统计物理学基础学习教案

1、会计学1第一页，共104页。玻耳兹曼麦克斯韦(mi k s wi)第1页/共104页第二页，共104页。4-1 平衡态 温度(wnd) 理想气体状态方程一、基本概念及研究(ynji)方法1、基本概念物质由大量(dling)分子组成。molN个个23100226 分子在不停地、无规则地运动，剧烈程度与物体的温度有关。分子间有相互作用力。第2页/共104页第三页，共104页。分子(fnz)之间存在相互作用力-分子(fnz)力。0rr 为斥力且 减小时f 急剧增加r0rr 为平衡态，f=00rr r为吸引力且增加时f 先增再减少注意(zh y) d 可视为分子(fnz)力程；数量级在10-10-10

2、-8m数量级，可看为分子(fnz)直径（有效直径）。d分子力是电性力，远大于万有引力。frmr0rd第3页/共104页第四页，共104页。2、研究(ynji)方法单个分子仍遵守(znshu)力学规律大量分子进行(jnxng)统计平均。统计平均大量同性质偶然事件的整体所具有的规律。 统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 第4页/共104页第五页，共104页。从入口投入(tur)小球与钉碰撞(pn zhun)落入狭槽为清楚起见 , 从正面(zhngmin)来观察。( 偶然 )隔板铁钉第5

3、页/共104页第六页，共104页。 大量偶然事件整体所遵循(zn xn)的规律 统计规律。再投入(tur)小球： 经一定(ydng)段时间后 , 大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置 分布曲线第6页/共104页第七页，共104页。二、 统计(tngj)的基本概念1、概率(gil)如果(rgu)N次试验中出现A事件的次数为NA ,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。NNAPANlim)( 概率的性质:(1) 概率取值域为1)(0 AP第7页/共104页第八页，共104页。(2) 各种可能(kn

4、ng)发生的事件的概率总和等于1.1)( NNAPiAiiii几率(j l)归一化条件(3) 二互斥事件(shjin)的概率等于分事件(shjin)概率之和)()()(BPAPBAP (4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积)()(),(BPAPBAP 第8页/共104页第九页，共104页。2、概率分布函数(hnsh)随机变量(su j bin lin)在一定(ydng)条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。 离散型随机变量取值有限、分立表示方式 SSPPP2121 1), 2 , 1(01 SiiiPSiP有有 连续型随机变量取值无限、连续第9页/共104页第十页，共104页。随机变

5、量(su j bin lin)X的概率密度dxxdPx)()( 变量取值在x x+dx间隔(jin g)内的概率概率密度等于随机变量(su j bin lin)取值在单位间隔内的概率。1)( dxx 又称为概率分布函数（简称分布函数）。)(x 第10页/共104页第十一页，共104页。3、统计(tngj)平均值算术(sunsh)平均值为 NNNNiiiii 统计(tngj)平均值为 iiiNiiiNPNNNN )(limlim 随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值 乘积的总和。i 对于离散型随机变量 第11页/共104页第十二页，共104页。对于(duy)连续型随机变量统计

6、(tngj)平均值为 dxxxx)( “涨落(zhn lu)”现象-测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。第12页/共104页第十三页，共104页。三、平衡态1、热力学系统（热力学研究的对象(duxing)）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。 外界：热力学系统(xtng)以外的物体。系统分类1（按系统与外界交换(jiohun)特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交

7、换又有物质交换第13页/共104页第十四页，共104页。系统(xtng)分类2（按系统(xtng)所处状态）：平衡态系统(xtng)非平衡态系统(xtng)2、热平衡态 在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够(zgu)长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换， (2) 系统的宏观性质不随时间改变。第14页/共104页第十五页，共104页。箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧(lin c)粒子有的穿越界线，但两侧(lin c)粒子数相同。例如(lr)：粒子数说明(shumng)：平衡态是一种理想状态 处在平衡态

8、的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。平衡态是一种热动平衡第15页/共104页第十六页，共104页。4、对热力学系统(xtng)的描述：宏观量状态(zhungti)参量 平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。 如 压强 p、体积 V、温度 T 等。微观量 描述系统内个别微观粒子特征的物理量。 如分子的质量、直径、速度、动量、能量(nngling)等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。3、非平衡态 不具备两个平衡条件之一的系统。第16页/共104页第十七页，共104页。四、理想气体(l xin q t)状态方程RTMMpVmol 理想气体

