl1211I dlr和所决定平面的夹角方向由右手螺旋定则来判断方向由右手螺旋定则来判断11I dl受受 的作用力的作用力22I dl121012212312()4I I dldlrdFr 38例题例题1 求一对平行电流元之间的相互作用力求一对平行电流元之间的相互作用力12:dF解：解：12101 2212312001 2211 2212

23、1221212()444oI I dldlrdFrI I dldl nI I dl dlrrr 同理：同理：01 22121122214oI I dl dldFrr 11I dl22I dl 12r n12dF21dF 结论：结论：1. 1. 两平行电流元之间的相互作用大小相等，方向两平行电流元之间的相互作用大小相等，方向相反，吸引；相反，吸引；2.2.两反平行电流元之间的相互作用大小相等，两反平行电流元之间的相互作用大小相等，方向相反，排斥。方向相反，排斥。39例题例题2 求一对相互垂直电流元之间的相互作用力求一对相互垂直电流元之间的相互作用力11I dl22I dl 12r 12:dF解：

24、解：120dF 21:dF 21r 201 212121321001 2121 212222121()444I I dldlrdFrI I dldl nI I dldlrr n40三、磁感应强度三、磁感应强度1. 电场强度矢量电场强度矢量库仑定律库仑定律121 21 2201 21 214q qrFrr 如果如果q1是源电荷，是源电荷，q2是试探电荷，则是试探电荷，则11 21 222201 21 214qrFqqErr 11220121214qrErr412.磁感应强度矢量（磁感应强度矢量（ ）B 安培定律：安培定律：电流元与电流元之间的相互作用电流元与电流元之间的相互作用121012212

25、312()4I I dldlrdFr 注意：注意：在磁场中，电流元不独立存在，若把在磁场中，电流元不独立存在，若把22I dl视为试探电流元，则视为试探电流元，则 在在 所属的回路对所属的回路对该电流元的作用力就是该电流元的作用力就是 所受回路所受回路L1的作用力的作用力22I dl11I dl22I dlL1L211I dl22I dl1121012212312()4lI I dldlrFr 421121012212312()4lI I dldlrFr 112101122222312()4lI dlrFI dlI dlBr 其中：其中：112101312()4lI dlrBr 定义：定义：

26、为载流回路在电流元为载流回路在电流元 处的处的磁感应强度磁感应强度B 22I dl说明：说明：对应于电场，对应于电场， 应该称为磁场强度，但历应该称为磁场强度，但历史的原因，已有史的原因，已有 为磁场强度，故称为磁场强度，故称 为磁感为磁感应强度。应强度。B B H 43讨论：讨论：（1） 为矢量式，其标量式为为矢量式，其标量式为1222FI dlB 1222sinFI dl B 是是 与与 的夹角的夹角22I dl B （3）由于电流元与运动电荷等效）由于电流元与运动电荷等效 12FdqvB （2）对于任意载流回路在匀强磁场中所受力为）对于任意载流回路在匀强磁场中所受力为lFIdlB 44任

27、意带电体在匀强磁场中所受的力：任意带电体在匀强磁场中所受的力：BvqF0vBFmF方向：右手螺旋定则方向：右手螺旋定则 称为洛伦兹力称为洛伦兹力F（4）磁感应强度的单位）磁感应强度的单位单位单位特斯拉特斯拉(T), 或高斯（或高斯（G） 1T=104G45四、磁感应线四、磁感应线 磁场中某点磁场方向是确定磁场中某点磁场方向是确定的，的，磁感线不会相交磁感线不会相交。 载流导线周围磁感线都是围载流导线周围磁感线都是围绕电流的绕电流的闭合曲线闭合曲线，没有起点，没有起点，也没有终点。也没有终点。 磁感应线形象表示磁场分布状况：磁感应线形象表示磁场分布状况：曲线上每点曲线上每点切线方向与该点磁感应强

28、度切线方向与该点磁感应强度B方向一致；在与磁方向一致；在与磁场垂直的单位面积上穿过曲线的条数，与该处场垂直的单位面积上穿过曲线的条数，与该处B的大小成正比，即疏密程度反映出的大小成正比，即疏密程度反映出B的大小。的大小。BI46 长直电流周围的磁感应线，在垂直长直电流周围的磁感应线，在垂直于电流的平面内磁感应线是一系列同于电流的平面内磁感应线是一系列同心圆，圆心在电流与平面的交点上。心圆，圆心在电流与平面的交点上。BI磁感线和电流满足右手螺旋法则。磁感线和电流满足右手螺旋法则。47 任意曲面任意曲面 S 的的磁通量磁通量(magnetic flux) 定义为，定义为， 曲面上任意一点的磁感应强