9、(l xin q t)气气体体的的摩摩尔尔质质量量气气体体质质量量 molMMKmolJR /31. 8 普普适适气气体体常常量量当系统处于平衡态时，各个状态参量之间 的关系式。定义：po),(111TVpI),(222TVpII V第17页/共104页第十八页，共104页。例、氧气瓶的压强(yqing)降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强(yqing)为107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量(cnling)

10、分别为333222111MVpMVpMVp使用(shyng)时的温度为T设可供 x 天使用原有每天用量剩余 x TMVp111TMVp222TMVp333第18页/共104页第十九页，共104页。分别(fnbi)对它们列出状态方程，有RTMMVpRTMMVpRTMMVpmolmolmol333222111 23131xMMMVV 22131231)(VpVppMMMx 天天6 . 9400132)10130( 第19页/共104页第二十页，共104页。例、若理想气体的体积为V，压强(yqing)为P，温度为T，一个分子的质量为m。则该理想气体的分子数为多少？解：RTNNRTmNmNRTMMPV

11、mol00 RTPVNN0 五、理想气体的微观(wigun)假设1、理想气体的分子(fnz)模型分子可以看作质点除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。遵从力学规律第20页/共104页第二十一页，共104页。每个分子速度(sd)各不相同，且通过碰撞不停地改变。气体的性质与方向无关， 即在各个方向上速率(sl)的各种平均值相等。忽略重力作用，按位置(wi zhi)分布是均匀的。2、理想气体的分子性质平衡态下：2222310vvvvvvvzyxzyx NvvvvNxxxx 21NvvvvNxxxx222212 注意：是速度平均值相同第

12、21页/共104页第二十二页，共104页。4-2 理想气体(l xin q t)的压强公式每个分子(fnz)对器壁的作用tdf 所有(suyu)分子对器壁的作用单位时间内的冲量ttdfF 理想气体的压强公式SFp 一、理想气体的压强公式1、基本思路第22页/共104页第二十三页，共104页。2、理想气体(l xin q t)的压强公式的推导xyz1l2l3lOdAdAivizviyvixviixiyizvv iv jv k 平衡态下器壁各处( ch)压强相同，选dA面求其所受压强。 一定质量的处于平衡态的某种理想气体。 ,iV N m v第23页/共104页第二十四页，共104页。xy1lOd

13、AdAixmvixmv i分子(fnz)动量增量ixixmvp2 i分子(fnz)对器壁的冲量12Imvix 单位时间(shjin)内对器壁的冲量1112IdAvnIVnIdNIixii dAvmnixi22 按速度分布均匀dAvmnIixi22 具有 速率的分子对器壁的冲力为ivdAvmndFixii2 第24页/共104页第二十五页，共104页。所有(suyu)分子对dA面的平均作用力压强(yqing) dAvnmdAvmndFdFixiixii 2222xixivnvn dAvmndAvmndFx2312 231vmnP 分子的平均(pngjn)平动动能221vmW Wnp32 3、压强

14、的统计意义压强是大量分子在单位时间内对器壁单位面积上的平均冲力，是大量分子的集体行为的统计平均量，单个分子无压强。第25页/共104页第二十六页，共104页。TNRnRTNNVpAA 1二、温度的统计(tngj)解释RTMMpVmol 1231038. 1 KJNRkAnkTp Wnp32 kTvmW23212 温度是气体分子平均(pngjn)平动动能大小的量度1、平均平动动能与温度(wnd)的关系玻尔兹曼常量 T是大量分子热运动剧烈程度的度量，平均平动动能是T的单值函数。第26页/共104页第二十七页，共104页。例、（1）在一个装有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的

15、温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均平动(pngdng)动能变化多少？解：222111)1(TVpTVp KTKTVV450177273,30027273,2:2121 由由已已知知12211221233004502pVVpTVTVp 2112pppp 第27页/共104页第二十八页，共104页。kTW23)2( JTTkWWW212312121011. 3)300450(1038. 123)(23 2、温度的统计(tngj)意义温度的实质：物质内部分子作热运动剧烈程度的度量。对于单个分子只有 ，绝无TW 是温度T的单值函数，只在平衡态下成

16、立。W第28页/共104页第二十九页，共104页。2v大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332 kTvmW23212 气体分子的方均根速率(sl)与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv 2molMv/ 12 三、气体分子的方均根速率2v第29页/共104页第三十页，共104页。1、自由度 i确定一个物体的空间位置所需要的独立(dl)坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离(jl)保持不变）为例四、能量均分(jn fn)定理 He2OOH23NH第30页/共104页第三十一页，共104页。xzy),(zyxC 双原子分子xzy),(zyxC单原子分

17、子平动自由度t=33 rti平动自由度t=3转动自由度r=25 rtixzy),(zyxC 三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=36 rti第31页/共104页第三十二页，共104页。2、能量均分(jn fn)定理kTvmW23212 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。kT23注意：统计(tngj)结果，通过碰撞实现，平衡态下成立。第32页/共104页第三十三页，共104页。平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是k

18、T21能量(nngling)按自由度均分定理如果某种气体的分子(fnz)有 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度.则分子(fnz)具有：平均平动动能kTt2平均转动动能kTr2平均振动动能kTs2注意：对应分子(fnz)的一个振动自由度，除有一份 振动的动能外，还有一份平均势能。第33页/共104页第三十四页，共104页。结论：分子(fnz)的平均总能量 skTkTsrt21)(21 kTsrt)2(21 对刚性分子：气体分子无振动(zhndng)，则分子的平均动能为kTikTrt2)(21 单原子：kT23 kT26 多原子：kT25 双原子：对气、液、固体(gt)均成立

19、第34页/共104页第三十五页，共104页。五、理想气体(l xin q t)的内能分子(fnz)间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子(fnz)的热运动动能之总和1mol 理想气体的内能为RTikTiNEAmol2)2( 一定质量理想气体的内能为RTiMMEmol2 温度改变，内能改变量为TRiMMEmol 2 第35页/共104页第三十六页，共104页。例、就质量而言，空气是由76的N2，23的O2和1的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔(m r)质量为10-3kg，试计算1mol 空气在标准状态下的内能。解： 在空气(kngq

20、)中N2质量kgM331101 .22%76109 .28 摩尔数789. 0281 .22111 molMMnO2质量kg.%.M332106562310928 摩尔数208032656222.MMnmol 第36页/共104页第三十七页，共104页。Ar质量kg.%.M333102890110928 摩尔数0070402890333.MMnmol 1mol 空气(kngq)在标准状态下的内能RT)ninini(RTniRTniRTniE33221133221121222 J31068. 527331. 8)007. 03208. 05789. 05(21 第37页/共104页第三十八页，共

21、104页。 平衡态下，理想气体分子速度分布(fnb)是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布(fnb)律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布(fnb)律。 温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要(byo)研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。4-3 麦克斯韦分子(fnz)速率分布率一、分子速率分布的实验测定第38页/共104页第三十九页，共104页。测定分子速率分布(fnb)的实验装置 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狭缝狭缝圆圆筒筒子子射到上面的各种速率分射到上面的各种速率分可沉积可沉积弯曲玻璃板弯曲玻璃板

22、, G圆筒不转，分子(fnz)束的分子(fnz)都射在P 处圆筒转动(zhun dng)，分子束的速率不同的分子将射在不同位置第39页/共104页第四十页，共104页。兰媚尔实验（装置置于真空之中）实验装置淀积屏P速率筛SWW狭缝屏分子源第40页/共104页第四十一页，共104页。下面列出了Hg分子(fnz)在某温度时不同速率的分子(fnz)数占总分子(fnz)的百分比。)/(smvNN / 90以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上10.3218.9322.718.3第41页/共104页第四十二页，共104页

23、。实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%00vNN 0 90 140 190 240 290 340 390 v第42页/共104页第四十三页，共104页。二、气体分子的速率(sl)分布 分布函数1、速率(sl)分布将速率(sl)分成若干个小区间，某一区间上的分子数占总分子数的百分比即是速率(sl)分布。N总分子数N 区间上的分子数vvv dNNv ,0时时当当NdN区间的分子数占总分子数的百分比vdvv dvvfNdN 速率分布第43页/共104页第四十四页，共104页。vOvNN vOvNN NdvdN)v(f vOvpv面积大小代表