29、度曲面上任意一点的磁感应强度B与该处面元与该处面元dS的标积的标积B dS 在整个曲面在整个曲面S上的代数和，即上的代数和，即SSBdBnPS 在国际单位制中，磁通量的单位是在国际单位制中，磁通量的单位是T m2，也称，也称为为Wb (韦伯韦伯)。 2m1T1Wb1 给出了通过任意闭合曲面的给出了通过任意闭合曲面的磁感应线的条数。磁感应线的条数。48 对闭合曲面，规定正法线方向垂直于曲面向外。对闭合曲面，规定正法线方向垂直于曲面向外。当磁感线从曲面内穿出时，磁通量为正，而当磁感当磁感线从曲面内穿出时，磁通量为正，而当磁感线从曲面外穿入时，磁通量为负。线从曲面外穿入时，磁通量为负。Bn 在不均匀

30、磁场中，通过在不均匀磁场中，通过任意面积元的磁通量：任意面积元的磁通量： 在均匀磁场中通过面积在均匀磁场中通过面积S 的磁通量为：的磁通量为：cosBSSBSBdcosddd cosdB SBS495051 前面，我们已经利用电流周围的磁场定义了磁前面，我们已经利用电流周围的磁场定义了磁感应强度，感应强度，下面，我们的任务是下面，我们的任务是求不同形状的电求不同形状的电流周围的磁场分布流周围的磁场分布。52 14-5 毕奥毕奥 萨伐尔定律萨伐尔定律一、毕奥一、毕奥 萨伐尔定律萨伐尔定律在安培定律中，电流元与电流元之间的作用力为：在安培定律中，电流元与电流元之间的作用力为：12101221231

31、2()4I I dldlrdFr 如果将如果将 视为试探电流元，则视为试探电流元，则22I dl12101122222312()4I dlrdFI dlI dldBr 12101312()4I dlrdBr 5303dd4IrlrB写成通式：写成通式： 该式即为该式即为毕奥毕奥 萨伐尔定律。电流元在空间某萨伐尔定律。电流元在空间某点点产生产生的磁感应强度大小与电流元大小成正比，的磁感应强度大小与电流元大小成正比，与电流元和由电流元到点与电流元和由电流元到点P的矢量间夹角正弦成的矢量间夹角正弦成正比，与电流元到点正比，与电流元到点P的距离的平方成反比；的距离的平方成反比； 方向垂直于方向垂直于

32、和和 所组成的平面，指向满足右所组成的平面，指向满足右手定则。手定则。lId dr54 点点P 的磁感应强度的大小为的磁感应强度的大小为02d sind4I lBrLrI30d4rlB 不能由实验直接证明，但结果都和实验相符合。不能由实验直接证明，但结果都和实验相符合。先化为分量式后分别积分先化为分量式后分别积分。 整个载流导线整个载流导线L在点在点P产生的磁感应强度，产生的磁感应强度， 等于各电流元在点等于各电流元在点P产生的产生的 的矢量和，即的矢量和，即 BPlId dBd dr IL55 例例1：在一直导线：在一直导线MN中通以电流中通以电流I，求距此导，求距此导线为线为a的点的点P处

33、的处的B。从导线两端。从导线两端M和和N到点到点P的连的连线与直导线之间的夹角分别为线与直导线之间的夹角分别为 1和和 2 。 解：在距点解：在距点O为为l处取电流元处取电流元Idl，Idl在点在点P产生产生B，方向垂直于纸面，方向垂直于纸面向里向里 ddBI lr024sin24dd0rlIBBsin lrPIONMaP 1 2Idl二、毕奥二、毕奥 萨伐尔定律的应用萨伐尔定律的应用56l =acot( )= -a cot ， dl=acsc2 d lrPIONMaP 1 2Idl2222222(1 cot)cscrlaaa202220sindd4sincsc4cscIlBBrIada 0s

34、in4Ida 57)cos(cossin21004d421aIaIB 无限长载流直导线，无限长载流直导线， 1=0， 2= ，距离导线，距离导线a处的磁感应强度为处的磁感应强度为aIB24058解：其磁场方向只有沿解：其磁场方向只有沿x轴的分量轴的分量而垂直于而垂直于x 轴的分量求和为零。轴的分量求和为零。例例2：求载流圆线圈在其轴上的磁场。：求载流圆线圈在其轴上的磁场。cosddBBx22cosxRRrR222Rxr；lrIBd4d20232220302d4d20/)(xRIRlrIRBBRxxrxBdxBdBdIROIdlP59磁场方向与电流满足磁场方向与电流满足右手螺旋法则右手螺旋法则。