24、速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率NdNdvNdvdN 第44页/共104页第四十五页，共104页。 dvvfNdN 物理意义： 附近，单位速率间隔上的分子数占总分子数的百分比。v讨论：若 为已知 vf 附近， 区间上的分子数为 vdv dvvNfdN 1v2v区间上的分子数为 dvvNfNvv 21占总分子(fnz)数的百分比为 dvvfNNvv 21归一化条件(tiojin) 10 dvvf2、速率分布函数)(vf NdvdNvf 第45页/共104页第四十六页，共104页。2223224ve)kTm()v(fkTmv 三、麦克斯韦速率(sl)分布规律dvve)kTm(dv)v(

25、fNdNkTmv2223224 理想气体处于平衡态且无外力(wil)场时，速率分布函数为一个分子处于 区间内的概率vdvv 麦克斯韦(mi k s wi)速率分布函数第46页/共104页第四十七页，共104页。麦克斯韦速率分布(fnb)曲线f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面积= 出现在vv+dv区间内的概率dvvfNNvv 21)( 分子出现在v1v2区间内的概率1)(0 dvvf曲线下的总面积恒等于1第47页/共104页第四十八页，共104页。讨论：最概然速率pv与分布函数 的极大值相对应的速率 vf物理意义：它表示将 分成若干个小区间， 所在的区间上的分子数占总分子数的百分

26、比最大。vpv极值条件0)( pvvdvvdfmolmolpMRTMRTmkTv41. 122 pmolvM显然多数分子速率不大 pvT多数分子速率大第48页/共104页第四十九页，共104页。 的关系的关系与与molpMTvf, 2223224pkTmvpvekTmvfp 22232214pmkTvvemkTp 22322214pvvpvevpp 12124 eRTMmol 第49页/共104页第五十页，共104页。 12124 eRTMvfmolp pmolvf，TM一一定定f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT 相相同同molMO温度越高，分布曲线中的

27、最概然速率 增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低pvmolpMRTv2 第50页/共104页第五十一页，共104页。1273K273K73Kf (v)50010001500vO2氧气分子(fnz)分布函数和温度的关系第51页/共104页第五十二页，共104页。分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度(god)升高。 pmolvfMT,一一定定 12124 eRTMvfmolp f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)321molmolmolMMM 相相同同TO3molM2molM1mo

28、lMmolpMRTv2 第52页/共104页第五十三页，共104页。1、最概然速率(sl)2、平均(pngjn)速率v大量分子速率的统计平均值总分子数总分子数总速率总速率 v四、分子(fnz)速率的三个统计值对于连续分布的所有分子 0)(dvvvfNdNvNvdNvmolmolMRTMRTmkTv60.188 在麦氏分布下所有分子的平均速率第53页/共104页第五十四页，共104页。3、方均根速率(sl)2v大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvvmkTv32 molmolMRTMRTmkTv73. 1332 在 区间1v2v 21212121vvvvvvvvdvv

29、fdvvvfdvvNfdvvNvfv dvvvfvv 21第54页/共104页第五十五页，共104页。pvv2vT都与 成正比，与 （或 ）成反比mmolMf(v)vpvv2v2vvvp 第55页/共104页第五十六页，共104页。( n 为分子(fnz)数密度)说明下列各量的物理(wl)意义：dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(. 3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv第56页/共104页第五十七页，共104页。 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间(q jin)内的分子数占总分子数的比率。 分布在速率 v

30、 附近 v v + dv 速率区间(q jin)内的分子数。 单位体积内分子速率分布(fnb)在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。NdNdvvf )(.1dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3NdvdNvf )(第57页/共104页第五十八页，共104页。 )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率(sl)区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率(sl)区间 v1 v2 内的分子数。1)(. 60 dvvf 分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率