35、*两种特殊的情况：两种特殊的情况：轴上无穷远的磁感应强度轴上无穷远的磁感应强度x230320 ; 22RSxISxIRBRIB20 x=0时圆电流环时圆电流环中心磁感强度中心磁感强度 RIxP232220302d4d20/)(xRIRlrIRBBRx60引入引入磁矩磁矩描述圆形电流或载流平面线圈磁行为。描述圆形电流或载流平面线圈磁行为。 S是圆形电流包围平面面积，是圆形电流包围平面面积，方方向与电流的方向向与电流的方向满足右螺旋关系满足右螺旋关系。mSRI圆形电流的磁矩圆形电流的磁矩: SIm圆电流圆电流 223030nxmxmB 多匝平面线圈电流多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝线应

36、以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替圈的电流的乘积代替 2022 3/22()NBRIRx61232220d2dxRxInRB解解：长度为：长度为dx内的各匝内的各匝圆线圈的总效果，是一圆线圈的总效果，是一匝圆电流线圈的匝圆电流线圈的ndx倍。倍。例例3：载流螺旋管：载流螺旋管(solenoid)在其轴上的磁场在其轴上的磁场 求半径为求半径为R，总长度，总长度l ，单，单位长度上的匝数为位长度上的匝数为n 的螺线的螺线管在其轴线上一点的磁场？管在其轴线上一点的磁场？选坐标如图示选坐标如图示lxRIdx21x1x2212/32220d2dxxxRxRnIBBpoBRl622121dsin2c

37、scdcsc2033230nIRRnIB选坐标如图示选坐标如图示 cotRx dcscd2Rx2222csc RxR 载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流满足右手螺旋法则。满足右手螺旋法则。lxRIxd21x1x2po1202coscosnIB212/32220d2dxxxRxRnIBB63)cos(cos2 120nIB讨论几种特殊情况讨论几种特殊情况0 , 21nIB01.若若 l R ，在无限长的螺线管中心处，在无限长的螺线管中心处2.在管端口处：在管端口处：0 , 2/ ; 2/ , 021nIB021Bl /2 l /2xnI020nIO6

38、4 从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场分布情况：分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在在螺线管中心区域为均匀磁场，在管端口处，磁场等于中心处的一半。管端口处，磁场等于中心处的一半。B0I0I65例题例题4 4 两段同心圆弧导线与沿半径方向的导线构两段同心圆弧导线与沿半径方向的导线构成一个闭合的扇形载流回路，如图成一个闭合的扇形载流回路，如图CDEFCCDEFC所示。已所示。已知圆弧所对应的中心角为知圆弧所对应的中心角为 ，两圆弧的半径分别为，两圆弧的半径分别为R R1 1和和R R2 2，回路电流为，回路电流为I I，求圆心，求圆心O O处的磁感应强

39、度处的磁感应强度。 解解: 由于圆心由于圆心O处于直导线处于直导线ED和和FC的延长线上，所以这两段的延长线上，所以这两段直导线在直导线在O点产生的磁感应强点产生的磁感应强度为零。度为零。 先看圆弧电流先看圆弧电流EF。该圆电流。该圆电流上的任一电流元上的任一电流元Idl在在O点产生点产生的磁感应强度的磁感应强度dB1，根据毕奥，根据毕奥 萨伐尔定律得萨伐尔定律得 :66ddBI lR10124 dB1的方向垂直于板面向外，的方向垂直于板面向外，并且无论电流元并且无论电流元Idl取在何处，取在何处，dB1的方向都相同的方向都相同 积分积分 ：BIRlIRRIRl1012001210014441

40、dd 同样可以求得圆弧电流同样可以求得圆弧电流CD在在O点产生的磁感应点产生的磁感应强度强度B2的大小为的大小为 BIRlIRRIRl2022002220024442dd=B2的方向垂直于板面向里的方向垂直于板面向里 67整个扇形载流回路在整个扇形载流回路在O点产生的磁感应强度为点产生的磁感应强度为 BBBRRI21021411()B的方向与的方向与B2的方向相同的方向相同 68例例5 单个单个 运动电荷的磁场运动电荷的磁场30d4drIrlB单个载流子产生的磁场单个载流子产生的磁场B304rrvq若有单个运动的电荷以若有单个运动的电荷以V运动运动v+Br运动正电荷的磁场运动正电荷的磁场dqI

41、dldlvdqqvdt69一、一、安培环路定理的表述安培环路定理的表述 恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。倍。表达式表达式0()dinsideiLi LBlI符号规定：符号规定：穿过回路穿过回路 L 的电流的电流方向与方向与 L 的环绕方向服从右手的环绕方向服从右手关系的，关系的，I 为正，否则为负。为正，否则为负。 不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。1IiI1nIknI2I 14-6 磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理70二