31、(bl)。（ 归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。第58页/共104页第五十九页，共104页。例 设想有N个气体分子，其速率分布函数为 00000vvvvvvAvvf)()(试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0v0/3之间的分子数；(4)速率介于0v0/3之间的气体分子的平均速率。)(vfov0v解： (1)气体分子的分布(fnb)曲线如图由归一化条件10 dvvf)(16)(30000 vAdvvvAvv306vA 第59页/共104页第六十页，共104页。(2)最可几速率由0 pvdvvdf)(决定，即020 ppvvvvAdv

32、vdf)()(20vvp 平均(pngjn)速率2600023000vdvvvvvdvvvfvv )()(方均速率(sl)200033002210360vdvvvvvdvvfvvv )()(方均根速率(sl)为02103vv 第60页/共104页第六十一页，共104页。(3)速率介于(ji y)0v0/3之间的分子数2776300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv )()( (4)速率介于0v0/3之间的气体(qt)分子平均速率为143277603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv )(第61页/共104页第六十二页，共104页。o(m/s)f(

33、)2000smvpH20002 例：如图，两条曲线分别是同温度下的H2和O2 的麦克斯韦速率分布曲线。求?22 pHpOvv解：22molHmolOMM 412222 molOmolHpHpOMMvvsmvpO5002 molpMRTv2 第62页/共104页第六十三页，共104页。smvp10 例：求速率在 与1.01 之间的气体分子数占总分子数的百分比。设氢气的温度为300C，求速率在 到 之间的分子数 与速率在 到 之间的分子数 之比 。 pvpvsm3000sm30101Npv2N解：设速率在 与 之间的分子数为pvpv01. 1N vvfNN )( 2223224ve)kTm()v(

34、fkTmv ppvvvv01. 0, 其其中中vvekTmNNkTmv 22232)2(4 第63页/共104页第六十四页，共104页。vvemkTNNmkTv 22223214 vvevpvvp 22222314 pvvpvvevvp 22224 ppvvppvvevvpp01. 042222 01. 041 e %83. 0 第64页/共104页第六十五页，共104页。1( )NNf vv 23 22214 ()2mvkTmNNevvkT pvvpvvevvNp12212214 222222224pvvppvvNNevv 2122222112122222ppvvppvvppvvevvNNv

35、vevv 212211122pvvpNveNv 第65页/共104页第六十六页，共104页。212211122pvvpNveNv 10,30002121 vvvvvp 其中其中smMRTvmolp218310257331. 8223 89. 121 pvv1.89 1121.890.78NeN 第66页/共104页第六十七页，共104页。4-4 玻耳兹曼分布(fnb)律一、麦克斯韦速率分布(fnb)率的缺憾1、不考虑外力(wil)场的作用2、只考虑速率空间分子的分布，不能给出位置空间的分布3、没有考虑速度的方向第67页/共104页第六十八页，共104页。dvvekTmdvvfNdNkTmv22

36、232)2(4)( 二、麦克斯韦速度(sd)分布律取一速度空间，坐标轴为zyxvvv,在v 附近(fjn)，dv 区间上的分子即是处在一个半径为v ，厚度为dv的速度球壳上的分子，其上任一分子的速度为222zyxzyxvvvvkvjvivv 球壳的体积(tj)为dvvdw24 其上分子数占总分子数的百分比为dvvekTmNdNkTmv22234)2(2 dw第68页/共104页第六十九页，共104页。dwvFNdN)( zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNzyx)(223222)2( dwzyxdvdvNdvdNvF )(xvzvyvovdvdvvdw24 )(223222)2()(z

37、yxvvvkTmekTmvF 麦克斯韦速度(sd)分布函数速度空间单位体积(tj)内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）第69页/共104页第七十页，共104页。若气体分子(fnz)处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何三 、 玻耳兹曼分布(fnb)律该区间(q jin)上分子数为dwekTmNdNkTmv2232)2( zyxvvvkTmdvdvdvekTmNzyx)(223222)2( 第70页/共104页第七十一页，共104页。1、在位置(wi zhi)空间dxdydz上的分子数设：是 附近的所有的分子数vdNV是

38、容器的体积具有 的分子在容器中的分子数密度为vdxdydzNdVdNn 按位置(wi zhi)分布是均匀的dxdydzVdNNd dwdxdydzekTmVNkTmv22322 dwdVekTmnkTmv22322 dwekTmNzyxvvvkTm)(223222)2( Nd 任一点 附近，dxdydz区间上具有 速度的分子数v( , , )x y z第71页/共104页第七十二页，共104页。如气体(qt)分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek分子势能在麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律中，kTmve22 因子kTEke 分子动能理想气体分子(fnz)仅有动能麦克斯韦速度分布

39、可以看作是无外场中分子数按能量的分布zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNzyx)(223222)2( 2、麦克斯韦玻耳兹曼分布第72页/共104页第七十三页，共104页。玻耳兹曼将麦氏分布(fnb)推广为： 在温度为T 的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与 成正比。kTEe kTEe 玻耳兹曼因子经典粒子(lz)按能量的分布函数为：kTECeEf )(麦克斯韦(mi k s wi)玻耳兹曼分布（MB分布）第73页/共104页第七十四页，共104页。3、玻耳兹曼分布(fnb)律外力场中，粒子分布不仅按速率(sl)区间vv+dv分布，还应按位置区间xx+dx、 yy+d

40、y、 zz+dz分布该区间(q jin)内的粒子数为：dwdVekTmndNkTE 2302 玻耳兹曼分布律其中： 为势能等于零处的分子数密度0n讨论：E包括动能、势能及其他能量 dNeEedNkTEkTE,能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数减小。第74页/共104页第七十五页，共104页。只有(zhyu)势能时的玻尔兹曼分布1)(0 dvvf1223 dwekTmkTEk +在 附近， 区间上所有速率的分子数为),(zyxdxdydzdV dwekTmdVenNdkTEkTEkp2/30)2( +dVenkTEp 0适用于气体(qt)及各种相互作用微弱的实物粒子

41、在保守场中的运动第75页/共104页第七十六页，共104页。则分子(fnz)数密度kTEpendxdydzNdn 0粒子(lz)数按势能分布 按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况(qngkung)下只能取一系列分立值E1 ,E2 ,Ei ,EN 能级kTEiieAN 处于Ei状态的粒子数常数对于两个任意能级kTEEeNN)(2121 2121,NNEE 则则如果如果在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布第76页/共104页第七十七页，共104页。四、重力场中粒子按高度(god)的分布kTEpenn 0mghEp kTmghenn 0由气体状态方程nkTP ,00

42、kTnP kTmghePP 0kTmghenn 0重力场中粒子按高度的分布规律式中P0为h=0 处的大气(dq)压强，P为h 处的大气(dq)压强，m 是大气(dq)分子质量。第77页/共104页第七十八页，共104页。大气密度和压强(yqing)随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）kTmghePP 0kTmghenn 0RMkNmNmolAA hRTgMmolePP 0两边(lingbin)取对数PPgMRThmol0ln 测知地面和高空(gokng)处的压强与温度，可估算所在高空(gokng)离地面的高度。kTmghePP 0恒温气压公式第78页/共104页第七十九页，共104

43、页。例 氢原子基态能级E1= -eV，第一激发态能级E2= -eV，求出在室温T=270C时原子处于(chy)第一激发态与基态的数目比。解：102.3943001038.1106.12.10)(121058.1231612 eeeNNkTEE在室温(sh wn)下，氢原子几乎都处于基态。第79页/共104页第八十页，共104页。4-5 范徳瓦尔斯方程(fngchng)范徳瓦尔斯方程是对理想气体(l xin q t)的模型的修正1摩尔(m r)理想气体的状态方程RTPV 0V0分子自由活动空间.理想气体分子是没有体积的质点，故v0等于容器的体积。(1)考虑分子体积引起的修正,理想气体状态方程的修

44、正为RTbVP )(0可估算363102344mdNbA V0为气体所占容积,V0-b为分子自由活动空间第80页/共104页第八十一页，共104页。(2)进一步考虑(kol)分子间引力引起的修正r r0 斥力(chl)r r0 引力(ynl)r R 几乎无相互作用 R称为分子力的有效作用距离R= r0 无相互作用. r0称为平衡距离 当两个分子彼此接近到r r0时斥力迅速增大，阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有一定大小的球体。d0fRrr0第81页/共104页第八十二页，共104页。设想：气体中任一分子都有一个以其为中心，以R为半径(bnjng)的力作用球，其它分子只有处于此球内才对