42、、二、 安培环路定理的证明安培环路定理的证明a. 在围绕单根无限长载流导线的垂直平面内的任意在围绕单根无限长载流导线的垂直平面内的任意回路回路 ddBrlBIrrIlBLL00d2dILBddldrb. 不包围电流不包围电流 ，在垂直无限长载流导线平面内的任，在垂直无限长载流导线平面内的任一闭合路径一闭合路径L21dddLLLlBlBlB0)(20II1LL271 c. 围绕多根载流导线的任一回路围绕多根载流导线的任一回路 L 设设 电流过回路电流过回路， 根电流不穿过回路根电流不穿过回路L。令。令 分别为分别为单根导线产生的磁场单根导线产生的磁场nIII,21knnnIII,21knBBB,

43、21101dIlBLnLnIlB0d0d1LnlB0dLknlBiiLIlB0d所有电流所有电流的总场的总场穿过回路穿过回路的电流的电流任意回路任意回路72在理解这个定理时，应注意以下几个问题在理解这个定理时，应注意以下几个问题 （1） 定理中的定理中的B是安培环路是安培环路L上任意一点的磁感上任意一点的磁感应强度，它是由空间所有电流共同产生的应强度，它是由空间所有电流共同产生的。定理中。定理中的的 Ii则是安培环路则是安培环路L所包围的电流的代数和。所包围的电流的代数和。（3）定理只适用于稳恒电流的磁场。由于稳恒电）定理只适用于稳恒电流的磁场。由于稳恒电流是闭合的，所以对于不闭合的流是闭合的

44、，所以对于不闭合的有限长有限长的载流导线，的载流导线，安培环路定理不适用；安培环路定理不适用；（2）矢量）矢量B的环路积分不恒等于零，说明稳恒磁场的环路积分不恒等于零，说明稳恒磁场不是保守力场，而是不是保守力场，而是有旋场有旋场。iiLIlB0d73 边长为边长为2a的正方形闭合回路的正方形闭合回路CDEFC，所通电流为，所通电流为I。现仅讨。现仅讨论论CD段，取中心处于其中点且段，取中心处于其中点且与其垂直的半径为与其垂直的半径为r的圆为安培的圆为安培环路，环路，CD段所激发的磁场在圆段所激发的磁场在圆上各点的磁感应强度为上各点的磁感应强度为BIar arCD022 1 22 ()/BCD的

45、方向与圆周相切，与电流的方向成右螺旋的方向与圆周相切，与电流的方向成右螺旋关系。沿此圆周的环路积分为关系。沿此圆周的环路积分为BlCDIaarId022 1 20()/74（4）若产生磁场的电流在导体中沿截面连续分布，则：）若产生磁场的电流在导体中沿截面连续分布，则：均匀分布：均匀分布：Ij S 非均匀分布：非均匀分布：sIj dS 环路定理：环路定理：0lsB dlj dS （5）如果取）如果取任意一条磁感应线作为安培环路任意一条磁感应线作为安培环路，并沿，并沿B的方向计算积分的方向计算积分 B dl，由于总有，由于总有B dl 0，所以必，所以必定有定有 Bld0 根据安培环路定理，该安培

46、环路一定包围电流。根据安培环路定理，该安培环路一定包围电流。由此可得结论：由此可得结论：磁感应线总是与产生它的电流回路磁感应线总是与产生它的电流回路套连在一起的套连在一起的。75三、三、 安培环路定理的应用安培环路定理的应用例例1：求无限长均匀载流圆柱体磁场分布。：求无限长均匀载流圆柱体磁场分布。解：圆柱体轴对称，以轴上一点为解：圆柱体轴对称，以轴上一点为圆心取垂直轴的平面内半径为圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的的圆为安培环路圆为安培环路rIB20Rr IBdIrBlBL02d 圆柱外磁场与长直电流磁场相同，而内部的磁圆柱外磁场与长直电流磁场相同，而内部的磁场与场与r成正比；成正比；若是柱面

47、电流则内部磁场为零若是柱面电流则内部磁场为零。Rr 202202 d RIrBRIrlBrBr dldl76例例2： 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。由对称性分析场结构：由对称性分析场结构： 1. 磁场只有与轴平行的水平分量；磁场只有与轴平行的水平分量； 2.因为是无限长，在与轴等距离的平行线上因为是无限长，在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等。磁感应强度相等。B 解：一个单位长度上有解：一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管匝的无限长直螺线管由于是密绕，每匝视为由于是密绕，每匝视为圆线圈。圆线圈。77 取取 L 矩形回路矩形回路, ab 边、边、cd 边均与轴平行，另边均与轴平行，另两个边两个边bc、da 垂直于轴。垂直于轴。