45、此分子有吸引作用。 处于容器当中的分子 ,平衡态下，周围(zhuwi)的分子相对于球对称分布，它们对的引力平均说来相互抵消。Rd处于器壁附近厚度为R的表层内的分子, 的力作用球被器壁切割为球缺，周围分子的分布(fnb)不均匀，使平均起来受到一个指向气体内部的合力，第82页/共104页第八十三页，共104页。这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生(chnshng)的总效果相当于一个指向内部的压强，叫内压强 P。所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实验(shyn)可测得的压强为PbVRTP 0Rd所有运动到器壁附近要与器壁相碰的分子(fnz)必然通过此区域，则指向气体内部的力，将会

46、减小分子(fnz)撞击器壁的动量，从而减小对器壁的冲力。第83页/共104页第八十四页，共104页。 P的相关(xinggun)因素 P表面层分子受到内部分子的通过(tnggu)单位面积的作用力与表面层分子（类似(li s) ）的数密度 n 成正比与施加引力的内部分子的数密度 n 成正比2021VnP 20VaP 或将气体分子视为有吸引力刚球时1摩尔气体范德瓦尔斯方程 RTbVVaP 020第84页/共104页第八十五页，共104页。a、 b由实验确定(qudng)。实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方程。 RTbVVaP 020如果气体(qt)质量为M , 则其体积为0VMMVmol V

47、MMVmol 0质量为M气体(qt)的范德瓦尔斯方程为:RTMMbMMVVMaMPmolmolmol 222第85页/共104页第八十六页，共104页。 当系统各部分的宏观物理性质(wl xngzh)如密度、温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态.这种过渡称为输运过程.4-6 气体(qt)的输运过程输运过程有三种(sn zhn)热传导、扩散、内摩擦.第86页/共104页第八十七页，共104页。一、分子的平均碰撞(pn zhun)次数和平均自由程molMRTv60. 1 氮气分子在270C时的平均(pngjn)速率为476m.s-1.矛盾

48、气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他(qt)分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子平均速率第87页/共104页第八十八页，共104页。AB 在相同的 t时间(shjin)内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多扩散速率(位移量/时间)平均速率(路程/时间) 分子(fnz)自由程:气体分子(fnz)两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞次数:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。第88页/共104页第八十九页，共104页。 大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律(

49、gul)。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假定(jidng)每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。只有某一个分子A以平均速率 运动，其余分子都静止。v1、平均碰撞(pn zhun)次数Adddvv第89页/共104页第九十页，共104页。Adddvv运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子(fnz)将与分子(fnz)A 碰撞球心在圆柱体内的分子一秒钟内:分子A经过路程为v相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均(pngjn)次数第90页/共104页第九十一页，共104页。nvdZ2 一切(yqi)分子都在运动nvdZ22 一秒钟内分子A

50、经过路程为v一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数Z平均(pngjn)自由程ndZv221 与分子的有效(yuxio)直径的平方和分子数密度成反比nkTp pdkT22 当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比2、平均自由程第91页/共104页第九十二页，共104页。在标准状态下，几种气体(qt)分子的平均自由程气体)(m )(md 氢 氮 氧 空气71013. 1 710599. 0 710647. 0 8100 . 7 101030. 2 101010. 3 101090. 2 101070. 3 例 计算空气(kngq)分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径 d 10-

51、10 m。已知空气(kngq)的平均分子量为29。解：已知mdPaatmpKT105105 . 3,10013. 10 . 1,273 第92页/共104页第九十三页，共104页。pdkT22 m851023109 . 61001. 1)105 . 3(14. 341. 12731038. 1 空气(kngq)摩尔质量为2910-3kg/molsmMRTvmol/4488 198105.6109.6448 svz 空气(kngq)分子在标准状态下的平均速率第93页/共104页第九十四页，共104页。二、三种(sn zhn)输运过程1. 内摩擦流体内各部分流动速度(sd)不同时,就发生内摩擦现象.相邻流体层之间由于(yuy)速度不同引起的相